Problema di Fisica Generale riguardo il distacco di un oggetto da una calotta sferica.
Ciao ragazzi! vi pongo un problema, che forse è banale ma non riesco a risolvere.
-Un corpo di massa m=3kg si trova sulla sommità di una calotta sferica di raggio R=1 . Il corpo viene messo in moto con una velocità iniziale V0=6 m/s tangente alla superficie sferica e scivola senza attrito. Calcolare:
A) per quale angolo (compreso tra il raggio e l'orizzontale), si distacca dalla calotta.
b) il valore massimo di v0 affinché il punto non si stacchi subito dalla calotta.
In allegato c'è il disegno
Grazie anticipatamente a chi mi risponderà
-Un corpo di massa m=3kg si trova sulla sommità di una calotta sferica di raggio R=1 . Il corpo viene messo in moto con una velocità iniziale V0=6 m/s tangente alla superficie sferica e scivola senza attrito. Calcolare:
A) per quale angolo (compreso tra il raggio e l'orizzontale), si distacca dalla calotta.
b) il valore massimo di v0 affinché il punto non si stacchi subito dalla calotta.
In allegato c'è il disegno
Grazie anticipatamente a chi mi risponderà
Risposte
Un consiglio rapido rapido per spingerti a trovare da solo la soluzione; ti basterà usare due equazioni, una è la conservazione dell'energia, e l'altra è il bilancio delle forze fatta sulla componente ortogonale alla calotta. Se nom ci riesci, tranquillo, ti scriverò la soluzione appena possibile
Sì ho provato varie volte ma il risultato non mi torna. Se potessi scrivermi la tua soluzione mi aiuteresti un sacco
Certo, allora:
Introduciamo un sistema di riferimento solidale al corpo, con asse x tangente alla calotta, e asse y ortogonale alla superficie di questa stessa. Nel disegno, ho segnati questi assi mobili con un grigio chiaro. Le forze a cui è soggetto il corpo sono la forza peso, che lo spinge verso il basso, e la reazione normale $\vec(N)$, che invece costituisce la forza vincolare che lo fa scivolare lungo la calotta. Il corpo, per tutto il moto sulla calotta, descrive una traiettoria circolare. Proiettiamo quindi, sull'asse x ed y del nostro sistema solidale, le forze agenti: come noterai, la normale è sempre parallela all'asse y e non ha componenti lungo l'asse x, mentre la forza peso ha una componente sull'asse x e una sull'asse y (che ti ho segnato tratteggiate):
${(N-mgsin\theta=-ma_c=-m(v^2)/R), (mgcos\theta=ma_t):}$
Ho diviso l'accelerazione complessiva in una componente tangenziale ($a_t$) e una radiale, che è ovviamente l'accelerazione centripeta, pari a $v^2/R$.
La seconda equazione che ci servirà sarà la conservazione dell'energia: la variazione di energia cinetica (quando si distacca, meno quella di quando il corpo parte) sarà pari alla variazione di energia potenziale (l'energia potenziale gravitazionale quando è in cima e quando si distacca): varrà, come puoi vedere dal disegno,
$1/2mv^2-1/2mv_0^2=mgR-mgRsin\theta=mgR(1-sin\theta)$
Ora ci chiediamo: qual è la $\theta$ per cui il corpo si distacca? In fondo, nell'equazione dell'energia, l'unica incognita è l'energia cinetica al momento del distacco, poiché per il resto tutti gli altri dati sono noti. Ebbene, possiamo facilmente trovare questa velocità di distacco nella prima equazione del sistema: quando il corpo si stacca dalla calotta, la reazione normale si annulla, e perciò, l'equazione...
$N-mgsin\theta=-m(v^2)/R$
diventa:
$mgsin\theta'=m(v'^2)/R$
Dove $v'$ è la velocità tale che N si annulli, e quindi la velocità di distacco, pari a...
$v'^2=Rgsin\theta'$
Mentre $\theta'$ è l'angolo di distacco.
Sostituiamola dunque nell'equazione dell'energia,
$1/2gRsin\theta'-1/2v_0^2=gR(1-sin\theta')$
Per ricavare infine la $\theta'$:
$\theta'=arcsin((v_0^2)/(3gr)+2/3)$
Ma ora l'ultimo quesito lo lascio a te, visto che hai tutte le formule: qual è il valore di $v_0$ tale che il corpo si distacchi subito dalla calotta?
Introduciamo un sistema di riferimento solidale al corpo, con asse x tangente alla calotta, e asse y ortogonale alla superficie di questa stessa. Nel disegno, ho segnati questi assi mobili con un grigio chiaro. Le forze a cui è soggetto il corpo sono la forza peso, che lo spinge verso il basso, e la reazione normale $\vec(N)$, che invece costituisce la forza vincolare che lo fa scivolare lungo la calotta. Il corpo, per tutto il moto sulla calotta, descrive una traiettoria circolare. Proiettiamo quindi, sull'asse x ed y del nostro sistema solidale, le forze agenti: come noterai, la normale è sempre parallela all'asse y e non ha componenti lungo l'asse x, mentre la forza peso ha una componente sull'asse x e una sull'asse y (che ti ho segnato tratteggiate):
${(N-mgsin\theta=-ma_c=-m(v^2)/R), (mgcos\theta=ma_t):}$
Ho diviso l'accelerazione complessiva in una componente tangenziale ($a_t$) e una radiale, che è ovviamente l'accelerazione centripeta, pari a $v^2/R$.
La seconda equazione che ci servirà sarà la conservazione dell'energia: la variazione di energia cinetica (quando si distacca, meno quella di quando il corpo parte) sarà pari alla variazione di energia potenziale (l'energia potenziale gravitazionale quando è in cima e quando si distacca): varrà, come puoi vedere dal disegno,
$1/2mv^2-1/2mv_0^2=mgR-mgRsin\theta=mgR(1-sin\theta)$
Ora ci chiediamo: qual è la $\theta$ per cui il corpo si distacca? In fondo, nell'equazione dell'energia, l'unica incognita è l'energia cinetica al momento del distacco, poiché per il resto tutti gli altri dati sono noti. Ebbene, possiamo facilmente trovare questa velocità di distacco nella prima equazione del sistema: quando il corpo si stacca dalla calotta, la reazione normale si annulla, e perciò, l'equazione...
$N-mgsin\theta=-m(v^2)/R$
diventa:
$mgsin\theta'=m(v'^2)/R$
Dove $v'$ è la velocità tale che N si annulli, e quindi la velocità di distacco, pari a...
$v'^2=Rgsin\theta'$
Mentre $\theta'$ è l'angolo di distacco.
Sostituiamola dunque nell'equazione dell'energia,
$1/2gRsin\theta'-1/2v_0^2=gR(1-sin\theta')$
Per ricavare infine la $\theta'$:
$\theta'=arcsin((v_0^2)/(3gr)+2/3)$
Ma ora l'ultimo quesito lo lascio a te, visto che hai tutte le formule: qual è il valore di $v_0$ tale che il corpo si distacchi subito dalla calotta?
Grazie mille! Il mio errore era quello di non mettere il meno davanti alla forza centripeta!
Figurati! Fai attenzione, quel meno è essenziale, senza il tuo corpo non avrebbe un accelerazione che gli dà la traiettoria curvilinea
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