Problema di Fisica II, condensatore piano semiriempito di dielettrico con pallina carica

[Mark95]

Salve, sono nuovo nel forum, sono uno studente universitario iscritto a chimica, chiedo il vostro aiuto perché non riesco a capire come svolgere un esercizio di Fisica II del libro "Fisica II Elettromagnetismo e onde - Mazzoldi, Nigro, Voci"

(Premetto che questa materia l'ho incontrata per la prima volta all'università, ho avuto solo una piccola infarinatura di fisica1 al liceo, poiché ho fatto un istituto tecnico, quindi non escludo gaffe da parte mia e chiedo scusa in anticipo. Ho preso 30 in fisica I, non dico che voglio prendere esclusivamente il 30 anche in fisica II, ma non voglio nemmeno sostenere l'esame giusto per prenderlo con qualsiasi voto mi capiti. Voglio capirla, aiutatemi se vi va )

Esercizio:

Un condensatore piano, avente armature verticali di area $\Sigma$ = $500$$cm^2$ distanti $d$ = $1cm$, è collegato ad un generatore di d.d.p. $V$ = $10^3V$. Una lastra di dielettrico, di spessore $h$ = $0.6cm$ e costante dielettrica relativa $\kappa$ = $4$, è inserita tra le armature ed è addossata a quella carica negativamente. All'armatura positiva è appesa tramite un filo sottile isolante, una pallina di massa $m$ = $10^-3Kg$ e carica $q_0$ = $5*10^-9C$, che rimane in equilibrio con il filo ad angolo $\theta$ rispetto alla verticale. Calcolare il valore del campo elettrico che agisce sulla pallina, dell'angolo $\theta$ di equilibrio, della carica presente sulle armature e della carica di polarizzazione presente sulla superficie del dielettrico.



Soluzioni: $E$ = $1,82*10^5V/m$ ; dalla condizione di equilibrio: $\theta$ = $5.31°$ ; $q$ = $8.06*10^-8C$ ; $q_p$ = $6.04*10^-8C$

Non riesco a trovare il campo elettrico e di conseguenza la forza elettrostatica che agisce sulla pallina. Come primo approccio all'esercizio, ho riscritto il problema come se stessi considerando 2 condensatori in serie, un condensatore che ha distanza $h$ tra le armature e riempito di dielettrico, collegato in serie con l'altro condensatore che ha distanza $d-h$ tra le armature (vuoto).
Mi sono calcolato le capacità $C'_1$ e $C_2$:

$C'_1$ = $q/V$ = $(\sigma A)/(Eh)$ = $(DA)/(Eh)$ = $\varepsilon_0$ $\varepsilon_r$ $(EA)/(Eh)$ = $\varepsilon_0$ $\varepsilon_r$ $A/h$ = $2.95*10^-10F$

$C_2$ = $q/V$ = $(\sigma A)/(E_0 (d-h))$ = $(\varepsilon_0 E_0 A)/( E_0 (d-h))$ = $\varepsilon_0 (A)/(d-h)$ = $1.11*10^-10F$

Poi, sapendo che i condensatori sono collegati in serie:

${ ( q_1 = q_2 ),( V = V_1 + V_2 ):}$

Sapendo che: $q_1 = q_2$ $\rightarrow$ $C'_1 V_1$ = $C_2 V_2$ , allora:

${ ( C'_1 V_1 = C_2 V_2 ),( V = V_1 + V_2 ):}$

Risolvendo il sistema trovo:

$V_1$ = $(C_2 V)/(C_2 + C'_1)$ $\rightarrow$ $E_v (d-h)$ = $(C_2 V)/(C_2 + C'_1)$ $\rightarrow$ $E_v$ = $ 1/(d-h) * (C_2 V)/(C_2 + C'_1)$ = $68250V/m$

Dove con $E_v$ indico il campo elettrico nel vuoto.

$V_2$ = $(C'_1 V)/(C'_1 + C_2)$ $\rightarrow$ $E_d h$ = $(C'_1 V)/(C'_1 + C_2)$ $\rightarrow$ $E_d$ = $ 1/h * (C'_1 V)/(C'_1 + C_2)$ = $121669.1V/m$

Dove con $E_d$ indico il campo elettrico nel dielettrico.

Ma una volta trovato questi campi elettrici, la loro somma darà il campo elettrico nell'intero condensatore? (quindi $E$ = $189920V/m$), ma seppur suppongo ciò, comunque non troverei il campo elettrico che agisce sulla pallina. Pensavo che calcolandomi il CE dell'intero condensatore mi sarei trovato anche la forza elettrostratica che agisce sulla pallina, ma penso sicuramente di sbagliarmi.

Questo quesito mi frena dallo svolgere l'esercizio per intero... Anche perché, fatto ciò, mi ritroverei la forza elettrostatica $F_e$ = $q_0 E$ e sapendo la forza peso che agisce sulla pallina, $F_p$ = $mg$, potrei considerare la condizione all'equilibrio, cioè:

$\vec{F_e} + \vec{F_p} + \vec{T} = 0$

Quindi:

\begin{cases} Fe_x + T_x = 0 \\ Fp_y + T_y = 0 \end{cases}

Sapendo che tramite le regole trigonometriche $T_x$ = $T \sin \theta$ e $T_y$ = $T \cos \theta$, dividendo la prima equazione a sistema con la seconda, dovremmo ottenere:

$\tan \theta$ = $F_e/F_p$ $\rightarrow$ $\theta$ = $\arctan (F_e/F_p)$ $\rightarrow$ $\theta$ = $\arctan ((q_0 E)/(m g))$

Poi, mi potrebbe risultare semplice anche calcolare la carica sulle armature e la carica sul dielettrico, ma, ripeto, non riesco a calcolare il campo elettrico
è un problema, mi sento stupido ho anche provato a calcolare la capacità equivalente e a calcolare il CE da quest'ultimo dato, ma non viene, anche perché, effettivamente, non posso utilizzare il potenziale dato dalla traccia, perché, essendo i condensatori collegati in serie, la d.d.p. non è la stessa su entrambi i condesatori, insomma, con la presenza del dielettrico il potenziale dovrebbe diminuire di intensità. Se non ho capito qualcosa di calcolo o di teoria, oppure ho fatto una grossa confusione, ditemelo!! Ve ne sarei molto grato.

Mi scuso per la mia ignoranza, ma ci provo!! La chimica è la mia passione e se questo esame mi serve, non importa quante volte cadrò o quanto sarà intensa la caduta, devo farcela, anche perché in chimica vado molto bene e mi manca poco per diventare dottore!

[RenzoDF]

I due campi non si sommano e stai solo confondendo i calcoli per i due condensatori.

A te interessa il campo nel condensatore di sinistra $C_2$, e per ricavare il campo ti serve la tensione $V_2$, tensione che rispetto alla $V_1$ sarà pari al rapporto inverso fra le capacità, quindi

$V_2/V_1=C_1/C_2=\epsilon_{r1}/\epsilon_{r2}((d-h)/h)=8/3$

e quindi, essendo nota la loro somma

$V_2=8000/11 \ \text{V}$

ne segue

$E_2=V_2/(d-h)\approx 182 \ \text{kV/m}$

[Mark95]

Grazie, non ci avevo pensato, è giusto! ed era pure molto semplice , bravo RenzoDF, devo migliorare ancora di più . adesso con questo campo mi tornano tutti i conti.
per chi visualizza il forum e non sa come risolvere il resto dell'esercizio, senza aprire altri messaggi:

Prosieguo dell'esercizio:

sapendo che nella parte vuota del condensatore vale:

$E_0$ = $ \sigma/\varepsilon_0$ e che $ \sigma$ = $q/A$

Allora:

$q$ = $ \sigma A$ = $\varepsilon_0 E_0 A$ = $8.05*10^-9C$

dove $E_0$ è il CE calcolato da RenzoDF

per calcolcolare $q_p$ facciamo:

$\sigma_p$ = $P$ = $\varepsilon_0 \chi E$ = $(\varepsilon_0 \chi E_0)/\varepsilon_r$ = $\chi/\varepsilon_r \sigma$

Quindi:

$\sigma_p$ = $\chi/\varepsilon_r \sigma$ $\rightarrow$ $q_p/A$ = $\chi/\varepsilon_r * q/A$ $\rightarrow$ $q_p$ = $\chi/\varepsilon_r q$ = $6.04*10^-8C$

Dove $\chi$ = $\varepsilon_r - 1$

scusate se al posto di $\Sigma$ uso $A$ e al posto di $\kappa$ uso $\varepsilon_r$, ma sono abituato a scrivere in questa maniera l'area e la costante dielettrica relativa