Problema di dinamica rotazionale
Ho bisogno di aiuto con un problema che ha questa traccia:
"Un disco omogeneo di massa M e raggio R soggetto ad un momento motore B mentre si trova su un piano inclinato e scabro di nagolo $\alpha$ con coefficiente di attrito $\mu$. In condizioni di puro rotolamento determinare l'accelerazione, la forza di attritostatica e la reazione del piano. Determinare il minimo valore di B per cui il disco sale sul piano. Inoltre determinare il massimo e il minimo valore di B affinchè il disco resti in condizioni di puro rotolamento."
B=-2N*m;M=30kg;R=0.2m;$\mu=0.1$;$\alpha=30°$
Allora per trovarmi la forza di attrito ($F_A$),l'accelerazione angolare($\alpha$) e la reazione del piano($N$) mi imposto il seguente sistema:
$F_A-Psen\alpha=Ma_(cm)$
$N-Pcos\alpha=0$
$B-RF_A=I\alpha$
Utilizzo la relazione $a_(cm)=\alpha*R$ e mi ricavo $\alpha=a_(cm)/R$ e la sostituisco nell'equazione dei momenti quindi mi trovo $B-RF_A=Ia_(cm)/R$.
mi ricavo l'accelerazione dalla prima equazione e quindi ho $a_(cm)=(F_A-Psen\alpha)/M$ e la sostituisco nell'eqazione dei momenti $B-RF_A=I(F_A-Psen\alpha)/(MR)$ e mi ricavo $F_A$ poichè è l'unica incognita e mi trovo che $F_A=(RMB+IPsen\alpha)/(MR^2+I)$. Poi per ricavarmi il momento meccanico minimo affinchè salga imposto questa rerlazione ovvero che il momento motore deve essere maggiore del momento relativo alla forza di attrito $B>RF_A$. Fino a qui penso di aver fatto tutto bene or i dubbi nascono sull'ultimo punto non so come procedere mi potreste aiutare?
"Un disco omogeneo di massa M e raggio R soggetto ad un momento motore B mentre si trova su un piano inclinato e scabro di nagolo $\alpha$ con coefficiente di attrito $\mu$. In condizioni di puro rotolamento determinare l'accelerazione, la forza di attritostatica e la reazione del piano. Determinare il minimo valore di B per cui il disco sale sul piano. Inoltre determinare il massimo e il minimo valore di B affinchè il disco resti in condizioni di puro rotolamento."
B=-2N*m;M=30kg;R=0.2m;$\mu=0.1$;$\alpha=30°$
Allora per trovarmi la forza di attrito ($F_A$),l'accelerazione angolare($\alpha$) e la reazione del piano($N$) mi imposto il seguente sistema:
$F_A-Psen\alpha=Ma_(cm)$
$N-Pcos\alpha=0$
$B-RF_A=I\alpha$
Utilizzo la relazione $a_(cm)=\alpha*R$ e mi ricavo $\alpha=a_(cm)/R$ e la sostituisco nell'equazione dei momenti quindi mi trovo $B-RF_A=Ia_(cm)/R$.
mi ricavo l'accelerazione dalla prima equazione e quindi ho $a_(cm)=(F_A-Psen\alpha)/M$ e la sostituisco nell'eqazione dei momenti $B-RF_A=I(F_A-Psen\alpha)/(MR)$ e mi ricavo $F_A$ poichè è l'unica incognita e mi trovo che $F_A=(RMB+IPsen\alpha)/(MR^2+I)$. Poi per ricavarmi il momento meccanico minimo affinchè salga imposto questa rerlazione ovvero che il momento motore deve essere maggiore del momento relativo alla forza di attrito $B>RF_A$. Fino a qui penso di aver fatto tutto bene or i dubbi nascono sull'ultimo punto non so come procedere mi potreste aiutare?
Risposte
Anche se non ho letto il tuo procedimento, una cosa è certa: se la forza di attrito avesse il verso rappresentato in figura, l'accelerazione del centro di massa del disco sarebbe diretta lungo il piano inclinato verso il basso. Insomma, non si comprenderebbe come possa salire.
"anonymous_0b37e9":
Anche se non ho letto il tuo procedimento, una cosa è certa: se la forza di attrito avesse il verso rappresentato in figura, l'accelerazione del centro di massa del disco sarebbe diretta lungo il piano inclinato verso il basso. Insomma, non si comprenderebbe come possa salire.
Effettivamente ragionandoci meglio mi sono accorto di aver detto una cosa assurda.. e ho aggiustato tutto il procedimento per quanto riguarda il procedimento che mi determina la forza di attrito e l'accelerazione angolare. Dove mi chiede di calcolare il momento motore minimo affinchè salga è giusto il ragionamento? E l'ultimo punto in cui mi chiede di trovare momento minimo e massimo come si fa?
Sei sicuro di aver scritto i dati numerici in modo corretto?
Si i dati sono giusti ho appena controllato.
Indipendentemente dal fatto che il disco possa o non possa salire, per quale motivo hai tracciato il momento $B$ in senso orario? A questo punto, poiché il dato numerico di $B$ è negativo, devo presumere che rispettiate la convenzione più comunemente adottata secondo la quale un momento è considerato positivo quando agisce in senso antiorario. Meglio fare chiarezza.
Non sono stato io a tracciarlo, ma il verso mi è stato dato dal disegno del problema io l'ho solo copiato e ci ho aggiunto le forze.
"Paak07":
In condizioni di puro rotolamento determinare l'accelerazione, la forza di attrito statica e la reazione del piano.
Per determinare più agevolmente l'accelerazione angolare, conviene utilizzare la seconda equazione cardinale della dinamica scegliendo come polo il punto di contatto:
$[B gt 0] ^^ [(I+MR^2)\alpha=B-MgRsin\theta] rarr [\alpha=(B-MgRsin\theta)/(I+MR^2)]$
Quindi, la relazione cinematica per determinare l'accelerazione:
$[a=\alphaR] rarr [a=R(B-MgRsin\theta)/(I+MR^2)]$
e la prima equazione cardinale della dinamica per determinare la forza di attrito statica e la reazione del piano:
$\{(Ma=F_a-Mgsin\theta),(0=N-Mgcos\theta):} rarr [F_a=M(RB+Igsin\theta)/(I+MR^2)] ^^ [N=Mgcos\theta]$
Ad ogni modo, poiché anche il tuo procedimento è corretto, ti lascio verificare che i risultati coincidano.
"Paak07":
Determinare il minimo valore di B per cui il disco sale sul piano.
Premesso che sarebbe più corretto parlare di estremo inferiore:
$[alpha gt 0] rarr [B-MgRsin\theta gt 0] rarr [B gt MgRsin\theta]$
anche qui ti lascio verificare che il risultato coincida.
"Paak07":
Determinare il massimo e il minimo valore di B affinché il disco resti in condizioni di puro rotolamento.
Dato che il disco deve restare in condizioni di puro rotolamento, si potrebbero interpretare i valori richiesti ammettendo che, durante la salita, $B$ sia variabile. Per quanto riguarda il massimo valore di $B$:
$[F_a lt= \mu_sN] rarr [M(RB+Igsin\theta)/(I+MR^2) lt= \mu_sMgcos\theta] rarr [B lt= g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]]$
Per quanto riguarda il minimo valore di $B$, ammesso e non concesso che la salita debba essere in ogni istante accelerata, si può considerare il valore determinato al punto precedente.
P.S.
Come possa il disco salire con quei dati numerici non è dato sapere. Inoltre, anche la seguente condizione:
$[MgRsin\theta lt g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]] ^^ [I=1/2MR^2] rarr [tg\theta lt \mu_s]$
non sembra essere verificata. Per ovviare a questo secondo inconveniente, si potrebbe ammettere una salita non necessariamente accelerata.
@anonymous_0b37e9 grazie mille per l'aiuto!! Ti volevo chiedere solo una cosa sull'ultimo punto le equazioni che hai scritto ovvero:
$[F_a lt= \mu_sN] rarr [M(RB+Igsin\theta)/(I+MR^2) lt= \mu_sMgcos\theta] rarr [B lt= g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]]$
e questa
$[MgRsin\theta lt g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]] ^^ [I=1/2MR^2] rarr [tg\theta lt \mu_s]$
se consideriamo B costante quindi non accelerato sono equivalenti? O ho sbagliato io a capire?
$[F_a lt= \mu_sN] rarr [M(RB+Igsin\theta)/(I+MR^2) lt= \mu_sMgcos\theta] rarr [B lt= g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]]$
e questa
$[MgRsin\theta lt g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]] ^^ [I=1/2MR^2] rarr [tg\theta lt \mu_s]$
se consideriamo B costante quindi non accelerato sono equivalenti? O ho sbagliato io a capire?
Se $B$ è costante l'accelerazione è costante. Tuttavia, affinché il disco possa cominciare a salire:
$[B gt MgRsin\theta]$
Affinché il disco possa rotolare senza strisciare:
$[B lt= g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]]$
Quindi, se e solo se:
$[MgRsin\theta lt B lt= g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]]$
il disco può cominciare a salire e rotolare senza strisciare. A questo punto, se $B$ resta costante e soddisfa le due condizioni di cui sopra, il rotolamento puro non è più in discussione. Tuttavia, coerenza esigerebbe che:
$[MgRsin\theta lt g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]]$
altrimenti il disco non può iniziare a salire e rotolare senza strisciare allo stesso tempo. Purtroppo, con i dati numerici a disposizione, quest'ultima condizione non sembra essere verificata. Inoltre, dato che, se $B$ resta costante e soddisfa le due condizioni di cui sopra, il rotolamento puro non è più in discussione, ho cercato di attribuire un significato al testo quando recita il disco deve restare in condizioni di puro rotolamento, ammettendo che $B$ possa essere variabile. Se poi, durante la salita, il disco debba sempre accelerare oppure possa anche procedere a velocità costante, se non addirittura rallentare, non è dato sapere.
$[B gt MgRsin\theta]$
Affinché il disco possa rotolare senza strisciare:
$[B lt= g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]]$
Quindi, se e solo se:
$[MgRsin\theta lt B lt= g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]]$
il disco può cominciare a salire e rotolare senza strisciare. A questo punto, se $B$ resta costante e soddisfa le due condizioni di cui sopra, il rotolamento puro non è più in discussione. Tuttavia, coerenza esigerebbe che:
$[MgRsin\theta lt g/R[\mu_scos\theta(I+MR^2)-Isin\theta]]$
altrimenti il disco non può iniziare a salire e rotolare senza strisciare allo stesso tempo. Purtroppo, con i dati numerici a disposizione, quest'ultima condizione non sembra essere verificata. Inoltre, dato che, se $B$ resta costante e soddisfa le due condizioni di cui sopra, il rotolamento puro non è più in discussione, ho cercato di attribuire un significato al testo quando recita il disco deve restare in condizioni di puro rotolamento, ammettendo che $B$ possa essere variabile. Se poi, durante la salita, il disco debba sempre accelerare oppure possa anche procedere a velocità costante, se non addirittura rallentare, non è dato sapere.
Ora ho capito anche questo punto sei stato gentilissimo grazie mille!!
Ad ogni modo, il caso generale è tutt'altro che banale. Ti invio una risorsa:
Mi metterò con calma e mi studierò il tuo allegato penso che mi sara molto utile quando farò meccanica razionale, grazie ancora 
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