Problema di fisica molla e carrucola

[Fede_16]

Salve a tutti, oggi ennesimo dubbio su di un esercizio che riguarda la conservazione dell'energia.

Un oggetto A di massa m è appoggiato su un piano orizzontale liscio. Esso è connesso con dei fili ad un punto P e (tramite una carrucola molto leggera) ad un contrappeso B che ha la stessa massa di A. Inoltre l’oggetto A è anche connesso al punto O tramite una molla di lunghezza $l_0=50cm$, che nella situazione iniziale è in condizioni di riposo, e di costante elastica $K=5mg/l_0$. In un certo istante il filo PA viene tagliato ed A comincia a muoversi. Trovare la velocità di A quando si solleva dal piano orizzontale.



Ho provato a procedere così, prima di bloccarmi:

Considerando il sistema al punto di stacco ho scritto la seconda legge di Newton lungo l'asse y che punta verso l'alto, definendo $\theta$ come l'angolo tra la molla e la verticale che si forma durante il moto e $\Delta(x)$ come il conseguente allungamento della molla:

$ \hat{y}: k[\Delta(x)]cos(\theta) + N -mg=ma_{1_{y}} $

Applicando le condizioni di stacco ho posto $a_{1_{y}}=0$ e $N=0$, quindi diventa:

$\hat{y}: k[\Delta(x)]cos(\theta)=mg$ (1.0)

Da considerazioni geometriche ho ricavato che, all'istante di stacco:

$l_0=[l_0+\Delta(x)]cos(\theta) \Rightarrow cos(\theta)=\frac{l_0}{l_0+\Delta(x)}$

Quindi la (1.0) diventa:

$ \frac{k[\Delta(x)]l_0}{l_0+\Delta(x)}=mg \Rightarrow k[\Delta(x)]l_0=mgl_0+mg[\Delta(x)] \Rightarrow \Delta(x)=\frac{mgl_0}{kl_0-mg}=\frac{l_0}{4}$

(Considerando che $k=5mg/l_0$ come da testo)

Dunque posso trovare anche l'angolo al momento del distacco:

$cos(\theta)=\frac{l_0}{l_0+\Delta(x)}=\frac{l_0}{l_0+l_0/4}=4/5 \Rightarrow sin(\theta)=3/5$

Ricapitolando, se non erro, al momento del distacco avremo: $sin(\theta)=3/5$, $\Delta(x)=\l_0/4$ e $cos(\theta)=4/5$. Adesso però mi son bloccato, ho provato a sfruttare il teorema delle forza vive, ma senza successo. Qualcuno ha in mente qualche buona idea? La soluzione dovrebbe essere questa:

$v=sqrt(\frac{19gl_0}{32}) = 1,7 m/s$

Grazie a tutti per la lettura e buona fisica!

[anonymous_0b37e9]

Basta risolvere il sistema sottostante:

Conservazione dell'energia meccanica

$0=1/2mv^2+1/2mv^2+1/2k(sqrt(x^2+L_0^2)-L_0)^2-mgx$

Condizione di distacco

$(kL_0(sqrt(x^2+L_0^2)-L_0))/sqrt(x^2+L_0^2)=mg$

Dalla seconda equazione:

$[sqrt(x^2+L_0^2)=(kL_0^2)/(kL_0-mg)] rarr [sqrt(x^2+1/4)=5/8] rarr [x=3/8]$

Dalla prima equazione:

$v=sqrt(19g)/8$

[Fede_16]

Ti ringrazio! Adesso ho capito, era più corto del previsto Alla prossima e buona giornata!