Problema di meccanica
Salve a tutti nell'esame di Fisica ho trovato un esercizio che ho risolto, ma mi lascia perplesso. Ho provato a descrivere la figura del sistema, spero di esser stato chiaro, anche se non sono sicuro di esser riuscito. L'esame orale e i risultati saranno martedì, ma sono troppo curioso di sapere se ho fatto bene. Grazie in anticipo per chiunque provi a risolverlo.
Una sfera con momento d'inerzia I e massa M, ha una scalanatura di raggio r, il raggio della sfera è R. La sfera è posta su un piano orizzontale. Il coefficiente di attrito statico tra sfera e superficie è 0.2. Alla scalanatura è avvolta una fune leggera che passa per una carrucola leggera e priva di attrito al bordo del piano. L'estremità della fune che passa per la carrucola termina con una massa m sospesa nel vuoto. La corda è avvolta alla scalanatura in modo tale da imprimere alla sfera un momento meccanico in senso orario. Sulla scalanatura di raggio r inoltre è applicata una forza F (che applica un momento torcente in senso orario, ma è applicata in verso traslatorio opposto alla fune). Il sistema di m, M, carrucola resta in equilibrio. Calcolare il massimo valore di m (e della relativa F) tale che il sistema permanga in equilibrio.
Se si taglia la fune, la sfera (sotto l'effetto di F) avanza con un moto di puro rotolamento?
Una sfera con momento d'inerzia I e massa M, ha una scalanatura di raggio r, il raggio della sfera è R. La sfera è posta su un piano orizzontale. Il coefficiente di attrito statico tra sfera e superficie è 0.2. Alla scalanatura è avvolta una fune leggera che passa per una carrucola leggera e priva di attrito al bordo del piano. L'estremità della fune che passa per la carrucola termina con una massa m sospesa nel vuoto. La corda è avvolta alla scalanatura in modo tale da imprimere alla sfera un momento meccanico in senso orario. Sulla scalanatura di raggio r inoltre è applicata una forza F (che applica un momento torcente in senso orario, ma è applicata in verso traslatorio opposto alla fune). Il sistema di m, M, carrucola resta in equilibrio. Calcolare il massimo valore di m (e della relativa F) tale che il sistema permanga in equilibrio.
Se si taglia la fune, la sfera (sotto l'effetto di F) avanza con un moto di puro rotolamento?
Risposte
Se magari riuscissi a postare una immagine raffigurante il sistema, potrei semplificare le cose? Se si potreste dirmi se è possibile e come farlo? Grazie ancora.
Direi di si... 
è possibile.
è possibile.
E come posso farlo? scusa, sono nuovo del forum...
basta che ad esempio la carichi su www.imageshack.us
poi copi l'ultimo link che ti viene reso e lo incolli nel tuo messaggio, poi lo evidenzi e premi il tasto Img proprio qui sopra.
poi copi l'ultimo link che ti viene reso e lo incolli nel tuo messaggio, poi lo evidenzi e premi il tasto Img proprio qui sopra.
Ecco l'immagine! Grazie tante!
Direi che puoi ad esempio scrivere l'equazione a momento attorno al punto di appoggio:
$-mg(R-r)+F(R+r)=0=>F=gm(R-r)/(R+r)$
Se poi come suppongo il cavo è orizzontale, la forza di attrito deve rispettare la condizione: $|F_a|<=muMg$
Per la 1° equazione cardinale in direzione orizzontale:
$|F_a|=|mg-F|<=muMg$
In condizioni limite: $2gm (r)/(R+r)=muMg$
Quindi:
${(m=muM(R+r)/(2r)),(F=mugM(R-r)/(2r)):}$
Affinchè il moto dopo il distacco del cavo sia di puro rotolamento, bisogna che:
$(R-r)/(2r)<1=>R<3r$
$-mg(R-r)+F(R+r)=0=>F=gm(R-r)/(R+r)$
Se poi come suppongo il cavo è orizzontale, la forza di attrito deve rispettare la condizione: $|F_a|<=muMg$
Per la 1° equazione cardinale in direzione orizzontale:
$|F_a|=|mg-F|<=muMg$
In condizioni limite: $2gm (r)/(R+r)=muMg$
Quindi:
${(m=muM(R+r)/(2r)),(F=mugM(R-r)/(2r)):}$
Affinchè il moto dopo il distacco del cavo sia di puro rotolamento, bisogna che:
$(R-r)/(2r)<1=>R<3r$
Grazie davvero! La soluzione della prima domanda è uguale a quella a cui ero arrivato io, ma ci sono arrivato diversamente. Si, esatto, la fune era parallela al piano, ho sbagliato. Mi rimane un dubbio: la forza di attrito statico che si manifesta tra sfera e superficie è da disegnare così nel diagramma di corpo libero? Nello stesso verso di F ma applicata al raggio R...
Ecco il diagramma di corpo libero, dove F ed Fa hanno i significati già usati e T è la tensione della fune.
Per il quesito che chiedeva se il moto è di puro rotolamento... ehm, non ho capito nulla.
Potresti fare qualche commento e/o qualche passaggio?
Come si arriva a quella condizione?
Ecco il diagramma di corpo libero, dove F ed Fa hanno i significati già usati e T è la tensione della fune.
Per il quesito che chiedeva se il moto è di puro rotolamento... ehm, non ho capito nulla.
Potresti fare qualche commento e/o qualche passaggio?
Come si arriva a quella condizione?
Si la forza di attrito è in quel verso, infatti se prendi come polo il centro, vedi che le forze attive fanno momento positivo, quindi per essere equilibrate l'attrito deve farlo negativo...
Per il 2 punto basta imporre che al distacco, visto che la forza F è già nota ed è l'unica che fa momento rispetto al punto di appoggio ($C_v$), il modulo della forza di attrito massimo sia inferiore al modulo di F, visto che se questo è maggiore si passa in condizioni di attrito dinamico e quindi strisciamento...
Per il 2 punto basta imporre che al distacco, visto che la forza F è già nota ed è l'unica che fa momento rispetto al punto di appoggio ($C_v$), il modulo della forza di attrito massimo sia inferiore al modulo di F, visto che se questo è maggiore si passa in condizioni di attrito dinamico e quindi strisciamento...
Grazie ancora per la disponibilità e la rapidità nelle risposte!
Un ultima cosa. Nel momento in cui la sfera avanza di puro rotolamento la forza di attrito statico in che verso è?
A dire il vero... oggi credo di aver avuto un colpo di demenza quando ho scritto questa soluzione, o almento il 2 punto... 
Dimentica quello che ti ho detto prima...
Allora a priori non sai in che verso agisce la forza di attrito, ma siccome è una incognita, la troverai dopo aver risolto il problema tranquillo...
Per sapere se c'è rotolamento ragioniamo per assurdo, ossia immaginamo che ci sia, ossia che sia verificato $\ddottheta=a/R$, naturalemnte questo è vero se la forza di attrito è minore di quella massima ottenibile in condizioni statiche.
Ossia se $|F_a|
Impostando allora le equazioni necessarie in condizioni dinamiche di rss
${(F(R+r)=I_Oa/R),(F+F_a=Ma):}=>F_a=(MR(R+r)-I_O)/(I_O)(R-r)/(2r)muMg=((R+r)/(I_O /(MR))-1)(R-r)/(2r)muMg$
Dato che
$I_O=I_G+MR^2=2/5MR^2+MR^2=7/5MR^2$
bisogna che sia
$((R+r)/(I_O /(MR))-1)(R-r)/(2r)<1$
Il che facendo le dovute sostituzioni porterà alla scoperta che la diseguaglianza è sempre verificata.
In più adesso se sostiutisci trovi la forza di attrito e siccome è positiva, deduci che ha verso concorde ad $F$.
Va notato che basta fare questa verifica per dimostrare se cìè o no rss, dato che se la forza di attrito fosse uguale alla massima ammissibile, allora comincerebbe lo strisiciamento e quindi non ci sarebbe rotolamento.
Dimentica quello che ti ho detto prima...
Allora a priori non sai in che verso agisce la forza di attrito, ma siccome è una incognita, la troverai dopo aver risolto il problema tranquillo...
Per sapere se c'è rotolamento ragioniamo per assurdo, ossia immaginamo che ci sia, ossia che sia verificato $\ddottheta=a/R$, naturalemnte questo è vero se la forza di attrito è minore di quella massima ottenibile in condizioni statiche.
Ossia se $|F_a|
Impostando allora le equazioni necessarie in condizioni dinamiche di rss
${(F(R+r)=I_Oa/R),(F+F_a=Ma):}=>F_a=(MR(R+r)-I_O)/(I_O)(R-r)/(2r)muMg=((R+r)/(I_O /(MR))-1)(R-r)/(2r)muMg$
Dato che
$I_O=I_G+MR^2=2/5MR^2+MR^2=7/5MR^2$
bisogna che sia
$((R+r)/(I_O /(MR))-1)(R-r)/(2r)<1$
Il che facendo le dovute sostituzioni porterà alla scoperta che la diseguaglianza è sempre verificata.
In più adesso se sostiutisci trovi la forza di attrito e siccome è positiva, deduci che ha verso concorde ad $F$.
Va notato che basta fare questa verifica per dimostrare se cìè o no rss, dato che se la forza di attrito fosse uguale alla massima ammissibile, allora comincerebbe lo strisiciamento e quindi non ci sarebbe rotolamento.
Grazie ancora...tutto chiaro!
Di niente...
Mi dispiace tra l'altro di aver completamente toppato al primo tentativo il secondo punto...
sarà stato fose perchè un certo V.R. ha perso di nuovo il titolo ? misteri...
Mi dispiace tra l'altro di aver completamente toppato al primo tentativo il secondo punto...
sarà stato fose perchè un certo V.R. ha perso di nuovo il titolo ? misteri...
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