Problema di fisica: moto puro rotolamento
Chi mi da qualche consiglio per questo problema di meccanica?
Una corpo sferico di raggio R=40cm rotola senza strisciare su discesa e alla fine della discesa incontra un gradino di altessa h=10 cm.
Supponendo che il corpo parta da fermo la velocità dei punti di contatto con il gradino è nulla e non vi è slittamento:
da quale quota minima rispetto alla base del gradino deve muoversi la sfera affinché superi il gradino?
Il problema si risolve attraverso il bilancio energetico considerando che il corpo arrivando a contatto con il gradino rotola attorno questo stesso punto di contatto in cui energia cinetica e potenziale sono nulle....lo stesso al momento iniziale tutti i punti hanno energia cinetica nulla ma energia potenziale pari a mgH
Una corpo sferico di raggio R=40cm rotola senza strisciare su discesa e alla fine della discesa incontra un gradino di altessa h=10 cm.
Supponendo che il corpo parta da fermo la velocità dei punti di contatto con il gradino è nulla e non vi è slittamento:
da quale quota minima rispetto alla base del gradino deve muoversi la sfera affinché superi il gradino?
Il problema si risolve attraverso il bilancio energetico considerando che il corpo arrivando a contatto con il gradino rotola attorno questo stesso punto di contatto in cui energia cinetica e potenziale sono nulle....lo stesso al momento iniziale tutti i punti hanno energia cinetica nulla ma energia potenziale pari a mgH
Risposte
Quando il corpo tocca il gradino, c'è un urto. Sai che la velocità del punto di contatto dopo l'urto è zero.
Occorre trovare nell'istante successivo all'urto l'energia cinetica del corpo dovuta alla rotazione di esso attorno al punto di contatto ed eguagliarla al salto di energia potenziale per salire il gradino.
Come puoi trovare quella velocità di rotazione subito dopo l'urto?
Occorre trovare nell'istante successivo all'urto l'energia cinetica del corpo dovuta alla rotazione di esso attorno al punto di contatto ed eguagliarla al salto di energia potenziale per salire il gradino.
Come puoi trovare quella velocità di rotazione subito dopo l'urto?
Prima di tutto grazie mille per l'aiuto...
concettualmente avevo pensato a quello che tu hai detto quindi l'energia potenziale Mgd deve essere uguale all'energia cinetica del corpo in cui la velocità è quella dopo l'urto...
Però dato che nel testo non è data la massa del corpo mi chiedevo se nell'equazione ci fossero altri contributi perché se così fosse il termine M non scomparirebbe dall'equazione e non riuscirei andare avanti...
Se invece basta uguagliare energia potenziale necessaria per salire il gradino ed energia cinetica dopo l'urto devo solamente questa velocità...
Per quest'ultima basta forse considerare che sul punto di contatto fermo (cioè lo spigolo del gradino) si conserva il momento angolare?
concettualmente avevo pensato a quello che tu hai detto quindi l'energia potenziale Mgd deve essere uguale all'energia cinetica del corpo in cui la velocità è quella dopo l'urto...
Però dato che nel testo non è data la massa del corpo mi chiedevo se nell'equazione ci fossero altri contributi perché se così fosse il termine M non scomparirebbe dall'equazione e non riuscirei andare avanti...
Se invece basta uguagliare energia potenziale necessaria per salire il gradino ed energia cinetica dopo l'urto devo solamente questa velocità...
Per quest'ultima basta forse considerare che sul punto di contatto fermo (cioè lo spigolo del gradino) si conserva il momento angolare?
Anzi visto che l'energia cinetica la posso scrivere come $ 1/2Iw^2 $ non posso evitare di calcolarmi la velocità v?
"roby92100":
Se invece basta uguagliare energia potenziale necessaria per salire il gradino ed energia cinetica dopo l'urto devo solamente questa velocità...
Per quest'ultima basta forse considerare che sul punto di contatto fermo (cioè lo spigolo del gradino) si conserva il momento angolare?
Sì ti basta quello.
Quindi in funzione della quota di partenza trovi la velocità al momento dell'impatto, poi trovi la velocità dopo l'impatto e eguagli l'energia dopo l'impatto al salto di energia potenziale per salire il gradino.
Per calcolare la velocità subito dopo l'urto hai detto bene: conservazione del momento angolare.
Vedrai che la massa non è necessaria alla fine.
PS: Per velocità dopo l'impatto si intende velocità angolare attorno al punto di impatto.
Ultima domanda e poi inizio a fare i calcoli veri e propri....il momento angolare prima e dopo l'urto è uguale...ma: (scrivendo w=velocità angolare prima dell'urto e w' dopo l'urto)
dopo dell'urto facilmente il momento angolare è uguale a $ Iw' $ poiché lo spigolo è anche l'asse
ma prima dell'urto come faccio? devo calcolarlo rispetto il momento del punto di contatto?
dopo dell'urto facilmente il momento angolare è uguale a $ Iw' $ poiché lo spigolo è anche l'asse
ma prima dell'urto come faccio? devo calcolarlo rispetto il momento del punto di contatto?
Devi scrivere il momento angolare del corpo rispetto al punto di contatto prima e dopo l'urto .
Dopo puoi vedere il moto solo come una rotazione attorno al punto di contatto, mentre prima hai che il corpo rotola senza strisciare ma il momento angolare rispetto ad un punto puoi sempre scriverlo...
NB: Anche il momento angolare puoi scriverlo come momento angolare come se tutta la massa del corpo fosse nel centro di massa più momento angolare del corpo calcolato rispetto al centro di massa.
Dopo puoi vedere il moto solo come una rotazione attorno al punto di contatto, mentre prima hai che il corpo rotola senza strisciare ma il momento angolare rispetto ad un punto puoi sempre scriverlo...
NB: Anche il momento angolare puoi scriverlo come momento angolare come se tutta la massa del corpo fosse nel centro di massa più momento angolare del corpo calcolato rispetto al centro di massa.
Penso di aver concluso appena hai tempo se puoi dagli un'occhiata:
prima di tutto mi calcolo la velocità del centro di massa in funzione dell'altezza d
$ Mgd=1/2Iw^2 + 1/2Mvc^2 = 1/2(2/5MR^2)(vc)^2/R^2 + 1/2Mvc^2 $
questo dal principio di conservazione dell'energia meccanica essendo $Mgd$ l'energia potenziale del corpo quando si trova in quiete nel punto più alto e il fattore a secondo membro l'energia cinetica del corpo in movimento calcolata con il teorema di Koning... con $I=2/5MR^2$ ho ovviamente indicato il momento di inerzia di una sfera piena.
una volta calcolata la velocità mi calcolo, come da te suggerito, il momento angolare prima e dopo l'urto: chiamo $w$ la velocità angolare prima dell'urto e $w'$ quella dopo l'urto...
quindi...Prima dell'urto $ L=Lc + Mvc*(R-h) = 2/5MR^2w+Mvc(R-h)=Mvc(7/5R-h) $
Dopo l'urto $ L'=Iw'= 2/5 MR^2w' $
ponendo ora $ L=L' $ ottengo $ w'=(vc)/R*7/2*(1-5/7 h/R) $
Adesso possiamo calcolare l'energia cinetica dopo l'urto $ Ek'=1/2Iw'^2=1/2*2/5MR^2*w'^2 $ a questa soluzione sostituisco $ w'^2 $ dove compare $ vc^2 $ che sostituisco a sua volta con la velocità trovata ad inizio esercizio... in questo modo ottengo $ Ek=7/5Mgd(1-5/7*h/m)^2 $ e per finire impongo cosa detto sin dall'inizio cioè $ Ek=mgh $
ed ottengo $ d=(5/7h)/(1-5/7 h/R)^2 $
Chissà quanti errori ci saranno XD
prima di tutto mi calcolo la velocità del centro di massa in funzione dell'altezza d
$ Mgd=1/2Iw^2 + 1/2Mvc^2 = 1/2(2/5MR^2)(vc)^2/R^2 + 1/2Mvc^2 $
questo dal principio di conservazione dell'energia meccanica essendo $Mgd$ l'energia potenziale del corpo quando si trova in quiete nel punto più alto e il fattore a secondo membro l'energia cinetica del corpo in movimento calcolata con il teorema di Koning... con $I=2/5MR^2$ ho ovviamente indicato il momento di inerzia di una sfera piena.
una volta calcolata la velocità mi calcolo, come da te suggerito, il momento angolare prima e dopo l'urto: chiamo $w$ la velocità angolare prima dell'urto e $w'$ quella dopo l'urto...
quindi...Prima dell'urto $ L=Lc + Mvc*(R-h) = 2/5MR^2w+Mvc(R-h)=Mvc(7/5R-h) $
Dopo l'urto $ L'=Iw'= 2/5 MR^2w' $
ponendo ora $ L=L' $ ottengo $ w'=(vc)/R*7/2*(1-5/7 h/R) $
Adesso possiamo calcolare l'energia cinetica dopo l'urto $ Ek'=1/2Iw'^2=1/2*2/5MR^2*w'^2 $ a questa soluzione sostituisco $ w'^2 $ dove compare $ vc^2 $ che sostituisco a sua volta con la velocità trovata ad inizio esercizio... in questo modo ottengo $ Ek=7/5Mgd(1-5/7*h/m)^2 $ e per finire impongo cosa detto sin dall'inizio cioè $ Ek=mgh $
ed ottengo $ d=(5/7h)/(1-5/7 h/R)^2 $
Chissà quanti errori ci saranno XD
Mi sembra abbastanza bene.
Solo l'espressione del momento angolare dopo l'urto è sbagliata: tutto ruota attorno al punto di contatto non attorno al centro di massa....
stessa cosa per l'espressione dell'energia cinetica subito dopo l'urto.
Solo l'espressione del momento angolare dopo l'urto è sbagliata: tutto ruota attorno al punto di contatto non attorno al centro di massa....
stessa cosa per l'espressione dell'energia cinetica subito dopo l'urto.
cioè devo calcolare L' proprio come ho calcolato L solo con un altro Lc dato che il punto di contatto è un altro? Lo stesso per l'energia cinetica devo calcolarla con il teorema di Konig?
cioè devo calcolare L' proprio come ho calcolato L solo con un altro Lc dato che il punto di contatto è un altro? Lo stesso per l'energia cinetica devo calcolarla con il teorema di Konig?
cioè devo calcolare L' proprio come ho calcolato L solo con un altro Lc dato che il punto di contatto è un altro? Lo stesso per l'energia cinetica devo calcolarla con il teorema di Konig?
$ Ek=Ek'+1/2Mvc^2 $
$ Ek=Ek'+1/2Mvc^2 $
"roby92100":
cioè devo calcolare L' proprio come ho calcolato L solo con un altro Lc dato che il punto di contatto è un altro? Lo stesso per l'energia cinetica devo calcolarla con il teorema di Konig?
...oppure basta che scrivi il momento di inerzia rispetto al punto di contatto e non rispetto al centro di massa.
Prima dell'urto $ L=Lc + Mvc*(R-h) = 2/5MR^2w+Mvc(R-h)=Mvc(7/5R-h) $
Dopo l'urto $ L'=Lc2+MvcR$
Mi sa che non ho capito perché non credo sia molto corretta......
Dopo l'urto $ L'=Lc2+MvcR$
Mi sa che non ho capito perché non credo sia molto corretta......
L'espressione prima dell'urto è ok.
Quella dopo l'urto va bene, ma devi stare attento a quanto vale $v_c$ dopo l'urto che è diverso dal valore prima.
Altrimenti più semplicemente dopo l'urto:
$L'=(2/5 M R^2 + M d^2) omega'$
dove $d$ è la distanza tra il centro della sfera e il punto di impatto.
Quella dopo l'urto va bene, ma devi stare attento a quanto vale $v_c$ dopo l'urto che è diverso dal valore prima.
Altrimenti più semplicemente dopo l'urto:
$L'=(2/5 M R^2 + M d^2) omega'$
dove $d$ è la distanza tra il centro della sfera e il punto di impatto.
"Faussone":
L'espressione prima dell'urto è ok.
Quella dopo l'urto va bene, ma devi stare attento a quanto vale $v_c$ dopo l'urto che è diverso dal valore prima.
Altrimenti più semplicemente dopo l'urto:
$L'=(2/5 M R^2 + M d^2) omega'$
dove $d$ è la distanza tra il centro della sfera e il punto di impatto.
E cm posso arrivarci a questa formula? inoltre: la distanza tra il punto di impatto e il centro non è R???
"roby92100":
[quote="Faussone"]L'espressione prima dell'urto è ok.
Quella dopo l'urto va bene, ma devi stare attento a quanto vale $v_c$ dopo l'urto che è diverso dal valore prima.
Altrimenti più semplicemente dopo l'urto:
$L'=(2/5 M R^2 + M d^2) omega'$
dove $d$ è la distanza tra il centro della sfera e il punto di impatto.
E cm posso arrivarci a questa formula? inoltre: la distanza tra il punto di impatto e il centro non è R???[/quote]
Quello che ho scritto è Huygens-Steiner per calcolare il momento di inerzia rispetto al punto di impatto.
Se non sei convinto usa pure la tua espressione considerando che $v'_c=omega' *d$
Ovvio $d=R$ nel caso specifico!
"Faussone":
[quote="roby92100"][quote="Faussone"]L'espressione prima dell'urto è ok.
Quella dopo l'urto va bene, ma devi stare attento a quanto vale $v_c$ dopo l'urto che è diverso dal valore prima.
Altrimenti più semplicemente dopo l'urto:
$L'=(2/5 M R^2 + M d^2) omega'$
dove $d$ è la distanza tra il centro della sfera e il punto di impatto.
E cm posso arrivarci a questa formula? inoltre: la distanza tra il punto di impatto e il centro non è R???[/quote]
Quello che ho scritto è Huygens-Steiner per calcolare il momento di inerzia rispetto al punto di impatto.
Se non sei convinto usa pure la tua espressione considerando che $v'_c=omega' *d$
Ovvio $d=R$ nel caso specifico![/quote]
caspita hai ragione io leggendo tra le formule $ I=Ic+md^2 $ non pensavo completamente ad usarla...
quindi o uso questa o quella precedente....l'ultima cosa che non mi quadra è il fatto che con un metodo o l'altra le formule del momento dopo lìurto dovrebbero essere uguali mentre invece escono cosi
$ L'=(2/5 M R^2 + M d^2) omega' $
oppure
"roby92100":
caspita hai ragione io leggendo tra le formule $ I=Ic+md^2 $ non pensavo completamente ad usarla...
quindi o uso questa o quella precedente....l'ultima cosa che non mi quadra è il fatto che con un metodo o l'altra le formule del momento dopo lìurto dovrebbero essere uguali mentre invece escono cosi
$ L'=(2/5 M R^2 + M d^2) omega' $
oppure
oppure?
Sono uguali!
Mia:
$L'=(2/5mR^2+M*R^2)*omega'$
tua:
$L'=Lc2+Mv_c'*R=2/5*M*R^2*omega'+M *omega'*R*R=(2/5mR^2+M*R^2)*omega'$
visto che $v_c'=omega'*R$.
"Faussone":
[quote="roby92100"][quote="Faussone"]L'espressione prima dell'urto è ok.
Quella dopo l'urto va bene, ma devi stare attento a quanto vale $v_c$ dopo l'urto che è diverso dal valore prima.
Altrimenti più semplicemente dopo l'urto:
$L'=(2/5 M R^2 + M d^2) omega'$
dove $d$ è la distanza tra il centro della sfera e il punto di impatto.
E cm posso arrivarci a questa formula? inoltre: la distanza tra il punto di impatto e il centro non è R???[/quote]
Quello che ho scritto è Huygens-Steiner per calcolare il momento di inerzia rispetto al punto di impatto.
Se non sei convinto usa pure la tua espressione considerando che $v'_c=omega' *d$
Ovvio $d=R$ nel caso specifico![/quote]
caspita hai ragione io leggendo tra le formule $ I=Ic+md^2 $ non pensavo completamente ad usarla...
quindi o uso questa o quella precedente...oltretutto, come è ovvio, si arriva alla stessa formula
$ L'=Lc2+MvcR=Iw'+Mw'R*R=2/5MR^2w'+Mw'R^2=(2/5MR^2+MR^2)w' $
in questo modo adesso imponendo $ L=L' $ ottengo $ w'=(vc)/R*(1-5/7*h/R) $ che devo andare a sostituire nell'equazione che uguagli l'energia potenziale e quella cinetica stavolta spero corretta $ Ek=1/2Icw'^2=1/2(2/5 M R^2 + M d^2)w'2 $ ....per concludere pongo uguale all'energia potenziale e ottengo la soluzione $ d=h/(1-5/7*h/R)^2 $ chissà se come prima ad un esame mi avrebbero fatto storie per quel coefficiente in piu nella soluzione XD XD XD.....grazie di tutto sei stato grande
"Faussone":
[quote="roby92100"]
caspita hai ragione io leggendo tra le formule $ I=Ic+md^2 $ non pensavo completamente ad usarla...
quindi o uso questa o quella precedente....l'ultima cosa che non mi quadra è il fatto che con un metodo o l'altra le formule del momento dopo lìurto dovrebbero essere uguali mentre invece escono cosi
$ L'=(2/5 M R^2 + M d^2) omega' $
oppure
oppure?
Sono uguali!
Mia:
$L'=(2/5mR^2+M*R^2)*omega'$
tua:
$L'=Lc2+Mv_c'*R=2/5*M*R^2*omega'+M *omega'*R*R=(2/5mR^2+M*R^2)*omega'$
visto che $v_c'=omega'*R$.[/quote]
mentre scrivevo mi sono accorto della bufala e invece di cancellare avrò sbadatamente inviato il messaggio incompleto
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