Problema di meccanica classica NON BANALE
ho un problema da porvi, di cui io sono riuscito solo a trovare un risultato approssimato... cercherò di essere chiaro:
abbiamo un corpo di massa M che si muove di moto rettilineo uniforme, con velovità V_0, verso un corpo di massa m a riposo.
La massa m si trova ad una certa distanza d da una parete.
Nell'ipotesi che qualsiasi urto tra le masse e con la parete sia totalmente elastico, qual è il numero di volte n che il corpo di massa m ha colpito la parete nell'istante in cui il corpo di massa M si ferma e inverte il suo moto?
... schematizzando
___M ->______________m________________| parete
... naturalmente i moti delle masse M e m avvengono su di un asse ortogonale alla parete
come dicevo io ho trovato una soluzione che ripeto è approssimativa, la riporto qui sotto
ponendo x=m/M
il numero di urti n è circa
n=ln[1+(x/(1+x))*(1/x+1)^1/2]/ln(1+x)
per chi volesse sono disponibile per confrontare soluzioni e modi di procedere... contattatemi pure qui paolorossi1989@gmail.com
abbiamo un corpo di massa M che si muove di moto rettilineo uniforme, con velovità V_0, verso un corpo di massa m a riposo.
La massa m si trova ad una certa distanza d da una parete.
Nell'ipotesi che qualsiasi urto tra le masse e con la parete sia totalmente elastico, qual è il numero di volte n che il corpo di massa m ha colpito la parete nell'istante in cui il corpo di massa M si ferma e inverte il suo moto?
... schematizzando
___M ->______________m________________| parete
... naturalmente i moti delle masse M e m avvengono su di un asse ortogonale alla parete
come dicevo io ho trovato una soluzione che ripeto è approssimativa, la riporto qui sotto
ponendo x=m/M
il numero di urti n è circa
n=ln[1+(x/(1+x))*(1/x+1)^1/2]/ln(1+x)
per chi volesse sono disponibile per confrontare soluzioni e modi di procedere... contattatemi pure qui paolorossi1989@gmail.com
Risposte
Ho fatto una ricerca
http://download.sns.it/proveesame/prove ... 007_10.pdf
dalla quale, il testo del problema:
Un blocco di massa $M$ e velocità iniziale $V_0$ scivola senza attrito lungo un piano,
andando ad urtare una particella di massa $m$ molto minore di $M$ inizialmente ferma. La particella
si mette in moto, urta contro un muro posto ad una certa distanza dal luogo
dell’impatto iniziale, ritorna verso il blocco, lo urta, ritorna verso il muro, e così
via. Assumendo che tutti gli urti siano perfettamente elastici, siete capaci di dimostrare
che il numero di urti che ci saranno fino al momento in cui il blocco si
arresta è dato da $n ≈ \pi (M/m)^{1/2}/4$?
E' un problema della Scuola Normale ma per l'ammissione al primo anno della triennale!
Mi sembra che il risultato sia in accordo perfetto con la mia formula (si noti il pi-greco).
http://download.sns.it/proveesame/prove ... 007_10.pdf
dalla quale, il testo del problema:
Un blocco di massa $M$ e velocità iniziale $V_0$ scivola senza attrito lungo un piano,
andando ad urtare una particella di massa $m$ molto minore di $M$ inizialmente ferma. La particella
si mette in moto, urta contro un muro posto ad una certa distanza dal luogo
dell’impatto iniziale, ritorna verso il blocco, lo urta, ritorna verso il muro, e così
via. Assumendo che tutti gli urti siano perfettamente elastici, siete capaci di dimostrare
che il numero di urti che ci saranno fino al momento in cui il blocco si
arresta è dato da $n ≈ \pi (M/m)^{1/2}/4$?
E' un problema della Scuola Normale ma per l'ammissione al primo anno della triennale!
Mi sembra che il risultato sia in accordo perfetto con la mia formula (si noti il pi-greco).
ciao,
come sei arrivato a quella formula? tramite ragionamenti puramente numerici o per via analitica?
come sei arrivato a quella formula? tramite ragionamenti puramente numerici o per via analitica?
con qualche calcolo e poi per via analitica
potresti dirmi i passaggi che hai fatto? (magari non tutti nel dettaglio)
"mircoFN":
Prova a tracciare un grafico in cui metti in ordinate le velocità del primo corpo a ogni urto e in ascisse quelle corrispondenti dell'altro. Entrambe le velocità devono essere normalizzate con il loro valore massimo teorico. Ottieni una sequenza di punti che ovviamente partono da (0,1) e tendono a (1,0) (non è detto che tale posizione sia raggiunta). Se noti, la sequenza dei punti ha un andamento molto regolare....
oggi rivisitando il forum, mi sono ricordato di questo problema di cui mi ero occupato, senza successo, tanto tempo fa. E fu così che armato di carta e penna, ho cavato fuori una soluzione che ritengo corretta (fino a prova contraria 
) e che trovo giusto condividere. ho dimostrato che il numero di urti necessario ad invertire il moto è
\[ n=\big[ \frac{\pi}{2 \arccos{ \frac{1-x}{1+x} } } \big] +1 \]
o equivalentemente
\[ n = \big[ \frac{\pi}{2 \arcsin{ \frac{2 \sqrt{x} }{1+x} } } \big] +1 \]
dove con x ho indicato il rapporto \( x=m/M \), e dei termini tra le quadre deve essere presa solo la parte intera. appena ho un po di tempo darò i punti esalienti della dimostrazione!
PS finalmente qualcuno si è conformato a Tex =)
) e che trovo giusto condividere. ho dimostrato che il numero di urti necessario ad invertire il moto è\[ n=\big[ \frac{\pi}{2 \arccos{ \frac{1-x}{1+x} } } \big] +1 \]
o equivalentemente
\[ n = \big[ \frac{\pi}{2 \arcsin{ \frac{2 \sqrt{x} }{1+x} } } \big] +1 \]
dove con x ho indicato il rapporto \( x=m/M \), e dei termini tra le quadre deve essere presa solo la parte intera. appena ho un po di tempo darò i punti esalienti della dimostrazione!
PS finalmente qualcuno si è conformato a Tex =)
Se non mi sbaglio c'è anche sul Morin questo problema.
Se volete altre soluzioni ecco: http://www.cadnet.marche.it/olifis/phpB ... ?f=12&t=87
Se volete altre soluzioni ecco: http://www.cadnet.marche.it/olifis/phpB ... ?f=12&t=87
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