Problema di meccanica classica NON BANALE
ho un problema da porvi, di cui io sono riuscito solo a trovare un risultato approssimato... cercherò di essere chiaro:
abbiamo un corpo di massa M che si muove di moto rettilineo uniforme, con velovità V_0, verso un corpo di massa m a riposo.
La massa m si trova ad una certa distanza d da una parete.
Nell'ipotesi che qualsiasi urto tra le masse e con la parete sia totalmente elastico, qual è il numero di volte n che il corpo di massa m ha colpito la parete nell'istante in cui il corpo di massa M si ferma e inverte il suo moto?
... schematizzando
___M ->______________m________________| parete
... naturalmente i moti delle masse M e m avvengono su di un asse ortogonale alla parete
come dicevo io ho trovato una soluzione che ripeto è approssimativa, la riporto qui sotto
ponendo x=m/M
il numero di urti n è circa
n=ln[1+(x/(1+x))*(1/x+1)^1/2]/ln(1+x)
per chi volesse sono disponibile per confrontare soluzioni e modi di procedere... contattatemi pure qui paolorossi1989@gmail.com
abbiamo un corpo di massa M che si muove di moto rettilineo uniforme, con velovità V_0, verso un corpo di massa m a riposo.
La massa m si trova ad una certa distanza d da una parete.
Nell'ipotesi che qualsiasi urto tra le masse e con la parete sia totalmente elastico, qual è il numero di volte n che il corpo di massa m ha colpito la parete nell'istante in cui il corpo di massa M si ferma e inverte il suo moto?
... schematizzando
___M ->______________m________________| parete
... naturalmente i moti delle masse M e m avvengono su di un asse ortogonale alla parete
come dicevo io ho trovato una soluzione che ripeto è approssimativa, la riporto qui sotto
ponendo x=m/M
il numero di urti n è circa
n=ln[1+(x/(1+x))*(1/x+1)^1/2]/ln(1+x)
per chi volesse sono disponibile per confrontare soluzioni e modi di procedere... contattatemi pure qui paolorossi1989@gmail.com
Risposte
a me torna che l'inversione del moto della massa incidente avviene dopo il seguente rimbalzo:
$n=[\pi/(4*arcsin((x/(1+x))^(1/2)))]+1$
con $[y]$ parte intera di $y$, se $y$ è intero (probabilità nulla
), allora l'inversione avviene proprio a $n-1$.
$n=[\pi/(4*arcsin((x/(1+x))^(1/2)))]+1$
con $[y]$ parte intera di $y$, se $y$ è intero (probabilità nulla
), allora l'inversione avviene proprio a $n-1$.
io ho provato a fare così: imponendo la conservazione della quantità di moto e dell'energia dopo il primo urto si avrà che la velocità della massa grande è:
$(M-m)/(M+m)vo$ mentre quella della massa piccola è $2M/(M+m)vo$ a questo punto bisogna ripetere il ragionamento n volte fino a che la velocità della massa grande cambia direzione , però i conti sono ultratediosi, quindi conviene fare un'esempio prendiamo $M=2kg$ $m=1kg$ $vo=3m/s$ con questi valori la massa grande inverte la velocità dopo un solo urto con la parete della massa piccola
Da dove salta fuori l' arcoseno?
$(M-m)/(M+m)vo$ mentre quella della massa piccola è $2M/(M+m)vo$ a questo punto bisogna ripetere il ragionamento n volte fino a che la velocità della massa grande cambia direzione , però i conti sono ultratediosi, quindi conviene fare un'esempio prendiamo $M=2kg$ $m=1kg$ $vo=3m/s$ con questi valori la massa grande inverte la velocità dopo un solo urto con la parete della massa piccola
Da dove salta fuori l' arcoseno?
"mircoFN":
a me torna che l'inversione del moto della massa incidente avviene dopo il seguente rimbalzo:
$n=[\pi/(4*arcsin((x/(1+x))^(1/2)))]+1$
con $[y]$ parte intera di $y$, se $y$ è intero (probabilità nulla
di primo acchito direi che la tua soluzione non è poi così in disaccordo con la mia. mi chiedevo se hai fatto delle approssimazioni per ottenerla: per esempio io ad un certo punto mi trovavo a lavorare con tale somma parziale
$ sum_(j = 0)^(n-1) 1/(1+x)^j *(1-(P_(n-j-1)^2)/P_0^2*1/(1+x))^(1/2) $
dove $ P_0 $ è l'impulso del corpo di massa M nell'istante in cui esso colpisce il corpo di massa m per la prima volta e $ P_n $ è l'impulso all'n-esimo urto massa m - parete. Poichè ho trovato difficoltà a risolverla in maniera esatta, dallo sviluppo in serie di Taylor della parte "radicale" del j-esimo termine della somma mi sono tenuto solo il termine di ordine zero, in maniera tale da ricondurre tutto ad una somma di facile soluzione
, anche se un po' grossolana. Alla fine ottengo il risultato che ho scritto sopra, che ripeto è un pò grossolano visto che ho anche imposto $P_n=0$ per la determinazione di n. Naturalmente sono molto interessato al tuo modus operandi
nell'attesa provo a ragionargi su.baldo89 la fisica da usare per risolvere l'esercizio è fisica di base... il problema sta nei calcoli...
ho fatto progressi
primis la soluzione che ho scritto all'inizio è errata (ho fatto uno stupido errore di calcolo)
in realtà il numero di urti è circa
$ n~~ n_0 =(ln (1+(x/(1+x))^(1/2)))/ln(1+x) $
inoltre si ha che
se
$ P_(n_0-1)>0 $
allora la soluzione esatta $n$ è proprio $n_0$
$ n=n_0 $
naturalmente se la diseguaglianza è vera il problema è risolto. Altrimenti su due piedi direi di cercare quell'$n'$ più vicino ad $n_0$ tale che $ P_(n')>0 $ allora la soluzione è $n=n'+1$.
primis la soluzione che ho scritto all'inizio è errata (ho fatto uno stupido errore di calcolo)
in realtà il numero di urti è circa
$ n~~ n_0 =(ln (1+(x/(1+x))^(1/2)))/ln(1+x) $
inoltre si ha che
se
$ P_(n_0-1)>0 $
allora la soluzione esatta $n$ è proprio $n_0$
$ n=n_0 $
naturalmente se la diseguaglianza è vera il problema è risolto. Altrimenti su due piedi direi di cercare quell'$n'$ più vicino ad $n_0$ tale che $ P_(n')>0 $ allora la soluzione è $n=n'+1$.
"zerolucat":
ho fatto progressi
primis la soluzione che ho scritto all'inizio è errata (ho fatto uno stupido errore di calcolo)
in realtà il numero di urti è circa
$ n~~ n_0 =(ln (1+(x/(1+x))^(1/2)))/ln(1+x) $
inoltre si ha che
se
$ P_(n_0-1)>0 $
allora la soluzione esatta $n$ è proprio $n_0$
$ n=n_0 $
naturalmente se la diseguaglianza è vera il problema è risolto. Altrimenti su due piedi direi di cercare quell'$n'$ più vicino ad $n_0$ tale che $ P_(n')>0 $ allora la soluzione è $n=n'+1$.
la diseguaglianza è vera!!!!!!!!!! la soluzione esatta è $n_0$
mircoFN non capisco come fa a uscirti in quella forma.... cmq ora vado a dormire, in caso qualcuno vuole conoscere o vuole confrontare il proprio con il mio modo di procedere mi contatti pure
!! ... cmq quando ho un po di tempo lo scriverò qui ... intanto aspetto i vostri tentativi..
Prova a tracciare un grafico in cui metti in ordinate le velocità del primo corpo a ogni urto e in ascisse quelle corrispondenti dell'altro. Entrambe e velocità devono essere normalizzate con il loro valore massimo teorico. Ottieni una sequenza di punti che ovviamente partono da (0.1) e tendono a (1,0) (non è detto che tale posizione sia raggiunta). Se noti, la sequenza dei punti ha un andamento molto regolare....
"mircoFN":
Prova a tracciare un grafico in cui metti in ordinate le velocità del primo corpo a ogni urto e in ascisse quelle corrispondenti dell'altro. Entrambe e velocità devono essere normalizzate con il loro valore massimo teorico. Ottieni una sequenza di punti che ovviamente partono da (0.1) e tendono a (1,0) (non è detto che tale posizione sia raggiunta). Se noti, la sequenza dei punti ha un andamento molto regolare....
ammesso che tu riesca a tracciare tale grafico... non mi sembra tanto utile: così determini solo una relazione tra le due velocità (cosa intendi per regolare?) ... una relazione che si ottiene facilmente imponendo la conservazione della quantità di moto e dell'energia
$ P_n=M*V_n=(P_0^2-m*M*v_n^2)^(1/2) $
$ v_n=((P_0^2-P_n^2)/m*M)^(1/2) $
V e v sono rispettivamente le velocità delle masse M e m all'n-esimo urto, $P_0$ è l'impulso della massa M subito dopo il primo urto con la massa m
$P_0=M*V_0-m*v_1 $
inoltre perchè dovrebbero tendere ad (1,0)? la massa M inverte il suo moto una volta che si è fermata.... naturalmente non è detto che il corpo di massa M si fermi all'n-esimo urto e cambi direzione di moto all'n+1 -esimo, infatti la condizione giusta da richiedere è sul segno dell'impulso.
cmq non capisco come questo possa aiutarti nella risoluzione del problema...
"baldo89":
io ho provato a fare così: imponendo la conservazione della quantità di moto e dell'energia dopo il primo urto si avrà che la velocità della massa grande è:
$(M-m)/(M+m)vo$ mentre quella della massa piccola è $2M/(M+m)vo$ a questo punto bisogna ripetere il ragionamento n volte fino a che la velocità della massa grande cambia direzione , però i conti sono ultratediosi, quindi conviene fare un'esempio prendiamo $M=2kg$ $m=1kg$ $vo=3m/s$ con questi valori la massa grande inverte la velocità dopo un solo urto con la parete della massa piccola
Da dove salta fuori l' arcoseno?
Baldo se è vero che con quei valori la massa grande inverte la velocità dopo un solo urto con la parete della massa piccola, allora la soluzione data da mircoFN è palesemente errata. Per caso hai provato ha fare i conti ultratediosi?
"zerolucat":
inoltre perchè dovrebbero tendere ad (1,0)? la massa M inverte il suo moto una volta che si è fermata.... naturalmente non è detto che il corpo di massa M si fermi all'n-esimo urto e cambi direzione di moto all'n+1 -esimo, infatti la condizione giusta da richiedere è sul segno dell'impulso.
Infatti in genere non arriva proprio in tale punto (ci arriverebbe se il numero di colpi per arrestare la massa incidente fosse intero e quindi esistesse un intervallo di tempo in cui la massa incidente è ferma) ma ci va vicino. In genere quindi la massa incidente non si arresta mai, nella maggioranza dei casi (quando l'argomento $y$ della parte intera non è intero) l'inversione del moto avviene in corrispondenza dell'urto calcolato.
"zerolucat":
cmq non capisco come questo possa aiutarti nella risoluzione del problema...
non è strano che tu non ne capisca l'utilità, se non provi a farlo...
In certi casi i calcoli che tu chiami tediosi sono necessari, almeno per verificare le approssimazioni. Nella mia formula non c'è alcuna semplificazione (oltre a quella di urti perfettamente elastici e centrali) e il risultato è, a meno di errori che posso aver commesso, corretto per qualunque valore di $x$.
avevo iniziato ma ho subito smesso... tra qualche giorno devo fare l'orale di metodi matematici della fisica e non ho molto tempo per queste cose comunque la formule che ho scritte sono sicuramente vere, se prendi $M=m$ ci si accorge che la massa $M$ si ferma immediatamente mentre la massa $m$ si muove con velocità $vo$ che è appunto quello che capita nella realtà quindi le formule sono corrette.Io ho dato dei valori numerici perchè imponendo nuovamente la conservazione di P ed E , mi salta fuori una equazione di secondo grado molto grande che per pigrizia non ho voluto risolvere , mentre mettendo valori numerici tutto risulta più semplice.Per me questo problema è simile agli esercizi sui circuiti in corrente continua dove se uno lascia scritte le lettere al posto dei numeri i conti diventano molto noiosi.
"baldo89":
questo problema è simile hai problemi ......
ahi, ahi, ahi !!!
"baldo89":
... perchè imponendo nuovamente la conservazione di P ed E , mi salta fuori una equazione di secondo grado molto grande che per pigrizia non ho voluto risolvere , mentre mettendo valori numerici tutto risulta più semplice.Per me questo problema è simile hai problemi sui circuiti in corrente continua dove se uno lascia scritte le lettere al posto dei numeri i conti diventano molto noiosi.
beh dipende come imposti il problema... ad esempio io ho evitato di fare i conti in questo modo:
primis fisso un sistema di riferimento con asse x che ha direzione e verso coincidenti col versore $ hat(V_0) $ , allora indico
con $P_j$ la componente lungo tale asse dell'impulso della massa M quando la massa m ha colpito j volte la parete;
con $v_j$ la velocità della massa m dopo l'urto j-esimo massa m-parete.
abbiamo tale situazione
$P_0=M*V_0-m*v_1$
$P_1=P_0-m*v_1$
.....
$P_n=P_(n-1)-m*v_n$ (*)
l'energia è una costante del moto:
$P_0^2/(2*M)=P_n^2/(2*M)+(m*v_n^2)/2$
si ottengono le equazioni che ho scritto
"zerolucat":
$ P_n=M*V_n=(P_0^2-m*M*v_n^2)^(1/2) $
$ v_n=((P_0^2-P_n^2)/m*M)^(1/2) $
quindi da (*)
$P_(n-1)-P_n=m*v_n$
elevando al quadrato e risolvendo l'eq di grado 2 in $P_n$ si ha l'equazione che descrive la dipendenza piuttosto complicata
di $P_n$ con $P_(n-1)$, nota che solo un segno è quello esatto!inoltre va risolta solo un equazione di secondo grado
fatto questo sei arrivato a metà della soluzione del problema!
dicevo che abbiamo trovato una relazione di ricorsione
$P_n=P_n(P_(n-1)) $
basta lavorare su tale eq. in maniera tale da ottenere una cosa del genere (ti serve la nozione di somma telescopica per ottenerla
)$P_n=P_0/(1+x)^n - f(x)*A $
dove A è la somma che avevo scritto da qualche parte
a questo punto basta imporre che all'n-esimo urto massa m-parete l'impulso $P_n$ sia negativo!
risolvendo la diseguaglianza (usa le somme parziali geometriche) si trova che n
$n>n_0$
n_0 è quello che avevo scritto da qualche parte
ora bisogna fare un piccolo ragionamento: se all'urto $n>n_0$ l'impulso di M è negativo e all'urto $n_0-1$ l'impulso di M è positivo allora la parte intera di $n_0+1$ è quella che cerchiamo ,quindi basta dimostrare che $P_(n_0-1)>0$ per qualsiasi valore di x ( lo si deve fare perchè ho maggiorato la diseguaglianza $n>n_0$ e quindi potrebbe esistere un intero minore di $n_0$ tale che l'impulso $P_(n_0)$ sia negativo .) ed è il gioco è fatto
C'è qualche baco nel tuo ragionamento, perché la formula finale è sbagliata e sovrastima il numero di rimbalzi. Per $x$ elevati non te ne accorgi e la tua formula sembra riprodurre la mia.
Perchè non provi con un caso numerico (per notare differenze significative devi considerare $x<0.05$)?
Puoi verifcare che per $x=0.01$ in numero corretto di rimbalzi è $8$ mentre la tua espressione prevede $9.533$.
Se poi consideri $x=0.001$ l'errore cresce perchè la tua formula prevede un numero intorno a $31$ contro il valore corretto che è $25$.
Questa è la sequenza delle velocità (rispetto a quella iniziale) del corpo incidente per $x=0.01$:
$1.000, 0.980, 0.922, 0.826, 0.699, 0.543, 0.366, 0.175, -0.024$
Perchè non provi con un caso numerico (per notare differenze significative devi considerare $x<0.05$)?
Puoi verifcare che per $x=0.01$ in numero corretto di rimbalzi è $8$ mentre la tua espressione prevede $9.533$.
Se poi consideri $x=0.001$ l'errore cresce perchè la tua formula prevede un numero intorno a $31$ contro il valore corretto che è $25$.
Questa è la sequenza delle velocità (rispetto a quella iniziale) del corpo incidente per $x=0.01$:
$1.000, 0.980, 0.922, 0.826, 0.699, 0.543, 0.366, 0.175, -0.024$
"mircoFN":
C'è qualche baco nel tuo ragionamento, perché la formula finale è sbagliata e sovrastima il numero di rimbalzi. Per $x$ elevati non te ne accorgi e la tua formula sembra riprodurre la mia.
Perchè non provi con un caso numerico (per notare differenze significative devi considerare $x<0.05$)?
Puoi verifcare che per $x=0.01$ in numero corretto di rimbalzi è $8$ mentre la tua espressione prevede $9.533$.
Se poi consideri $x=0.001$ l'errore cresce perchè la tua formula prevede un numero intorno a $31$ contro il valore corretto che è $25$.
Questa è la sequenza delle velocità (rispetto a quella iniziale) del corpo incidente per $x=0.01$:
$1.000, 0.980, 0.922, 0.826, 0.699, 0.543, 0.366, 0.175, -0.024$
penso che il mio ragionamento non faccia una grinza, inoltre non capisco su quali basi sostieni che la mia formula sia sbagliata, azzardo: forse da un confronto tra la tua soluzione e la mia sotto l'evidente assunzione che la tua soluzione sia esatta? perchè mai la tua formula finale non potrebbe essere una sottostima della mia? inoltre mi chiedi perche non provo con un caso numerico, beh io, forse perchè non ho esperienze di calcoli numerici, mi fido più di un ragionamento puramente teorico che di approssimazioni a macchina con troncamenti a iosa fatte da persone inesperte in tal campo (mi riferisco a me): per curiosità ho provato a farmi dare dalla macchina usando mat.ematica l'espressione analitica per la velocità della massa M (dopo aver inserito la relazione di ricorsione) , per un numero di urti piccolo, tipo 3 o 4, spuntava fuori un equazione che copriva lo schermo, con radice quadre dentro radice quadre dentro radice quadre che sommano altre radice quadre dentro... e così via , allora nella mia stupidità penso: immaginiamo di avere a che fare con un numero di urti che sia come dici tu di 25, che espressione verrebbe fuori per la velocità? l' IRA del sommo! allora mi chiedo fino a che punto la macchina riuscerebbe a gestire tale espressione, in maniera tale che se tu gli dai il tuo numerino x, lei fa tutto per bene e sputa un valore che possa essere ritenuto esatto.
cmq sicuramente hai fatto degli errori nei calcoli: i valori che hai ottenuto dalla mia formula vanno sommati ulteriormente all'unità, ti ricordo che $n=n_0+1$.
Non mi sembra il caso di agitarsi. Anch'io, come te, penso che il mio ragionamento sia corretto, ma i due risultati sono evidentemente diversi e, per fortuna, tertium non datur; pertanto: hai ragione tu oppure ho ragione io, ma è anche possibile che abbiamo sbagliato entrambi. In ogni caso, ognuno può conservare la propria opinione, non ho certo l'intenzione di convincerti, tuttavia questo atteggiamento non mi sembra nello spirito del forum. Parto dal presupposto che tu sia interessato alla soluzione del 'NON BANALE' problema (approposito, dove lo hai trovato?) piuttosto che a una competizione con gli altri utenti.
Il mio suggerimento era comunque ben più semplice da attuare di quanto mi pare tu abbia inteso. Dubito anch'io infatti che sia agevole ottenere una espressione analitica esatta del risultato con un procedimento diretto. Provo quindi a spiegarmi più chiaramente.
Con un normalissimo foglio elettronico (ti consiglio quello di Open Office che è free, oppure Excel se sei un adepto di Bill), puoi simulare in modo praticamente esatto (diciamo con 10-12 cifre decimali, spero ti bastino!) la sequenza dei rimbalzi, programmando una espressione 'analitica' che prevede per l'i-esimo urto la conservazione dell'energia e della quantità di moto. Quando l'hai scritta per il primo urto puoi semplicemente trascinare le righe e ottenere l'intera sequenza.
Prova a farlo e confronta il risultato numerico con la tua espressione e con la mia.
Dopo, se ne avrai sempre voglia, ne riparliamo, ma senza astio!
P.S.
".... a quel punto diranno 'CALCOLEMUS!' e troveranno una soluzione che possa essere accettata da tutti. ..."
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646, 1716)
Il mio suggerimento era comunque ben più semplice da attuare di quanto mi pare tu abbia inteso. Dubito anch'io infatti che sia agevole ottenere una espressione analitica esatta del risultato con un procedimento diretto. Provo quindi a spiegarmi più chiaramente.
Con un normalissimo foglio elettronico (ti consiglio quello di Open Office che è free, oppure Excel se sei un adepto di Bill), puoi simulare in modo praticamente esatto (diciamo con 10-12 cifre decimali, spero ti bastino!) la sequenza dei rimbalzi, programmando una espressione 'analitica' che prevede per l'i-esimo urto la conservazione dell'energia e della quantità di moto. Quando l'hai scritta per il primo urto puoi semplicemente trascinare le righe e ottenere l'intera sequenza.
Prova a farlo e confronta il risultato numerico con la tua espressione e con la mia.
Dopo, se ne avrai sempre voglia, ne riparliamo, ma senza astio!
P.S.
".... a quel punto diranno 'CALCOLEMUS!' e troveranno una soluzione che possa essere accettata da tutti. ..."
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646, 1716)
Anche a me torna il risultato di Mirco (non ho provato a ricavare alcuna formula generale, ho solo verificato la formula di Mirco contro quella di Zerolucat in diversi casi e la prima dà sempre risultati corretti, mentre la seconda no).
Zerolucat, a meno che io e Mirco abbiamo fatto gli stessi errori (improbabile ma non impossibile), deve esservi un errore nel tuo ragionamento.
Zerolucat, a meno che io e Mirco abbiamo fatto gli stessi errori (improbabile ma non impossibile), deve esservi un errore nel tuo ragionamento.
ciao a tutti,
mi sto interessando anch'io a questo problema, in particolare però volevo cercare di trovare una soluzione analitica, non far fare i conti al calcolatore.
Il problema come avete già detto voi credo s'imposti imponendo la conservazione della quantità di moto ad ogni urto e imponendo che l'energia iniziale si conservi, ho letto il procedimento di zerolucat e mi pare ben fatto anche se dite che i conti non tornano, tuttavia ho notato una cosa, quando dice:
L'ultima riga non è sbagliata? A mio parere la conservazione della quantità di moto all'n-esimo urto è $ P_n + m*v_n = P_(n-1) - m*v_(n-1) $
che dite?
mi sto interessando anch'io a questo problema, in particolare però volevo cercare di trovare una soluzione analitica, non far fare i conti al calcolatore.
Il problema come avete già detto voi credo s'imposti imponendo la conservazione della quantità di moto ad ogni urto e imponendo che l'energia iniziale si conservi, ho letto il procedimento di zerolucat e mi pare ben fatto anche se dite che i conti non tornano, tuttavia ho notato una cosa, quando dice:
"zerolucat":
$P_0=M*V_0-m*v_1$
$P_1=P_0-m*v_1$
.....
$P_n=P_(n-1)-m*v_n$ (*)
L'ultima riga non è sbagliata? A mio parere la conservazione della quantità di moto all'n-esimo urto è $ P_n + m*v_n = P_(n-1) - m*v_(n-1) $
che dite?
"mircoFN":
...(approposito, dove lo hai trovato?)...
Questo problema è stato proposto dal sito Rudi Mathematici nel numero 143 (Dicembre 2010).
"MaMo":
[quote="mircoFN"]...(approposito, dove lo hai trovato?)...
Questo problema è stato proposto dal sito Rudi Mathematici nel numero 143 (Dicembre 2010).[/quote]
ho visto che c'è anche in una prova d'ammissione alla Laurea Specialistica di Fisica della Normale di Pisa
ciao a tutti,
ho provato a risolvere anch'io il problema, credo di aver trovato una formula ricorsiva per la velocità della massa grande dopo l'n-esimo urto:
$ V_n = V_0 ((3x-1)^n - 2x sum_(i = 0)^(n-1) (3x-1)^i (1+x)^(n-1-i))/(1+x)^n $
dove x=M/m
ho provato a fare varie prove nei casi più banali (tipo M=m, o M molto grande) per i primi urti (ho fatto a mano quindi non ho ancora potuto testarla per n grandi), ma dovrebbe essere giusta..
A questo punto per trovare il numero di urti n basterebbe porre $ V_n <0 $, cioè porre il numeratore minore di zero... facendo ciò e provando a giocarci su arrivo a questa disuguaglianza
$ (sum_(i = 0)^(n-1)((1+x)/(3x-1))^(n-i))(2x)/(1+x) >1 $
a questo punto però non saprei proprio come proseguire.
Qualcuno mi saprebbe dare una mano?
ho provato a risolvere anch'io il problema, credo di aver trovato una formula ricorsiva per la velocità della massa grande dopo l'n-esimo urto:
$ V_n = V_0 ((3x-1)^n - 2x sum_(i = 0)^(n-1) (3x-1)^i (1+x)^(n-1-i))/(1+x)^n $
dove x=M/m
ho provato a fare varie prove nei casi più banali (tipo M=m, o M molto grande) per i primi urti (ho fatto a mano quindi non ho ancora potuto testarla per n grandi), ma dovrebbe essere giusta..
A questo punto per trovare il numero di urti n basterebbe porre $ V_n <0 $, cioè porre il numeratore minore di zero... facendo ciò e provando a giocarci su arrivo a questa disuguaglianza
$ (sum_(i = 0)^(n-1)((1+x)/(3x-1))^(n-i))(2x)/(1+x) >1 $
a questo punto però non saprei proprio come proseguire.
Qualcuno mi saprebbe dare una mano?
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