Problema di Matematica e Fisica nella Simulazione di Esame di Stato
Come saprete, lunedì scorso gli studenti del liceo scientifico hanno sostenuto la prima simulazione del compito di Matematica e Fisica per l'esame di stato.
Il primo problema (risolto, per quanto riguarda la parte analitica, da me qui) ha posto a me ed ai colleghi un problema interpretativo nella parte finale, problema che non sono riuscito completamente a sciogliere.
Gradirei leggere pareri in merito.
Riporto il testo (grazie @melia!) qui di seguito, eliminando il soverchio e chiarisco in fondo il mio dubbio:
I dubbi sono questi:
Il primo problema (risolto, per quanto riguarda la parte analitica, da me qui) ha posto a me ed ai colleghi un problema interpretativo nella parte finale, problema che non sono riuscito completamente a sciogliere.
Gradirei leggere pareri in merito.
Riporto il testo (grazie @melia!) qui di seguito, eliminando il soverchio e chiarisco in fondo il mio dubbio:
Assegnate due costanti reali a e b (con a>0), si consideri la funzione q(t) così definita:
\[
q(t) = at\cdot e^{bt}
\]
[...]
3. Supponendo che la funzione $q(t)$ rappresenti, per $t >= 0$, la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo $t$ (misurato in s) la sezione di un certo conduttore, determinare le dimensioni fisiche delle costanti $a$ e $b$ sopra indicate. Sempre assumendo $a=4$ e $b=-1/2$ [come nel punto 2 del Problema, n.d. gugo82], esprimere l’intensità di corrente $i(t)$ che fluisce nel conduttore all’istante $t$; determinare il valore massimo ed il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si assesta col trascorrere del tempo.
4. Indicando, per $t_0 >= 0$, con $Q(t_0)$ la carica totale che attraversa la sezione del conduttore in un dato intervallo di tempo $[0,t_0 ]$, determinare a quale valore tende $Q(t_0)$ per $t_0 -> +oo$.
Supponendo che la resistenza del conduttore sia $R=3Omega$, scrivere (senza poi effettuare il calcolo), un integrale che fornisca l’energia dissipata nell’intervallo di tempo $[0,t_0 ]$.
I dubbi sono questi:
- [*:g6eje7bk] ha senso fisico/interpretazione univoca la definizione di $q(t)$ data in 3?
[/*:m:g6eje7bk]
[*:g6eje7bk] è lecito sfruttare $i(t)=q^\prime (t)$ anche se nella definizione "fisica" di $q(t)$ c'è un riferimento alla sezione del conduttore?
[/*:m:g6eje7bk]
[*:g6eje7bk] ha senso fisico calcolare (come penso fosse nelle intenzioni degli estensori del problema) $Q(t_0)=int_0^(t_0) q(t)"d"t$?[/*:m:g6eje7bk][/list:u:g6eje7bk]
Probabilmente sono fatti banali, ma sono un po' di anni che non vedo queste cose nel dettaglio.
Grazie a chi si prenderà la briga di rispondere.
Risposte
@gugo82, hai fatto bene a chiedere.
@Indrjo Dedej: [ot]Mah... Recentemente ho seguito dei seminari organizzati da un ispettore del ministero (proprio di quelli che scrivono i testi di esame) che ci ha proposto una domanda a scelta multipla del tipo:
e l'alternativa corretta (a suo dire) era:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x} = 0\; .
\]
Ma ciò non è vero (come gli ho fatto notare subito, da ex docente di Analisi I) perché la soluzione proposta "equivale a dire" che la retta di equazione $y=x$ è la retta tangente in $(0,0)$ al grafico della funzione (anzi, è proprio la definizione di retta tangente, se vuoi, perché è la definizione di differenziabilità) e non a dire che il coefficiente angolare della tangente è $1$, cosa espressa dal limite del rapporto incrementale:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x }{x} = 1
\]
che fornisce il valore della derivata di $sin x$ in $0$.[/ot]
Dire che il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di una funzione $y=sin x$ nel punto $0$ è $1$ equivale a dire che...
e l'alternativa corretta (a suo dire) era:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x} = 0\; .
\]
Ma ciò non è vero (come gli ho fatto notare subito, da ex docente di Analisi I) perché la soluzione proposta "equivale a dire" che la retta di equazione $y=x$ è la retta tangente in $(0,0)$ al grafico della funzione (anzi, è proprio la definizione di retta tangente, se vuoi, perché è la definizione di differenziabilità) e non a dire che il coefficiente angolare della tangente è $1$, cosa espressa dal limite del rapporto incrementale:
\[
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x }{x} = 1
\]
che fornisce il valore della derivata di $sin x$ in $0$.[/ot]
@gugo: il dubbio interpretativo sulla frase che dovrebbe definire la funzione $q(t)$ del testo è più che legittimo, direi che è ottima la risposta che dà qui @mgrau e che riassumo: la frase è fisicamente scorretta, ha senso eventualmente parlare della carica "accumulata" al tempo $t$ a valle della sezione (ovvero che l'ha attraversata da un tempo non precisato fino al tempo $t$); potrebbe diventare corretta se descrivesse una densità di corrente, per cui è previsto un senso di variabile istantanea definita sulla sezione, ma direi che quelle poche parole sulle dimensioni fisiche (coulomb) della funzione $q(t)$ tolgano ogni dubbio sulla seconda possibilità (che è evidentemente da scartare).
Assunto di peso che questo sia il significato da attribuire a $q(t)$, diventa corretto calcolare l'intensità di corrente derivandola rispetto al tempo; è invece sbagliato integrarla per rispondere alla domanda 4 : visto che l'unica interpretazione che dà un senso al problema è, a mio parere, quella che ho esposto, quella che il testo indica come $Q(t_0)$ corrisponde banalmente a:$" "q(t_0)-q(0)$, ossia, se proprio si vuole integrare: $Q(t_0)=int_0^(t_0)dot q(t)dt$.
Detto per inciso, l'integrale che hai scritto:$" "int_0^(t_0)q(t)dt" "$ non può essere una carica: se $q(t)$ è dimensionata in coulomb, questo è esprimibile in $C*s$, che qualunque cosa sia non è una carica.
Salvo miei errori.
[ot]Ben contento di non averlo somministrato
[/ot]
Assunto di peso che questo sia il significato da attribuire a $q(t)$, diventa corretto calcolare l'intensità di corrente derivandola rispetto al tempo; è invece sbagliato integrarla per rispondere alla domanda 4 : visto che l'unica interpretazione che dà un senso al problema è, a mio parere, quella che ho esposto, quella che il testo indica come $Q(t_0)$ corrisponde banalmente a:$" "q(t_0)-q(0)$, ossia, se proprio si vuole integrare: $Q(t_0)=int_0^(t_0)dot q(t)dt$.
Detto per inciso, l'integrale che hai scritto:$" "int_0^(t_0)q(t)dt" "$ non può essere una carica: se $q(t)$ è dimensionata in coulomb, questo è esprimibile in $C*s$, che qualunque cosa sia non è una carica.
Salvo miei errori.
[ot]Ben contento di non averlo somministrato
[/ot]
Boh la madre di tutte le ambiguità. Comunque se non l'avessero chiamata $q(t)$ io leggendo un testo dove mi si dice "si consideri la $f(t)$ come la carica che attraversa una superficie al tempo $t$ avrei risposto con una densità di corrente che appunto si misura in $C/(sm^2)$. Però a questo punto per ricavare la corrente avrei dovuto integrare sulla superficie e non viene data. Quindi la intendono proprio come carica. Mah se si fossero risparmiati quel $t$ a moltiplicare almeno si poteva vedere come la scarica di un condensatore con carica iniziale $a$ e costante di tempo di circuito $1/b$ visto che ci hanno messo un valore negativo numerico. Secondo me sono partiti da questo, poi hanno visto che ovviamente lo studio di funzione, derivate ed integrali sarebbero stati banali e ci hanno aggiunto la complicazione matematica perdendo di senso fisico. Ma comunque resta ambigua nelle parole.
"Palliit":
l ... direi che quelle poche parole sulle dimensioni fisiche (coulomb) della funzione $q(t)$ tolgano ogni dubbio sulla seconda possibilità ...
Direi che, insieme alla richiesta del quarto punto, tolgano ogni dubbio sulla inettitudine dello stesore.
"RenzoDF":
Direi che insieme alla richiesta del quarto punto, tolgano ogni dubbio sulla inettitudine dello stesore.
Mi trovi del tutto concorde. Possibile che nessuno minimamente competente controlli le tracce prima di pubblicarle? Mah.
"Palliit":
quella che il testo indica come $Q(t_0)$ corrisponde banalmente a:$" "q(t_0)-q(0)$, ossia, se proprio si vuole integrare: $Q(t_0)=int_0^(t_0)dot q(t)dt$.
Detto per inciso, l'integrale che hai scritto:$" "int_0^(t_0)q(t)dt" "$ non può essere una carica: se $q(t)$ è dimensionata in coulomb, questo è esprimibile in $C*s$, che qualunque cosa sia non è una carica.
Salvo miei errori.
[ot]Ben contento di non averlo somministrato
D'accordissimo sulla considerazione sulle unità di misura, è la prima che mi ha fatto accendere una lampadina sulla stranezza del testo. Per quanto riguarda l'integrale, non è che volevi scrivere integrale di i(t)?
Inoltre, come può q(t) essere una quantità cumulata se non è crescente? Una quantità cumulata me la immagino sempre crescente nel tempo
@Palliit: Hai completamente ragione: quell'integrale lì non ha alcun senso... Però, se considerassimo $q(t)$ come qualcosa misurato in $C/(sm^2)$ (che roba sarebbe? Un flusso di qualche tipo? Perdonatemi, ma queste cose di elettromagnetismo non le ricordo proprio... Devo andarmele a rivedere con serietà) cambierebbe qualcosa?
In effetti, il mio problema è uguale a quello di Nikikinki... Leggendo il testo avrei proposto interpretazioni "strane".
In effetti, il mio problema è uguale a quello di Nikikinki... Leggendo il testo avrei proposto interpretazioni "strane".
"peppe_89":
Per quanto riguarda l'integrale, non è che volevi scrivere integrale di i(t)?
L'integrale è di$" "dot q(t)=(dq)/dt=i(t)$.
Perdonami, da smartphone non avevo visto il puntino ad indicare la derivata
Da profano, il testo dice "determinare le dimensioni fisiche delle costanti a e b sopra indicate" per cui volendo gli si può assegnare l'unità di misura per far quadrare l'analisi dimensionale no?
"gugo82":
se considerassimo $q(t)$ come qualcosa misurato in $C/(sm^2)$ (che roba sarebbe?)
Densità di corrente, $vec(j)=nqvec(v)$, con $n=$numero di cariche $q$ di conduzione per unità di volume, e $vec(v)$ velocità di deriva delle cariche stesse. Il flusso di $vec(j)$ attraverso la sezione del conduttore ti dà la corrente istantanea. Se non ricordo male. Ma è decisamente al di fuori del programma di quinta liceo (ed è ragionevolissimo che un non-fisico non se lo ricordi).
"Obidream":Il testo richiede che $q(t)$ sia espressa in coulomb.
Da profano, il testo dice "determinare le dimensioni fisiche delle costanti a e b sopra indicate" per cui volendo gli si può assegnare l'unità di misura per far quadrare l'analisi dimensionale no?
Ricordo la denuncia di alcuni docenti per le scorse simulazioni di un paio di mesi fa. Hanno dimostrato come il ministero avesse copiato i problemi da un testo universitario russo. Se hanno fatto la stessa cosa con queste non mi stupirei né della difficoltà superiore al liceo e né degli svarioni nella traduzione dei testi 
"Nikikinki":
...Mah se si fossero risparmiati quel $t$ a moltiplicare almeno si poteva vedere come la scarica di un condensatore con carica iniziale $a$ e costante di tempo di circuito $1/b$ visto che ci hanno messo un valore negativo numerico. Secondo me sono partiti da questo, poi hanno visto che ovviamente lo studio di funzione, derivate ed integrali sarebbero stati banali e ci hanno aggiunto la complicazione matematica perdendo di senso fisico. Ma comunque resta ambigua nelle parole.
Sono pienamente d'accordo.
"Palliit":
ha senso eventualmente parlare della carica "accumulata" al tempo $t$ a valle della sezione (ovvero che l'ha attraversata da un tempo non precisato fino al tempo $t$);
Come può q(t) essere una quantità cumulata se non è crescente? Una quantità cumulata me la immagino sempre crescente nel tempo. Sbaglio qualcosa?
"peppe_89":È una somma algebrica. Aggiungile un incremento di carica negativa (o un incremento negativo ovvero decremento di carica positiva) e la vedrai decrescere. Un conto bancario è un accumulo, aggiungi un debito e il tuo conto decresce. Se esistessero soldi negativi, un incasso di soldi negativi lo farebbe decrescere.
Come può q(t) essere una quantità cumulata se non è crescente?
Mentre gli errori nella seconda prova di latino sono stati ripresi da diverse testate...
Repubblica
Tecnica della scuola
CGIL
...pare non esservi traccia degli errori qui discussi (che condivido) sulla seconda prova di matematica-fisica. Possibile che nessuno se ne sia accorto?
Repubblica
Tecnica della scuola
CGIL
...pare non esservi traccia degli errori qui discussi (che condivido) sulla seconda prova di matematica-fisica. Possibile che nessuno se ne sia accorto?
Qualcuno se n'è accorto
https://www.aif.it/ancora-seconda-prova-quel-delicato-sapore-di-fisica/
... ma è il MIUR che sembra non essersene ancora accorto, ... e non è la prima volta che succede.
https://www.aif.it/ancora-seconda-prova-quel-delicato-sapore-di-fisica/
... ma è il MIUR che sembra non essersene ancora accorto, ... e non è la prima volta che succede.
"RenzoDF":
Qualcuno se n'è accorto
https://www.aif.it/ancora-seconda-prova-quel-delicato-sapore-di-fisica/
... ma è il MIUR che sembra non essersene ancora accorto, ... e non è la prima volta che succede.
Purtroppo è proprio così. Pare se ne sia accorta anche una nota casa editrice
https://deascuola.it/studenti/la-second ... olgimenti/
ma liquida le questione come un semplice problema di interpretazione, cosa che mi pare troppo riduttiva, considerando che il risolutore è poi costretto a stravolgere completamente il senso delle domande successive. Sinceramente non capisco questo silenzio: si è sbraitato tanto nel caso della precedente simulazione per la questione dei quesiti copiati dal manuale russo, e non si dice nulla o quasi per questo caso, che ritengo molto più grave poiché denota ignoranza pura della materia e non solo mera sciatteria e pigrizia.
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