Problema di Galileo (o di Todi-Acquasparta)

[mariodic]

Nell’aprile 1624, nel corso di un viaggio da Firenze a Roma, Galileo si fermò a Todi per discutere di questioni di ottica degli specchi sferici con G.B. Guazzarini (§ Stillman Drake: “Galileo, una biografia scientifica” cap. XVI, ed. Il Mulino, 1988). Uno dei problemi era dimostrare al Guazzarini che i raggi luminosi che incidono lo specchio sferico non convergono in un solo punto dell’asse della calotta sferica, come si credeva, ma si distribuiscono lungo un tratto dello stesso asse. Non conoscono il procedimento di quella dimostrazione, sicuramente era geometrico, come lo erano tutte quelle di Galileo, oggi quella dimostrazione di ottica geometrica ha perduto ogni interesse speculativo. Va tuttavia considerato che Galileo non conosceva l’analisi matematica -non ancora inventata-, per cui sarebbe stato difficile, a quell’epoca, studiare l’aspetto distributivo della densità dei raggi luminosi riflessi sull’asse della calotta sferica in questione. Incuriosito dalle possibili estensioni del problema galileiano propongo qui lo sviluppo del problema della distribuzione sopra adombrato.

Sia dato il semicerchio piano di raggio unitario $AVD$ (in luogo, per semplicità, di una calotta semisferica) con centro in $O$ e vertice (centro della linea costituente la semicirconferenza) in $V$, sia la retta passante per $OV$ l’asse del semicerchio. Immaginiamo che l’interno del semicerchio sia colpito da raggi luminosi, con questo complanari, provenienti da distanza infinita e da tutte le direzioni, con densità uniforme. Sia $P$ un punto generico del semicerchio, posizionato sotto un angolo $alpha$ compreso tra il raggio $OP$ e l'asse del semicerchio $OV$. Va subito notato che un raggio luminoso che colpisce il punto $P$ provenendo da una direzione qualsiasi, che forma l’angolo $\+-theta$ con l’asse $OV$, verrà riflesso secondo uno dei tre seguenti casi:

1) Il raggio riflesso esce, dopo l'incidenza con la curva del semicerchio, definitivamente dal semicerchio stesso tagliando l’asse $OV$ in un punto $\x_P(theta)$
2) Il raggio luminoso, dopo essere stato riflesso dal punto $P$, va a colpire successivamente uno o più altri punti della semicirconferenza prima di uscirvi definitivamente. Tale raggio potrebbe tagliare l’asse $OV$ una o più volte.
3) Il raggio, infine, nel caso particolare che il punto generico $P$ coincida col vertice $V$ e la direzione sia $\theta=0$, fuoriuscirà dal semicerchio senza “tagliare” l’asse $OV$.

Per il caso 2), allo scopo di semplificare il problema, saranno da considerare, ai fini della determinazione della funzione di densità, solo i “tagli” conseguenti alla prima riflessione del raggio incidente nel punto $P$.
Si suggerisce di identificare il punto generico $P$ della semicirconferenza con l’angolo $\alpha$ formato dal raggio del cerchio $OP$ con l’asse $OV$.
Il problema consiste nella determinazione della funzione di distribuzione (di densità) dei punti di "taglio" sull'asse $OV$ sicchè il problema abbia a concludersi con la determinazione di una densita (o flusso totale puntuale) $\Phi=Phi(x)$, dove $x$ è un qualsiasi punto dell'asse $OV$, nel testo già indicato con il simbolo $x_P(theta)$.

[mariodic]

"mariodic":Nell’aprile 1624, nel corso di un viaggio da Firenze a Roma, Galileo si fermò a Todi per discutere di questioni di ottica degli specchi sferici con G.B. Guazzarini (§ Stillman Drake: “Galileo, una biografia scientifica” cap. XVI, ed. Il Mulino, 1988). Uno dei problemi era dimostrare al Guazzarini che i raggi luminosi che incidono lo specchio sferico non convergono in un solo punto dell’asse della calotta sferica, come si credeva, ma si distribuiscono lungo un tratto dello stesso asse. Non conoscono il procedimento di quella dimostrazione, sicuramente era geometrico, come lo erano tutte quelle di Galileo, oggi quella dimostrazione di ottica geometrica ha perduto ogni interesse speculativo. Va tuttavia considerato che Galileo non conosceva l’analisi matematica -non ancora inventata-, per cui sarebbe stato difficile, a quell’epoca, studiare l’aspetto distributivo della densità dei raggi luminosi riflessi sull’asse della calotta sferica in questione. Incuriosito dalle possibili estensioni del problema galileiano propongo qui lo sviluppo del problema della distribuzione sopra adombrato.

Sia dato il semicerchio piano di raggio unitario $AVD$ (in luogo, per semplicità, di una calotta semisferica) con centro in $O$ e vertice (centro della linea costituente la semicirconferenza) in $V$, sia la retta passante per $OV$ l’asse del semicerchio. Immaginiamo che l’interno del semicerchio sia colpito da raggi luminosi, con questo complanari, provenienti da distanza infinita e da tutte le direzioni, con densità uniforme. Sia $P$ un punto generico del semicerchio, posizionato sotto un angolo $alpha$ compreso tra il raggio $OP$ e l'asse del semicerchio $OV$. Va subito notato che un raggio luminoso che colpisce il punto $P$ provenendo da una direzione qualsiasi, che forma l’angolo $\+-theta$ con l’asse $OV$, verrà riflesso secondo uno dei tre seguenti casi:

1) Il raggio riflesso esce, dopo l'incidenza con la curva del semicerchio, definitivamente dal semicerchio stesso tagliando l’asse $OV$ in un punto $\x_P(theta)$
2) Il raggio luminoso, dopo essere stato riflesso dal punto $P$, va a colpire successivamente uno o più altri punti della semicirconferenza prima di uscirvi definitivamente. Tale raggio potrebbe tagliare l’asse $OV$ una o più volte.
3) Il raggio, infine, nel caso particolare che il punto generico $P$ coincida col vertice $V$ e la direzione sia $\theta=0$, fuoriuscirà dal semicerchio senza “tagliare” l’asse $OV$.

Per il caso 2), allo scopo di semplificare il problema, saranno da considerare, ai fini della determinazione della funzione di densità, solo i “tagli” conseguenti alla prima riflessione del raggio incidente nel punto $P$.
Si suggerisce di identificare il punto generico $P$ della semicirconferenza con l’angolo $\alpha$ formato dal raggio del cerchio $OP$ con l’asse $OV$.
Il problema consiste nella determinazione della funzione di distribuzione (di densità) dei punti di "taglio" sull'asse $OV$ sicchè il problema abbia a concludersi con la determinazione di una densita (o flusso totale puntuale) $\Phi=Phi(x)$, dove $x$ è un qualsiasi punto dell'asse $OV$, nel testo già indicato con il simbolo $x_P(theta)$.

Una soluzione (o idea di soluzione) di questo problema, in quanto riportato anche in altra parte di questo forum, per l'esattezza alla sezione "superiori", lì può essere anche reperita la soluzione medesima.