Problema di Fisica 1 HELP
Salve a tutti, ieri ho sostenuto uno scritto di fisica 1 e questo esercizio mi ha dato non pochi grattacapi.
Ho il seguente problema da risolvere
Diciamo che non ho idea da che punto partire, mi piacerebbe ricevere qualche consiglio più che la soluzione. Credo di poter applicare il principio di conservazione dell' energia meccanica da cui
$\deltaE_m=\deltaK+\deltaU=0$
L' energia cinetica del proiettile si trasformerà in energia cinetica rotazionale e traslazionale del corpo quindi
$K_(tf)+K_(rf)+U_(gf)=K_(ti)+K_(ri)+U_(gi)$ Rispettivamente traslazionale/rotazionale/graviazionale finale ed iniziale
$1/2Mv_(cm)^2+1/2I_(cm)w^2=1/2mv_0^2+mgh$
(L' energia gravitazionale finale non sono sicuro che sia nulla in realtà =))
Bene adesso (sempre ammesso che fin qui sia giusto) posso scrivere la velocità angolare in funzione della velocità del centro di massa e vicersa, ma rimangono sempre 2 incognite in un equazione. Quale pezzo mi manca? Non so quale principio sfruttare per determinare la rotazione di $90^°$, credo che la conservazione del momento angolare non è valida perché la forza peso esercita un momento che non è costante nel tempo. Come posso procedere o se è sbagliato fin dal principio come devo guardare il problema? Grazie
PS.
Ok, cambiamo tutto questa volta utilizzo solo la conservazione della quantità di moto subito dopo l' urto da cui e lo considero come un urto completamente anelastico quindi
$mv_0=(M+m)v_cm$
Adesso considero il principio di conservazione dell' energia meccanica applicata dall' istante subito dopo l' urto (in cui avrò energia cinetica traslazione + rotazionale) all' istante in cui il cubo si trova perfettamente in equilibrio sopra al suo spigolo.
Allora
$1/2(M+m)v_(cm)^2+1/2I_(cm)w^2+(M+m)g*a/2=(M+m)g*d/2$ (Dove d è la diagonale del cubo, il centro di massa è praticamente invariato)
Impostando il problema in questo modo arrivo ad ottenere (se non ho fatto errori)
$v_0=(M+m)/m*sqrt(12/13gd)$
Quindi $v_0$ basta che sia > di questo valore ed il cubo ruoterà di almeno $90^°$ perché la forza peso gli farà compiere la restante rotazione fino al suolo… Questa volta è giusto? Sinceramente non sono tanto convinto.
Ho il seguente problema da risolvere
Diciamo che non ho idea da che punto partire, mi piacerebbe ricevere qualche consiglio più che la soluzione. Credo di poter applicare il principio di conservazione dell' energia meccanica da cui
$\deltaE_m=\deltaK+\deltaU=0$
L' energia cinetica del proiettile si trasformerà in energia cinetica rotazionale e traslazionale del corpo quindi
$K_(tf)+K_(rf)+U_(gf)=K_(ti)+K_(ri)+U_(gi)$ Rispettivamente traslazionale/rotazionale/graviazionale finale ed iniziale
$1/2Mv_(cm)^2+1/2I_(cm)w^2=1/2mv_0^2+mgh$
(L' energia gravitazionale finale non sono sicuro che sia nulla in realtà =))
Bene adesso (sempre ammesso che fin qui sia giusto) posso scrivere la velocità angolare in funzione della velocità del centro di massa e vicersa, ma rimangono sempre 2 incognite in un equazione. Quale pezzo mi manca? Non so quale principio sfruttare per determinare la rotazione di $90^°$, credo che la conservazione del momento angolare non è valida perché la forza peso esercita un momento che non è costante nel tempo. Come posso procedere o se è sbagliato fin dal principio come devo guardare il problema? Grazie
PS.
Ok, cambiamo tutto questa volta utilizzo solo la conservazione della quantità di moto subito dopo l' urto da cui e lo considero come un urto completamente anelastico quindi
$mv_0=(M+m)v_cm$
Adesso considero il principio di conservazione dell' energia meccanica applicata dall' istante subito dopo l' urto (in cui avrò energia cinetica traslazione + rotazionale) all' istante in cui il cubo si trova perfettamente in equilibrio sopra al suo spigolo.
Allora
$1/2(M+m)v_(cm)^2+1/2I_(cm)w^2+(M+m)g*a/2=(M+m)g*d/2$ (Dove d è la diagonale del cubo, il centro di massa è praticamente invariato)
Impostando il problema in questo modo arrivo ad ottenere (se non ho fatto errori)
$v_0=(M+m)/m*sqrt(12/13gd)$
Quindi $v_0$ basta che sia > di questo valore ed il cubo ruoterà di almeno $90^°$ perché la forza peso gli farà compiere la restante rotazione fino al suolo… Questa volta è giusto? Sinceramente non sono tanto convinto.
Risposte
Non vorrei sbagliarmi ma se il cubo non striscia vuol dire che nello spigolo di contatto durante l'urto agisce una forza d'attrito, quindi non puoi considerare la conservazione della quantità di moto perchè il sistema non è isolato; penso si debba considerare la conservazione del momento angolare rispetto ad un polo posto sullo spigolo di contatto (in modo da annullare il momento della forza d'attrito); per il momento della forza peso rispetto a questo polo non dovrebbero esserci problemi perchè se non sbaglio durante l'urto una forza esterna di carattere non impulsivo può essere trascurata). Quindi scriverei:
$ m*v_0*h = I_C*omega $
dove $ I_C $ è il momento d'inerzia del corpo formato da cubo e proiettile rispetto al punto di contatto preso come polo.
A questo puoi applicare la conservazione dell'energia.
$ m*v_0*h = I_C*omega $
dove $ I_C $ è il momento d'inerzia del corpo formato da cubo e proiettile rispetto al punto di contatto preso come polo.
A questo puoi applicare la conservazione dell'energia.
Mmm posso fare considerazioni impulsive anche quando considero la conservazione del momento angolare?
La conservazione dell' energia meccanica dovrei applicarla tra l' istante successivo all' impatto e l' istante in cui il cubo si trova perfettamente in bilico sul suo spigolo?
La conservazione dell' energia meccanica dovrei applicarla tra l' istante successivo all' impatto e l' istante in cui il cubo si trova perfettamente in bilico sul suo spigolo?
Non posso considerare solo la conservazione dell' energia meccanica tra l' istante precedente all' impatto e l' istante in cui il cubo è perfettamente in bilico sul suo spigolo (Cioè quando ha ruotato di 45°)? Vale il principio di conservazione in questo caso oppure il vincolo esercita una forza non conservativa? Come posso risolverlo? HELP
Vi è conservazione dell'energia cinetica negli urti elastici, ma in questo caso il proiettile rimane conficcato nel cubo, quindi l'urto è totalmente anelastico. Però direi che la forza non conservativa non è quella esercitata dal vincolo, ma quella impulsiva che si genera nell'urto; la forza di attrito esercitata dal vincolo dello spigolo è di tipo statico, quindi non compie lavoro, e di conseguenza non la consideri parlando di energia.
Quindi prima applico la conservazione del momento angolare con un approssimazione impulsiva prima e subito dopo l' urto.
Poi applico la conservazione dell' energia meccanica dopo l' urto e fino alle rotazione di 45°? Ora provo e vediamo cosa ne esce fuori. Grazie
Poi applico la conservazione dell' energia meccanica dopo l' urto e fino alle rotazione di 45°? Ora provo e vediamo cosa ne esce fuori. Grazie
Il suggerimento di step98 è giusto : puoi applicare la conservazione del momento angolare, rispetto allo spigolo di contatto. Devi immaginare che questo spigolo sia come una cerniera rispetto alla quale il sistema finale (cubo + proiettile conficcato) può ruotare, perché il cubo "si impunta" in questo punto del piano.
Perciò, la relazione che ti ha dato step è giusta. Una volta trovata la $\omega$, dopo l'urto succede che il sistema si mette a ruotare attorno allo spigolo, e il CM del sistema si innalza di una certa quantità $d$. Puoi applicare la conservazione dell'energia dopo l'urto, imponendo che la variazione dell'energia potenziale, per questo innalzamento del CM, sia uguale all'energia cinetica rotazionale del sistema.
Però devi fare attenzione nel calcolo della posizione del CM finale e del momento di inerzia finale rispetto allo spigolo-cerniera, perché il punto di impatto del proiettile non è proprio all'estremo della diagonale del cubo! La posizione finale a cui deve arrivare il cubo, per assicurare la richiesta è quella in cui il CM finale si trova sulla verticale per lo spigolo-cerniera, e non corrisponde a una rotazione di 45° !
Perciò, la relazione che ti ha dato step è giusta. Una volta trovata la $\omega$, dopo l'urto succede che il sistema si mette a ruotare attorno allo spigolo, e il CM del sistema si innalza di una certa quantità $d$. Puoi applicare la conservazione dell'energia dopo l'urto, imponendo che la variazione dell'energia potenziale, per questo innalzamento del CM, sia uguale all'energia cinetica rotazionale del sistema.
Però devi fare attenzione nel calcolo della posizione del CM finale e del momento di inerzia finale rispetto allo spigolo-cerniera, perché il punto di impatto del proiettile non è proprio all'estremo della diagonale del cubo! La posizione finale a cui deve arrivare il cubo, per assicurare la richiesta è quella in cui il CM finale si trova sulla verticale per lo spigolo-cerniera, e non corrisponde a una rotazione di 45° !
Ciao ragazzi. Avete detto che dopo l'urto, visto che non agiscono forze impulsive, il sistema torna ad essere isolato, pur essendoci l'attrito. In generale, quando agisce una forza di attrito statico si può sempre considerare la conservazione dell'energia?
Avrei delle domande su questo esercizio in particolare postato da Navarone89.
Immagino si intenda come il momento di inerzia totale del corpo. Per calcolarlo avevo pensato al teorema degli assi paralleli, ma considerando che il cubo, e quindi anche il suo CM, si estendono su tre dimensioni, mi sembra un po' complicato. Quindi come si calcola il momento di inerzia?
Non ho capito bene questo passaggio. Si considera il sistema isolato, e l'energia potenziale gravitazionale (con h pari a...?) derivante dall'innalzamento del CM diventa tutta energia cinetica rotazionale?
Avrei delle domande su questo esercizio in particolare postato da Navarone89.
"step98":
$ m*v_0*h = I_C*omega $
dove $ I_C $ è il momento d'inerzia del corpo formato da cubo e proiettile rispetto al punto di contatto preso come polo.
Immagino si intenda come il momento di inerzia totale del corpo. Per calcolarlo avevo pensato al teorema degli assi paralleli, ma considerando che il cubo, e quindi anche il suo CM, si estendono su tre dimensioni, mi sembra un po' complicato. Quindi come si calcola il momento di inerzia?
"navigatore":
Puoi applicare la conservazione dell'energia dopo l'urto, imponendo che la variazione dell'energia potenziale, per questo innalzamento del CM, sia uguale all'energia cinetica rotazionale del sistema.
Non ho capito bene questo passaggio. Si considera il sistema isolato, e l'energia potenziale gravitazionale (con h pari a...?) derivante dall'innalzamento del CM diventa tutta energia cinetica rotazionale?
Il momento d'inerzia di un cubo intorno ad un asse passante per il Cdm è $ m*l^2/6 $: per il teorema degli assi paralleli il momento d'inerzia attorno ad un asse passante per uno spigolo è $ m*l^2/6 + m*(d/2)^2 $ dove $ d $ è la diagonale di una faccia del cubo, cioè $ l*sqrt2 $. A questo momento d'inerzia devi sommare quello del proiettile puntiforme posto a distanza $ sqrt(h^2+l^2) $ dall'asse che stiamo considerando.
Per quanto riguarda la conservazione dell'energia, il problema chiede il valore minimo di $ v_0 $ affinchè il cubo possa ruotere di 90° gradi, e la condizione limite, come ha detto navigatore, è che quando il Cdm del corpo formato da cubo e proiettile passa per la verticale passante per il punto di contatto la velocità angolare sia nulla:
$ 1/2*I_C*omega^2+m*g*h_(CM,i) = m*g*h_(CM,f) $
cioè tutta l'energia cinetica rotazionale si è trasformata in energia potenziale del Cdm ($ h_(CM,i) $ e $ h_(CM,f) $ sono, rispettivamente, l'altezza rispetto a terra del Cdm prima dell'urto e nella posizione in cui il Cdm passa per la verticale passante per il punto di contatto.
Per quanto riguarda la conservazione dell'energia, il problema chiede il valore minimo di $ v_0 $ affinchè il cubo possa ruotere di 90° gradi, e la condizione limite, come ha detto navigatore, è che quando il Cdm del corpo formato da cubo e proiettile passa per la verticale passante per il punto di contatto la velocità angolare sia nulla:
$ 1/2*I_C*omega^2+m*g*h_(CM,i) = m*g*h_(CM,f) $
cioè tutta l'energia cinetica rotazionale si è trasformata in energia potenziale del Cdm ($ h_(CM,i) $ e $ h_(CM,f) $ sono, rispettivamente, l'altezza rispetto a terra del Cdm prima dell'urto e nella posizione in cui il Cdm passa per la verticale passante per il punto di contatto.
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