Problema di meccanica analitica
ciao a tutti, volevo avere un consulto riguardo questo problema di meccanica analitica.
premetto che siamo su un piano orizzontale
imponendo che la derivata prima del potenziale è nulla trovo come punti di equilibrio (0,0), (0, π), ( π, π), ( π,0)
quindi studiando gli autovalori dell'hessiana in tali punti trovo che (0,0) è di equilibrio stabile mentre gli altri sono instabili
dal calcolo dell'energia cinetica trovo come matrice cinetica $ A = m* (l ^2) * I $ dove I è la matrice identità
indico con B l'hessiana del potenziale attorno al punto di equilibrio stabile (0,0)
quindi partendo da $A*q''(t) = -B * q(t) $ trovo come sistema di equazioni linearizzate di lagrange
$m*a''(t) + 3*k*a(t) = k*b(t) $
$m*b''(t) + 3*k*b(t) = k*a(t) $
facendosi aiutare da un calcolatore trovo una soluzione di questo sistema di 2 equazioni piuttosto complessa, che evito di riportare, con parecchi termini
vi sembra corretto come ho svolto l'esercizio? trovate gli stessi risultati?
premetto che siamo su un piano orizzontale
imponendo che la derivata prima del potenziale è nulla trovo come punti di equilibrio (0,0), (0, π), ( π, π), ( π,0)
quindi studiando gli autovalori dell'hessiana in tali punti trovo che (0,0) è di equilibrio stabile mentre gli altri sono instabili
dal calcolo dell'energia cinetica trovo come matrice cinetica $ A = m* (l ^2) * I $ dove I è la matrice identità
indico con B l'hessiana del potenziale attorno al punto di equilibrio stabile (0,0)
quindi partendo da $A*q''(t) = -B * q(t) $ trovo come sistema di equazioni linearizzate di lagrange
$m*a''(t) + 3*k*a(t) = k*b(t) $
$m*b''(t) + 3*k*b(t) = k*a(t) $
facendosi aiutare da un calcolatore trovo una soluzione di questo sistema di 2 equazioni piuttosto complessa, che evito di riportare, con parecchi termini
vi sembra corretto come ho svolto l'esercizio? trovate gli stessi risultati?
Risposte
ciao,
anche a me vengono le stesse configurazioni d'equilibrio e daltronde come si puo anche intuire guardando la figura l'unica stabile è in (0,0)
per calcolare le equazioni del moto ho calcolato la laplaciana:
$L = 1/2 m l^2(dot(alpha)^2 + dot(beta)^2) - 1/2 k l^2 (18 - 8 (cos beta + cos alpha) + cos(alpha + beta) ) $
quindi:
$d/(dt) (del L)/(del dot(alpha)) = ml^2 ddot(alpha)$ e $d/(dt) (del L)/(del dot(beta)) = m l^2 ddot(beta)$
$(del L)/(del alpha) = - 4 k l^2 sin alpha + 1/2 k l^2 sin(alpha + beta)$ e $(del L)/(del beta) = - 4 k l^2 sin beta+ 1/2 k l^2 sin(alpha + beta)$
quindi le eq del moto mi vengono
$ { ( ddot(alpha) = -(4k)/m sin alpha + k/(2m) sin (alpha + beta) ),( ddot(beta) = -(4k)/m sin beta+ k/(2m) sin (alpha + beta) ):} $
per linearizzare, se $x=(alpha,beta)$ e $f(x)$ è l'eq del moto, $ddot(x) = f(x)$ ho calcolato la matrice $A' = (del f(x))/(del x)$ in $x=(0,0)$
e mi viene $ddot(x') = A*x'$ dove $x' = del x$ cioè le pure variazioni e viene
${ ( ddot(alpha) = -(7k)/(2m)alpha + k/(2m) beta ),( ddot(beta) = -(7k)/(2m)beta+ k/(2m)alpha ):}$
ma sinceramente non posso assicurarti sia giusto.
anche a me vengono le stesse configurazioni d'equilibrio e daltronde come si puo anche intuire guardando la figura l'unica stabile è in (0,0)
per calcolare le equazioni del moto ho calcolato la laplaciana:
$L = 1/2 m l^2(dot(alpha)^2 + dot(beta)^2) - 1/2 k l^2 (18 - 8 (cos beta + cos alpha) + cos(alpha + beta) ) $
quindi:
$d/(dt) (del L)/(del dot(alpha)) = ml^2 ddot(alpha)$ e $d/(dt) (del L)/(del dot(beta)) = m l^2 ddot(beta)$
$(del L)/(del alpha) = - 4 k l^2 sin alpha + 1/2 k l^2 sin(alpha + beta)$ e $(del L)/(del beta) = - 4 k l^2 sin beta+ 1/2 k l^2 sin(alpha + beta)$
quindi le eq del moto mi vengono
$ { ( ddot(alpha) = -(4k)/m sin alpha + k/(2m) sin (alpha + beta) ),( ddot(beta) = -(4k)/m sin beta+ k/(2m) sin (alpha + beta) ):} $
per linearizzare, se $x=(alpha,beta)$ e $f(x)$ è l'eq del moto, $ddot(x) = f(x)$ ho calcolato la matrice $A' = (del f(x))/(del x)$ in $x=(0,0)$
e mi viene $ddot(x') = A*x'$ dove $x' = del x$ cioè le pure variazioni e viene
${ ( ddot(alpha) = -(7k)/(2m)alpha + k/(2m) beta ),( ddot(beta) = -(7k)/(2m)beta+ k/(2m)alpha ):}$
ma sinceramente non posso assicurarti sia giusto.
Ben fatto cyd! Solo due osservazioni.
Ti sei sicuramente confuso, non si chiama Laplaciana ma Lagrangiana.
Nella Lagrangiana ho un fattore $2$ davanti a $cos(\alpha + \beta)$. Si può verificare sostituendo il caso particolare $\alpha = 0$ e $\beta = 0$.
Ti sei sicuramente confuso, non si chiama Laplaciana ma Lagrangiana.
Nella Lagrangiana ho un fattore $2$ davanti a $cos(\alpha + \beta)$. Si può verificare sostituendo il caso particolare $\alpha = 0$ e $\beta = 0$.
"speculor":
Ben fatto cyd! Solo due osservazioni.
Ti sei sicuramente confuso, non si chiama Laplaciana ma Lagrangiana.
Nella Lagrangiana ho un fattore $2$ davanti a $cos(\alpha + \beta)$. Si può verificare sostituendo il caso particolare $\alpha = 0$ e $\beta = 0$.
si, lagrangiana ... confusion! XD
e in effetti ancora si, ci va il due! io e gli errori di distrazione andiamo molto d'accordo!
ti ringrazio per la tua risposta (scusa il ritardo), ma in effetti il sistema che risolve il problema è quello che avevo fornito io inizialmente e che riporto
$ddot(alpha) + (3k/m)*alpha = (k/m)*beta$
$ddot(beta) + (3k/m)*beta = (k/m)*alpha$
poi questo sistema si risolve agevolmente ponendo per esempio $w=alpha-beta$ e $z=alpha + beta$
P.S. puoi fidarti che sia questa la soluzione corretta perchè ho ripetuto l'esercizio con la prof di meccanica analitica
$ddot(alpha) + (3k/m)*alpha = (k/m)*beta$
$ddot(beta) + (3k/m)*beta = (k/m)*alpha$
poi questo sistema si risolve agevolmente ponendo per esempio $w=alpha-beta$ e $z=alpha + beta$
P.S. puoi fidarti che sia questa la soluzione corretta perchè ho ripetuto l'esercizio con la prof di meccanica analitica
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