Problema di Fisica II

[laurapa1]

Un anello di raggio $R=17,8 cm$ è uniformemente carico con densità di carica lineare $lambda = 4.46*10^(-9) C/m$. L'anello è in rotazione uniforme intorno a un asse diametrale con velocità angolare di $276 (rad)/s$. Determinare il modulo della densità di corrente superficiale media a distanza $ R $ dal centro dell'anello.
Un aiutino??

[enr87]

l'anello ha una carica statica di cui ti viene data la densità. se lo metti in rotazione rispetto al suo centro, si forma una corrente, che puoi calcolare. ciò che non capisco è che l'anello ha una sezione trascurabile, e pertanto non è possibile definire una densità di corrente superficiale; oppure non capisco bene la domanda.

[Falco5x]

"enr87":ciò che non capisco è che l'anello ha una sezione trascurabile, e pertanto non è possibile definire una densità di corrente superficiale; oppure non capisco bene la domanda.

Guarda però che la corrente fluisce in verso ortogonale rispetto al filo circolare che costituisce l'anello.
Immagina come se ci fosse una superficie sferica avente i poli sull'asse di rotazione del cerchio e percorsa da corrente nel verso dei suoi paralleli; infatti il filo circolare nella sua rotazione traccia proprio una superficie sferica, dunque è lecito parlare di densità superficiale di corrente, dove per superficie si intende quella della sfera.

[enr87]

ahhh, grazie della segnalazione! infatti sul testo era scritto che è in rotazione attorno ad un asse diametrale, mentre io credevo fosse in rotazione rispetto all'asse passante per il centro e normale a quello diametrale.
quindi basta trovare la corrente come ho detto sopra e dividere per la superficie della sfera

[Falco5x]

"enr87":ahhh, grazie della segnalazione! infatti sul testo era scritto che è in rotazione attorno ad un asse diametrale, mentre io credevo fosse in rotazione rispetto all'asse passante per il centro e normale a quello diametrale.
quindi basta trovare la corrente come ho detto sopra e dividere per la superficie della sfera

Beh sarebbe un po' troppo approssimato, tieni presente che la corrente non è uniforme, è massima all'equatore dove la velocità è massima e zero ai poli.

[enr87]

mmm, proverei così ma non sono sicuro di approssimare correttamente: chiamando $theta$ l'angolo spazzato dall'anello che ruota, direi che la densità di corrente per unità di superficie è $lambda R (d theta)/ dt = lambda R omega$ all'equatore.
dimmi se secondo te va bene
al momento qualcosa non mi torna, ci penserò su meglio. sicuramente è sbagliato perchè dimensionalmente il conto non torna.

[Falco5x]

Mi pare di sì.
Perché dici che dimensionalmente non torna?

[enr87]

scusa sto facendo confusione stasera. dimensionalmente non torna, perchè deve essere una densità di corrente per unità di superficie, e viene invece C/s, cioè una corrente

[Falco5x]

Allora calma e ragioniamo.
Facciamoci prima una domanda: come si passa da una densità superficiale a una corrente?
Se fosse una corrente che fluisce in un volume, per calcolare la corrente occorrerebbe calcolare il flusso della densità attraverso una superficie.
Quando invece la corrente è superficiale, la densità è un qualcosa che per dare una corrente va moltiplicato per una lunghezza (sarebbe meglio dire una larghezza ).
Ti torna?

[Falco5x]

Ora nel caso dell'anello rotante, presa una fascia equatoriale di angolatura $d\alpha$ è facile calcolare la corrente media:

[tex]\begin{array}{l}
dI = \frac{{dq}}{{T}} = \frac{{2\lambda Rd\alpha }}{T} = \frac{{2\omega \lambda Rd\alpha }}{{2\pi }} = \frac{{\omega \lambda R}}{\pi }d\alpha \\
{j_S} = \frac{{dI}}{{Rd\alpha }} = \frac{{\omega \lambda }}{\pi } \\
\end{array}[/tex]



(come vedi mi ero sbagliato anch'io)


Edit: ah dimenticavo di osservare che la densità è uniforme su tutto l'anello, dunque qulsiasi punto a distanza R dal centro ha la stessa densità.

[enr87]

ho capito. quindi, in base a quanto dicevi sopra, la corrente superficiale è in realtà una corrente per unità di lunghezza.
immagino che il 2 al numeratore derivi dal fatto che in un periodo T la carica $lambda R d alpha$ passa due volte per lo stesso punto (per la simmetria dell'anello).
grazie del chiarimento

[laurapa1]

"Falco5x":Ora nel caso dell'anello rotante, presa una fascia equatoriale di angolatura $d\alpha$ è facile calcolare la corrente media:

[tex]\begin{array}{l}
dI = \frac{{dq}}{{T}} = \frac{{2\lambda Rd\alpha }}{T} = \frac{{2\omega \lambda Rd\alpha }}{{2\pi }} = \frac{{\omega \lambda R}}{\pi }d\alpha \\
{j_S} = \frac{{dI}}{{Rd\alpha }} = \frac{{\omega \lambda }}{\pi } \\
\end{array}[/tex]

Ragazzi intanto grazie mille per le risposte...volevo chiedere però a Falcox di spiegarmi il $dQ=2lambdaRdalpha$ , cioè, non mi torna quel due, perchè la carica che c'è sull'anello secondo me è $lambdaRdalpha$ dove se $dalpha$ va da $0$ a $2pi$ mi da proprio la lunghezza della circonferenza rappresentata dall'anello...dove sbaglio?

[Falco5x]

"laurapa":[quote="Falco5x"]Ora nel caso dell'anello rotante, presa una fascia equatoriale di angolatura $d\alpha$ è facile calcolare la corrente media:

[tex]\begin{array}{l}
dI = \frac{{dq}}{{T}} = \frac{{2\lambda Rd\alpha }}{T} = \frac{{2\omega \lambda Rd\alpha }}{{2\pi }} = \frac{{\omega \lambda R}}{\pi }d\alpha \\
{j_S} = \frac{{dI}}{{Rd\alpha }} = \frac{{\omega \lambda }}{\pi } \\
\end{array}[/tex]

Ragazzi intanto grazie mille per le risposte...volevo chiedere però a Falcox di spiegarmi il $dQ=2lambdaRdalpha$ , cioè, non mi torna quel due, perchè la carica che c'è sull'anello secondo me è $lambdaRdalpha$ dove se $dalpha$ va da $0$ a $2pi$ mi da proprio la lunghezza della circonferenza rappresentata dall'anello...dove sbaglio?[/quote]
Quello che dici riguardo alla carica totale dell'anello è vero, però qui non sto facendo un integrale di carica, sto solo valutando un trattino di anello di lunghezza infinitesima e noto che la carica di questo trattino è $\lambdaRd\alpha$.
Preso un osservatore esterno all'anello che ruota, egli nel periodo T di rotazione dell'anello vede passare davanti a sé 2 trattini uguali, dunque carica doppia rispetto a quella del singolo trattino. Il 2 nasce da qui.