Problema di dinamica relativa

[Nexus991]

In un sistema di riferimento inerziale S, un carrello si muove di moto rettilineo con accelerazione orizzontale costante $vec[A]$ $=$ $A\hat{i}$ avente il verso della sua velocità. Sul carrello si trova un pendolo semplice P di massa m e lunghezza l appeso ad un punto $Omega$ solidale con il carrello. Inizialmente il pendolo è in equilibrio rispetto al carrello nella configurazione verticale mostrata in figura nella quale è sottoposto anche all'azione di una molla di costante elastica k. 1) La molla è compressa o allungata? di quanto risulta deformata? A un certo istante la molla viene repentinamente staccata da P: il pendolo abbandona la configurazione iniziale e comincia a oscillare rispetto a un riferimento S' solidale con il carrello. Supponendo che $A = g$, determinare 2)
il valore massimo $theta_0$ dell'angolo $theta$ fra la configurazione assunta dal pendolo durante tali oscillazioni e quella verticale iniziale, 3) la tensione del filo per $theta$ $=$ $theta_0$






Ora tralasciando la parte 1 che è piuttosto semplice, il mio problema è con la parte 2:
Risolvendo lungo il sistema S' proposto dal libro:

$x:$ $vec[T_x] - vec[F_(app)]$ $=$ $mvec[a'_x]$
$y:$ $vec[T_y] + vec

$ $=$ $mvec[a'_y]$

$x:$ $Tsin(theta) - mA$ $=$ $-ma'cos(theta)$
$y:$ $Tcos(theta) - mg$ $=$ $ma'sin(theta)$

Ora mi trovo bloccato cosi, come dovrei comportarmi con $vec[a']$?, mi viene il dubbio che sia $a'$ $=$ $-g$, o sbaglio?
Per quanto riguarda il risultato del libro è: $theta_0$ $=$ $frac{pi}{2}$ e $T$ $=$ $mg$

[mgrau]

Potresti vedere la cosa come se, nel carrello, ci fosse una accelerazione di gravità somma di $vec g$ e $- vec A$. Quindi, quando il pendolo si libera, si trova fermo e inclinato rispetto a questa "verticale", e oscillerà fino ad un angolo uguale dal lato opposto.

[Nexus991]

Ma quindi $vec{a}'$ $=$ $vec{g} - vec{A}$
e in modulo:
$a'_x$ $=$ $-g$
$a'_y$ $=$ $-g$ ?

[mgrau]

"Nexus99":Ma quindi $vec{a}'$ $=$ $vec{g} - vec{A}$
e in modulo: perchè, in modulo? Queste sono le componenti
$a'_x$ $=$ $-g$
$a'_y$ $=$ $-g$ ?

Comunque, no: $vec A$ è orizzontale, $g$ è verticale, quindi $a'_x = -A$ e $a'_y = g$, e il modulo è $sqrt(A^2 + g^2)$

[Nexus991]

Ma $-A$ $=$ $-g$ e $a'_y$ $=$ $-g$ poichè in S' la forza peso è orientata verso il basso
O mi sbaglio?

[mgrau]

"Nexus99":Ma $-A$ $=$ $-g$ e $a'_y$ $=$ $-g$ poichè in S' la forza peso è orientata verso il basso
O mi sbaglio?

Ah, non avevo visto che $A = g$. Poi, verso il basso o verso l'alto, dipende da come scegli il verso di y. Personalmente lo metterei in giù, ma è questione di gusti.

[Nexus991]

Quindi, andando a risolvere

$x:$ $Tsin(theta) - mA$ $=$ $-ma'cos(theta)$
$y:$ $Tcos(theta) - mg$ $=$ $ma'sin(theta)$

diventa:

$x:$ $Tsin(theta) - mg$ $=$ $mg$
$y:$ $Tcos(theta) - mg$ $=$ $-mg$

E risolvendo:
$theta_0$ $=$ $frac{pi}{2}$
e $T$ $=$ $2mg$
Umm.. qualcosa non torna

[mgrau]

Non capisco quei calcoli... a me pare che:
se A = g, la direzione di equilibrio è inclinata di 45° indietro, e i due estremi di oscillazione sono quando il filo è orizzontale, e quando è verticale. Quindi, $theta_0 = pi/2$, e ok.
Poi, per $theta = theta_0$ il filo è orizzontale. La tensione del filo è responsabile dell'accelerazione orizzontale, e questa è A = g, quindi T = mA = mg

[Nexus991]

Ho solo fatto calcoli a partire da:
$x:$ $Tsin(theta) - mg$ $=$ $mg$
$y:$ $Tcos(theta) - mg$ $=$ $-mg$

Ho sbagliato qualcosa?

[mgrau]

Continuo a non capire. Hai scritto

$x:$ $Tsin(theta) - mA$ $=$ $-ma'cos(theta)$

ora, quando il filo è orizzontale, non è $theta = pi/2$ ? Quindi dovrebbe uscire (se $A = g$)
$T -mg = 0$. O no?

[Nexus991]

Si ma io ho solo sostituito a $a'_x$ $=$ $a'cos(theta)$ il suo valore, cioè: $-g$, e cosi ho fatto anche per $a'_y$.
Anche che l'angolo sia $frac{pi}{2}$ me lo sono ricavato in seguito a questa sostituzione.

Poi ho notato un'altra cosa, poichè $|vec{a'}|$ $=$ $sqrt(2)g$

Le equazioni:

$x:$ $Tsin(theta) - mA$ $=$ $-ma'cos(theta)$
$y:$ $Tcos(theta) - mg$ $=$ $ma'sin(theta)$

Si possono riscrivere come:

$x:$ $Tsin(theta) - mg$ $=$ $-msqrt(2)gcos(theta)$
$y:$ $Tcos(theta) - mg$ $=$ $msqrt(2)gsin(theta)$

e risolvendo si ricava: $theta_0$ $=$ $frac{pi}{4}$ e $T$ $=$ $2sqrt(2)mg$

[mgrau]

A me sembra che ti sei impegolato nei calcoli. Sta di fatto che $theta_0 = pi/2$ e $T(theta_0) = mg$

[Nexus991]

Ragionevolmente è cosi, però lo volevo dimostrare anche a livello di calcoli, ma non capisco dove sbaglio

[mgrau]

Su questo non ti posso aiutare. A dir la verità, io mi fido più del ragionamento che dei calcoli.