Problema di fisica con momento angolare.
Salve avrei un quesito da porvi, ed è il seguente:
Ragionando tra me e me sono arrivato ad elaborare un problema apparentemente semplice di fisica ed ora ve lo espongo.
Suppongo cioè che vi sia un asta incernierata ad un suo estremo O che sta ruotando (il moto si svolge per semplicità sul piano) con una certa velocità angolare costante. Pongo ad esempio il mio sistema di riferimento inerziale R in O ed un sistema mobile con l'asta con origine O'=O cioè coincidente con quella del riferimento fisso. E' chiaro che il moto che vedo fare all'asta per come ho posto i due sistemi di riferimento (fisso e mobile) è un moto rotatorio (piano) attorno ad O. Posso a questo punto scegliere un polo per calcolare il momento angolare dell'asta e nulla mi vieta di scegliere il punto O. Esso risulterà essere per la conservazione del momento angolare (Risultante M=0) e per il fatto che L è sempre parallelo a w (velocità angolare) L =Io*w dove Io è il momento di inerzia calcolato rispetto all'asse passante per O e sarà Io=IG+m(l/2)^(2) dove l/2 è la distanza di O dal centro di massa G.
Tuttavia posso equivalentemente descrivere lo stesso moto dell'asta come una rototraslazione ovvero posto il sistema fisso sempre in O, posso equivalentemente porre un sistema di riferimento mobile in G(centro di massa dell'asta) con gli assi sempre paralleli a quelli del fisso, e considerare il moto dell'asta come una traslazione individuata dal moto circolare di G attorno ad O e una rotazione istantanea attorno ad un asse istantaneo passante G (l'osservatore nel sistema mobile vede l'asta ruotare attorno a G). Se volessi andare a fare un confronto con la descrizione precedente noterei che sicuramente l'energia cinetica dell'asta non varia, per cui l'energia cinetica non dipende dalla descrizione del moto. A questo punto qui nasce il mio dubbio, ovvero nel calcolo del momento angolare e in particolare nella scelta del polo.
Esso posso comunque decidere di porlo in O o in G indifferentemente da come decido di osservare il fenomeno giusto?
Se lo pongo in O otterrei sempre lo stesso valore precedente ovvero L = Io*w
Se lo pongo in G invece otterrei un valore diverso (chiaramente perché L dipende dalla scelta del polo essendo il risultato di un prodotto vettoriale) ovvero L = IG*w.
Questo dubbio nasce dal fatto che andando a frugare tra le pagine del mio vecchio libro di meccanica razionale esso afferma che il valore dell'energia cinetica e del momento angolare di un corpo rigido non dipende dal tipo di descrizione del moto del corpo stesso.
Ragionando tra me e me sono arrivato ad elaborare un problema apparentemente semplice di fisica ed ora ve lo espongo.
Suppongo cioè che vi sia un asta incernierata ad un suo estremo O che sta ruotando (il moto si svolge per semplicità sul piano) con una certa velocità angolare costante. Pongo ad esempio il mio sistema di riferimento inerziale R in O ed un sistema mobile con l'asta con origine O'=O cioè coincidente con quella del riferimento fisso. E' chiaro che il moto che vedo fare all'asta per come ho posto i due sistemi di riferimento (fisso e mobile) è un moto rotatorio (piano) attorno ad O. Posso a questo punto scegliere un polo per calcolare il momento angolare dell'asta e nulla mi vieta di scegliere il punto O. Esso risulterà essere per la conservazione del momento angolare (Risultante M=0) e per il fatto che L è sempre parallelo a w (velocità angolare) L =Io*w dove Io è il momento di inerzia calcolato rispetto all'asse passante per O e sarà Io=IG+m(l/2)^(2) dove l/2 è la distanza di O dal centro di massa G.
Tuttavia posso equivalentemente descrivere lo stesso moto dell'asta come una rototraslazione ovvero posto il sistema fisso sempre in O, posso equivalentemente porre un sistema di riferimento mobile in G(centro di massa dell'asta) con gli assi sempre paralleli a quelli del fisso, e considerare il moto dell'asta come una traslazione individuata dal moto circolare di G attorno ad O e una rotazione istantanea attorno ad un asse istantaneo passante G (l'osservatore nel sistema mobile vede l'asta ruotare attorno a G). Se volessi andare a fare un confronto con la descrizione precedente noterei che sicuramente l'energia cinetica dell'asta non varia, per cui l'energia cinetica non dipende dalla descrizione del moto. A questo punto qui nasce il mio dubbio, ovvero nel calcolo del momento angolare e in particolare nella scelta del polo.
Esso posso comunque decidere di porlo in O o in G indifferentemente da come decido di osservare il fenomeno giusto?
Se lo pongo in O otterrei sempre lo stesso valore precedente ovvero L = Io*w
Se lo pongo in G invece otterrei un valore diverso (chiaramente perché L dipende dalla scelta del polo essendo il risultato di un prodotto vettoriale) ovvero L = IG*w.
Questo dubbio nasce dal fatto che andando a frugare tra le pagine del mio vecchio libro di meccanica razionale esso afferma che il valore dell'energia cinetica e del momento angolare di un corpo rigido non dipende dal tipo di descrizione del moto del corpo stesso.
Risposte
Esso posso comunque decidere di porlo in O o in G indifferentemente da come decido di osservare il fenomeno giusto?
No, se prima hai scelto O come polo, allora affinché il momento angolare sia lo stesso, anche questa volta devi scegliere O come polo. Non puoi pretendere che il momento angolare sia lo stesso rispetto a due poli diversi dato che per definizione il momento angolare dipende dal polo scelto come riferimento.
ti ringrazio per la risposta, quindi forse il libro stava ad indicare che se nel primo caso calcolo il momento angolare come L=Io*w nel secondo caso descrivendo il fenomeno in modo diverso L sarà dato da Lo=LG+OGxP dove P è la quantità di moto del centro di massa cioè P=m*vG. Cioè forse il mio libro stava ad indicare che il momento angolare calcolato in O nel caso di moto puramente rotatorio deve rimanere tale se considero lo stesso fenomeno come una rototraslazione cioè deve rimanere tale se considero il momento angolare calcolato in O come somma del momento angolare misurato in G (centro di massa) e il momento angolare del centro di massa stesso, giusto?
Esatto, l'esempio più semplice è di un disco che rotola, il moto può essere descritto sia come un moto di traslazione e rotazione attorno al centro del disco, sia come solo moto di rotazione attorno al punto di contatto del disco con il terreno
Grazie mille!
Supponendo di avere a che fare con la solita asta rigida incernierata ad un suo estremo in O libera di ruotare attorno ad esso e supponendo sempre per semplicità che il moto sia piano e che non sia sottoposta ad un momento risultante, potrei scegliere al di la di come pongo il sistema di riferimento mobile, come polo dei momenti il centro di massa ad esempio? Cioè mi spiego meglio rispetto al riferimento fisso io voglio calcolare il momento angolare dell'asta rispetto ad un polo, e quindi devo decidere dove porre il polo per poter effettuare il calcolo del momento angolare rispetto al riferimento fisso. Al di la di come decido di vedere il fenomeno, ossia se come una rotazione pura attorno ad O oppure come una rototraslazione (traslazione di G+rotazione attorno a G) posso decidere di porre il polo dei momenti in G anziché in O? (naturalmente so che otterrei un risultato diverso se pongo il polo in O oppure in G).
Inoltre se dopo aver calcolato il momento angolare in G rispetto al sistema fisso, decido di calcolare il momento angolare in G rispetto al sistema mobile (quest'ultimo ricordo che ha gli assi fissi rispetto a quello fisso e quindi un ipotetico osservatore nel riferimento mobile vedrebbe ruotare l'asta attorno a G) i due risultati dei momenti angolari coincidono? In generale quel'è il legame tra i due momenti angolari valutati nello stesso polo ma da due sistemi di riferimento diversi?
Grazie e scusa per il disturbo.
Supponendo di avere a che fare con la solita asta rigida incernierata ad un suo estremo in O libera di ruotare attorno ad esso e supponendo sempre per semplicità che il moto sia piano e che non sia sottoposta ad un momento risultante, potrei scegliere al di la di come pongo il sistema di riferimento mobile, come polo dei momenti il centro di massa ad esempio? Cioè mi spiego meglio rispetto al riferimento fisso io voglio calcolare il momento angolare dell'asta rispetto ad un polo, e quindi devo decidere dove porre il polo per poter effettuare il calcolo del momento angolare rispetto al riferimento fisso. Al di la di come decido di vedere il fenomeno, ossia se come una rotazione pura attorno ad O oppure come una rototraslazione (traslazione di G+rotazione attorno a G) posso decidere di porre il polo dei momenti in G anziché in O? (naturalmente so che otterrei un risultato diverso se pongo il polo in O oppure in G).
Inoltre se dopo aver calcolato il momento angolare in G rispetto al sistema fisso, decido di calcolare il momento angolare in G rispetto al sistema mobile (quest'ultimo ricordo che ha gli assi fissi rispetto a quello fisso e quindi un ipotetico osservatore nel riferimento mobile vedrebbe ruotare l'asta attorno a G) i due risultati dei momenti angolari coincidono? In generale quel'è il legame tra i due momenti angolari valutati nello stesso polo ma da due sistemi di riferimento diversi?
Grazie e scusa per il disturbo.
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