Problema di Dirichlet

[Raphael1]

Eccomi qui, con un problema che sembra banale, ma non per me! ho $U\subset \mathbb{R}^n$ aperto e limitato, $f\inL^2(U)$ e $g:U\rightarrow \mathbb{R}$ tale che $|g(x)|<=M$ per ogni $x$, $M>0$

Ora, devo dare delle condizioni ad $M$ tale per cui il seguente problema di Dirichlet abbia unica soluzione debole:

$\Delta u + gu=f$ su $U$, $u=0$ su $\partial U$

I teoremi che ho studiato, non mi aiutano a risolverlo, non so da che parte iniziare... qualcuno potrebbe darmi un indizio, così che io possa procedere? grazie

[ViciousGoblin]

Il problema non è per nulla banale - quello che serve essenzialmente è che $g$ non "interferisca"
con gli autovalori di $-\Delta$, cioè con numeri $\lambda_i$ per cui esiste una soluzione $u$ non banale di
$\Delta u+\lambda_i u=0$ su $U$
$u=0$ su $\partial U$
Tali $\lambda_i$ formano una successione di numeri strettamente positivi che tendono a $+\infty$. In particolare
il più piccolo di questi, $\lambda_1$, che come abbiamo detto è strettamente positivo, è la miglior costante $c$ per cui
$\int_U|\nabla u|^2 dx\geq c \int_Uu^2dx$ per ogni $u$ in $H^1_0(U)$.
Se $g(x)\leq\gamma<\lambda_1$ allora il problema che hai scritto ha soluzione per ogni dato $f$ e la soluzione $u$ si
trova minimizzando il funzionale
$I(v)=1/2\int_U|\nabla v|^2dx-1/2\int_Ug(x)v^2 dx-\int_Uf(x)vdx$
al variare di $v$ di $H^1_0(U)$. Tale funzionale risulta convesso nelle ipotesi dette.
Dunque seguendo la tua impostazione ci vorrebbe $M<\lambda_1$ (e basterebbe $M="sup" g(x)$, fermo restando che
$g$ deve essere inferiormente limitata per non andare su cose troppo esotiche).
In realtà l'esistenza vale lo stesso se $\lambda_i<\gamma'\leq g(x)\leq\gamma''<\lambda_{i+i}$ per qualche $i$
anche se in questo caso non si può più minimizzare $I$ e si deve invece cercarne un punto stazionario "tipo sella".

Devo anche dire che, essendo il problema lineare, tutto ciò che ho detto sopra si può probabilmente fare con tecniche completamente diverse (e forse più immediate) a cui sono meno abituato. Il problema diventa allora: quali sono i teoremi che hai studiato?
diverse (analisi