Problema di dinamica, punto "cade" su circonferenza.

[alequatt]

Ciao a tutti, mi sono imbattuto nel seguente problema di dinamica:

Preso un quarto di circonferenza di raggio R con centro nell'origine del sistema di riferimento e giacente interamente nel 3°quadrante del sistema; un punto materiale di massa m soggetto alla sola forza peso, agente lungo l'asse delle ordinate e verso opposto, viene lasciato cadere dall'estremo del quarto di circonferenza con velocità iniziale nulla. Determinare le equazioni di accelerazione a(s), velocità v(s) in funzione dell'ascissa curvilinea s e le equazioni di accelerazione a(t), velocità v(t) e ascissa curvilinea s(t) in funzione del tempo t.

Ora io ho sono passato in coordinate polari con R e $alpha$ preso tra origine, punto materiale e asse delle ascisse (vale zero quando il punto è in cima al quarto di circonferenza). Poi ho calcolato $alpha=s/R$ e l'ho sostituito. Ho calcolato il versor tangente come $-sin(s/R)i + cos(s/R)j$. Ho fatto il prodotto scalare tra il vettore forza peso che ha componente solo mgj con il versor tangente ed ho ottenuto $g cos(s/R)=a(s)$. Arrivato a questo punto se integro in s ottengo $v(s) = gRsin(s/R)$che per $s=pi/2R$ mi da $v=gR$ che sarebbe la velocità finale del punto, ma controllando tramite la conservazione dell'energia se tutta l'energia potenziale gravitazionale diventasse cinetica la v finale sarebbe $sqrt(2gR)$. Cosa ho sbagliato ?

Poi per la parte in funzione del tempo non saprei proprio come risovlerla perchè partendo dall'accelerazione avrei l'angolo come funzione indefinita del tempo e non posso risolvere l'integrale come fatto prima.

Grazie per l'attenzione!!

[ingres]

Se partiamo dalla relazione che hai ottenuto
$a=(dv)/dt = gcos(s/R)$

si vede bene che l'integrazione che hai fatto corrisponde ad integrare il primo membro nel tempo e il secondo in s, e questo non è possibile perchè manca il differenziale in ds.
Si può però moltiplicare entrambi per v=ds/dt e ottenere

$v(dv)/dt =gcos(s/R)*(ds)/dt$

Eliminando il dt è possibile integrare per variabili separabili, e considerando le condizioni iniziali si otterrà
$1/2 v^2 = gRsin(s/R)$

che altro non è che l'equazione di conservazione dell'energia, integrale primo del moto.
Quanto alla funzione del tempo puoi ricavare
$v=sqrt(2gRsin(s/R))$e quindi ricordando che $v=(ds)/dt$ puoi separare le variabili e ricavare t come funzione di un integrale in s (direi non risolubile in termini elementari) e quindi implicitamente s=s(t).

[alequatt]

"ingres":Se partiamo dalla relazione che hai ottenuto
$a=(dv)/dt = gcos(s/R)$

si vede bene che l'integrazione che hai fatto corrisponde ad integrare il primo membro nel tempo e il secondo in s, e questo non è possibile perchè manca il differenziale in ds.
Si può però moltiplicare entrambi per v=ds/dt e ottenere

$v(dv)/dt =gcos(s/R)*(ds)/dt$

Eliminando il dt è possibile integrare per variabili separabili, e considerando le condizioni iniziali si otterrà
$1/2 v^2 = gRsin(s/R)$

che altro non è che l'equazione di conservazione dell'energia, integrale primo del moto.
Quanto alla funzione del tempo puoi ricavare
$v=sqrt(2gRsin(s/R))$e quindi ricordando che $v=(ds)/dt$ puoi separare le variabili e ricavare t come funzione di un integrale in s (direi non risolubile in termini elementari) e quindi implicitamente s=s(t).

Ciao grazie mille !!

Per quanto riguarda la parte del tempo ho provato a risolvere l'equazione differenziale ${y'(t) - sqrt(2 g R sin(y(t)/R)) = 0, y(0) = 0, y'(0) = 0}$ y(t) sarebbe s(t) e dentro al seno appare yt ma è y(t)/R (con wolfram alpha) ed ho ottenuto questo risultato $y(t) = 1/2 R (4 am((sqrt(g) t)/(sqrt(2) sqrt(R)) + dn^(-1)(0|2), 2) + π)$. C'è questa funzione ellittica che non conosco e non so interpretare.

[ingres]

"alequatt":C'è questa funzione ellittica che non conosco e non so interpretare.

Si, la soluzione coinvolge comunque delle funzioni ellittiche, perché il problema è parente di quello classico del pendolo. Per esempio $dn^(-1)$ è l'inversa di una funzione ellittica di Jacobi.

Mi pare strano che abbiano inserito questa richiesta, ma la cosa più semplice è scrivere implicitamente:

$t=int_0^s (d zeta)/sqrt(2gRsin(zeta/R)$

e non andare oltre (questo integrale si riconduce ad una funzione ellittica per cui facendo formalmente l'inversa della stessa si ottiene s=s(t) ma non vedo l'utilità di farlo).

[alequatt]

E' strano che anche assegnando i valori a g ed R con le condizioni iniziali a t=0 il calcolatore non mi da una soluzione di s(t), mi ripropone solo forme alternative per riscrivere s'(t). Non pensavo fosse così complesso il problema. Determinare come cade una pallina su una una circonferenza pensavo fosse più seplice.

Grazie ancora !