Problema di dinamica (pendolo)
Ciao a tutti, ho un dubbio circa la risoluzione di un problema di dinamica
Ecco il testo
Attualmente sto svolgendo il primo punto.
La soluzione, volendo farla tramite l'energia, viene
$ 1/2 m v^2-mgl(1-cos\theta )=1/2 m v_o ^2 $ da cui ricavo poi $ cos\theta_(max)=1-\frac{v_o ^2}{2gl} $ e quindi l'angolo theta massimo.
Io però stavo pensando di risolverlo con l'equazione differenziale... Non sono molto pratica e appunto su questo vorrei un aiuto.
Io ho scritto l'equazione del pendolo, ovvero
$ \frac{d^2\theta}{dt^2}+\omega^2 \theta=0 $
Come condizioni invece, ho messo
$ dot(\theta)(0)=v_0 $ con o inteso t=0 ovviamente e
$ \theta(0)=0 $ perché suppongo che all'istante 0 il pendolo sia ancora diretto lungo la verticale (o forse dovrei mettere la coordinata $ l\theta $ ? )
successivamente scrivo la soluzione come
$ theta(t)=e^(\gammat)(c1e^(\delta it)+c2e^(\delta it)) $ che, in questo caso sarebbe
$ theta(t)=(c1e^( iomegat)+c2e^(-i\omega t)) $
e sostanzialmente da qui non capisco più come procedere anche perché la soluzione mi viene sbagliata...
Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento?
Grazie
Ecco il testo
Attualmente sto svolgendo il primo punto.
La soluzione, volendo farla tramite l'energia, viene
$ 1/2 m v^2-mgl(1-cos\theta )=1/2 m v_o ^2 $ da cui ricavo poi $ cos\theta_(max)=1-\frac{v_o ^2}{2gl} $ e quindi l'angolo theta massimo.
Io però stavo pensando di risolverlo con l'equazione differenziale... Non sono molto pratica e appunto su questo vorrei un aiuto.
Io ho scritto l'equazione del pendolo, ovvero
$ \frac{d^2\theta}{dt^2}+\omega^2 \theta=0 $
Come condizioni invece, ho messo
$ dot(\theta)(0)=v_0 $ con o inteso t=0 ovviamente e
$ \theta(0)=0 $ perché suppongo che all'istante 0 il pendolo sia ancora diretto lungo la verticale (o forse dovrei mettere la coordinata $ l\theta $ ? )
successivamente scrivo la soluzione come
$ theta(t)=e^(\gammat)(c1e^(\delta it)+c2e^(\delta it)) $ che, in questo caso sarebbe
$ theta(t)=(c1e^( iomegat)+c2e^(-i\omega t)) $
e sostanzialmente da qui non capisco più come procedere anche perché la soluzione mi viene sbagliata...
Qualcuno potrebbe darmi un suggerimento?
Grazie
Risposte
Un piccolo appunto: la condizione iniziale per la velocità è $\dot{\theta}(0) = \omega_0 = v_0/l$.
A me sembra solo che tu debba andare avanti adesso, imponendo le due condizioni iniziali alla soluzione che hai trovato, così da definire $c_1$ e $c_2$.
Io l'ho fatto e ho ottenuto questa soluzione: $\theta (t) = \sqrt{v_0^2/{lg}} \sen(t \sqrt{g/l})$.
Da qui si ricava che l'ampiezza del moto, ossia il $\theta_max$, è $\theta_max = \sqrt{v_0^2/{lg}}$.
Le due soluzioni non coincidono perché l'equazione del pendolo è descrivibile dall'equazione del moto armonico se l'ampiezza massima, ossia l'angolo massimo di oscillazione, è piccola.
Quel che tu ottieni con una trattazione energetica non ha questo vincolo.
Secondo l'approssimazione di angoli piccoli, l'angolo massimo ottenuto è circa uguale al seno dello stesso:
$(\sen (theta_{max}))^2 \approx theta_{max}^2 = v_0^2/{lg}$ [1].
Ho elevato al quadrato. Il motivo sarà chiaro dopo.
Considero ora anche il tuo primo risultato elevato al quadrato:
$(\cos(\theta_{max}))^2 = (1 - v_0^2/{2lg})^2$.
Come puoi vedere, l'ultimo termine è esattamente uguale all'angolo che ho trovato nell'equazione precedente! Da ciò deriva che questo termine è "piccolo". Si può allora scrivere che
$(\cos(\theta_{max}))^2 = (1 - v_0^2/{2lg})^2 \approx ([1 - v_0^2/{lg}]^{1/2})^2 = 1 - v_0^2/{lg}$ [2].
Dove ho usato il fatto che $(1 + x)*{\alpha} \approx 1 + \alpha x$, se $x$ è "piccolo".
Se ora sommi i due risultati [1] e [2], ottieni giustamente l'unità: $(\cos(\theta_{max}))^2 + (\sen(\theta_{max}))^2 = [1 - v_0^2/{lg}] + v_0^2/{lg} = 1$.
Questo dimostra che le due trattazioni sono tra loro in accordo, nell'approssimazione di ampiezze massime di oscillazione "piccole". Quando questo non è vero, come è il caso di questo esercizio che chiede addirittura in quali condizioni il pendolo fa un giro completo (altro che angolo piccolo!), è meglio evitare di usare l'equazione del moto armonico che, in quanto frutto di un'approssimazione, restituisce risultati che sono, ovviamente... Approssimati!
A me sembra solo che tu debba andare avanti adesso, imponendo le due condizioni iniziali alla soluzione che hai trovato, così da definire $c_1$ e $c_2$.
Io l'ho fatto e ho ottenuto questa soluzione: $\theta (t) = \sqrt{v_0^2/{lg}} \sen(t \sqrt{g/l})$.
Da qui si ricava che l'ampiezza del moto, ossia il $\theta_max$, è $\theta_max = \sqrt{v_0^2/{lg}}$.
Le due soluzioni non coincidono perché l'equazione del pendolo è descrivibile dall'equazione del moto armonico se l'ampiezza massima, ossia l'angolo massimo di oscillazione, è piccola.
Quel che tu ottieni con una trattazione energetica non ha questo vincolo.
Secondo l'approssimazione di angoli piccoli, l'angolo massimo ottenuto è circa uguale al seno dello stesso:
$(\sen (theta_{max}))^2 \approx theta_{max}^2 = v_0^2/{lg}$ [1].
Ho elevato al quadrato. Il motivo sarà chiaro dopo.
Considero ora anche il tuo primo risultato elevato al quadrato:
$(\cos(\theta_{max}))^2 = (1 - v_0^2/{2lg})^2$.
Come puoi vedere, l'ultimo termine è esattamente uguale all'angolo che ho trovato nell'equazione precedente! Da ciò deriva che questo termine è "piccolo". Si può allora scrivere che
$(\cos(\theta_{max}))^2 = (1 - v_0^2/{2lg})^2 \approx ([1 - v_0^2/{lg}]^{1/2})^2 = 1 - v_0^2/{lg}$ [2].
Dove ho usato il fatto che $(1 + x)*{\alpha} \approx 1 + \alpha x$, se $x$ è "piccolo".
Se ora sommi i due risultati [1] e [2], ottieni giustamente l'unità: $(\cos(\theta_{max}))^2 + (\sen(\theta_{max}))^2 = [1 - v_0^2/{lg}] + v_0^2/{lg} = 1$.
Questo dimostra che le due trattazioni sono tra loro in accordo, nell'approssimazione di ampiezze massime di oscillazione "piccole". Quando questo non è vero, come è il caso di questo esercizio che chiede addirittura in quali condizioni il pendolo fa un giro completo (altro che angolo piccolo!), è meglio evitare di usare l'equazione del moto armonico che, in quanto frutto di un'approssimazione, restituisce risultati che sono, ovviamente... Approssimati!
Inizio a ringraziarti per avermi risposto, domani (spero di riuscire) la leggo bene e riprovo:)
Okay ho letto tutto e mi è chiaro, ti ringrazio tanto!
In sostanza, una risoluzione fatta con l'equazione differenziale non sarebbe sbagliata di per sé...però mi porterebbe a dei problemi per i punti successivi del problema in forza del fatto che entra in gioco l'approssimazione.
In sostanza, una risoluzione fatta con l'equazione differenziale non sarebbe sbagliata di per sé...però mi porterebbe a dei problemi per i punti successivi del problema in forza del fatto che entra in gioco l'approssimazione.
Il discorso è più che altro: l'equazione differenziale usa un'approssimazione che ne semplifica di molto la risoluzione. Dato che usa un'approssimazione, restituisce risultati approssimati.
Se ricorri all'uso della conservazione dell'energia, non usi approssimazioni, quindi ottieni risultati esatti, diversamente da quelli ottenuti con l'equazione differenziale.
Se ricorri all'uso della conservazione dell'energia, non usi approssimazioni, quindi ottieni risultati esatti, diversamente da quelli ottenuti con l'equazione differenziale.
Capito:) grazie!
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