Problema di meccanica analitica con molle
Ciao a tutti, ho questo problema di meccanica analitica che mi mette dei dubbi. L'esercizio è:
Due punti pesanti A e B, di massa eguale, sono vincolati a muoversi su di un'unica retta verticale r. Essi interagiscono mediante una molla; inoltre, il punto A è anche collegato con una molla ad un punto fisso C di r ed il punto B interagisce tramite un'altra molla col punto fisso D di r, posto ad una distanza $d$ da C. Tutte le molle sono elastiche, con costante elastica identica, e di lunghezza a riposo nulla. Si svolgano i seguenti punti:
1) si scrivano le equazioni del moto 2) trovare eventuali punti di equilibrio 3)soluzioni delle equazioni.
Allora, se ho capito bene, praticamente ho tre molle poste tutte sulla stessa retta, dove agli estremi ho questi punti, A e B, entrambi di massa $m$.
Ciò che non capisco è come scrivere la mia Lagrangiana. La $T$ dell'energia cinetica è data da $1/2m((dot y_A)^2 + (dot y_B)^2)$, perché ho due masse, mentre l'energia potenziale? Dovrei scrivere l'energa potenziale per ciascuna delle tre molle, giusto? Quindi, ho provato in questo modo: $1/2k(y_B -d)^2 +1/2k(d-y_C)^2+1/2k(y_C -y_A)^2$.
è giusto questo ragionamento per l'impostazione di $L$?
Due punti pesanti A e B, di massa eguale, sono vincolati a muoversi su di un'unica retta verticale r. Essi interagiscono mediante una molla; inoltre, il punto A è anche collegato con una molla ad un punto fisso C di r ed il punto B interagisce tramite un'altra molla col punto fisso D di r, posto ad una distanza $d$ da C. Tutte le molle sono elastiche, con costante elastica identica, e di lunghezza a riposo nulla. Si svolgano i seguenti punti:
1) si scrivano le equazioni del moto 2) trovare eventuali punti di equilibrio 3)soluzioni delle equazioni.
Allora, se ho capito bene, praticamente ho tre molle poste tutte sulla stessa retta, dove agli estremi ho questi punti, A e B, entrambi di massa $m$.
Ciò che non capisco è come scrivere la mia Lagrangiana. La $T$ dell'energia cinetica è data da $1/2m((dot y_A)^2 + (dot y_B)^2)$, perché ho due masse, mentre l'energia potenziale? Dovrei scrivere l'energa potenziale per ciascuna delle tre molle, giusto? Quindi, ho provato in questo modo: $1/2k(y_B -d)^2 +1/2k(d-y_C)^2+1/2k(y_C -y_A)^2$.
è giusto questo ragionamento per l'impostazione di $L$?
Risposte
L'energia cinetica sembra ok.
L'energia potenziale viene fuori da due fonti:
1. energia potenziale elastica, \(\displaystyle {k \cdot (\Delta y)^2 } \over 2 \), per ciascuna delle tre molle e
2. energia potenziale in campo gravitazionale \(\displaystyle m \cdot g \cdot y \) per ciascun punto pesante
Inoltre, è altamente consigliabile fare un disegno, scegliere un'origine dell'asse verticale ed esprimere in maniera corretta le lunghezze delle molle come differenze di coordinate successive. Buon lavoro.
L'energia potenziale viene fuori da due fonti:
1. energia potenziale elastica, \(\displaystyle {k \cdot (\Delta y)^2 } \over 2 \), per ciascuna delle tre molle e
2. energia potenziale in campo gravitazionale \(\displaystyle m \cdot g \cdot y \) per ciascun punto pesante
Inoltre, è altamente consigliabile fare un disegno, scegliere un'origine dell'asse verticale ed esprimere in maniera corretta le lunghezze delle molle come differenze di coordinate successive. Buon lavoro.
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