Problema di Dinamica (Fisica 1)
Buongiorno, ho un problema nell'impostare e capire come agiscono le forze di attrito e le tensioni nel seguente esercizio, di cui vi riporto l'immagine del testo e il relativo schemino.
Qui è come ho rappresentato le forze agenti.
Lungo l'asse delle y, agiscono le seguenti forze:
$ { ( m{::}_(\ \3)^() text()*g-T{::}_(\ \2)^() text()=m{::}_(\ \3)^() text()*a),(m{::}_(\ \1)^() text()*g-N{::}_(\ \1)^() text()=0 ),(m{::}_(\ \2)^() text()*g-N{::}_(\ \2)^() text()=0 ),(N=N{::}_(\ \1)^() text()+N{::}_(\ \2)^() text()=(m{::}_(\ \1)^() text()+m{::}_(\ \2)^() text())*g ):} $
Lungo l'asse delle x, invece mi verrebbe da scrivere:
$ T{::}_(\ \2)^() text()-F{::}_(\ \A2)^() text()+F{::}_(\ \A1)^() text()+T{::}_(\ \1)^() text()=m{::}_(\ \2)^() text()*a $
Ma è sbagliato. Il libro infatti scrive:
$ T{::}_(\ \2)^() text()-F{::}_(\ \A2)^() text()-F{::}_(\ \A1)^() text()-T{::}_(\ \1)^() text()=m{::}_(\ \2)^() text()*a $
Ma non capisco proprio il perché, sia del verso della forza di attrito tra i due corpi sia del verso della tensione T1 della fune. Se il corpo m2 va avanti, il corpo m1 non va indietro generando un attrito nel verso opposto al suo moto, ovvero nel verso di T2? Potete spiegarmi dove sbaglio? Quali sono gli errori concettuali che commetto?
Qui è come ho rappresentato le forze agenti.
Lungo l'asse delle y, agiscono le seguenti forze:
$ { ( m{::}_(\ \3)^() text()*g-T{::}_(\ \2)^() text()=m{::}_(\ \3)^() text()*a),(m{::}_(\ \1)^() text()*g-N{::}_(\ \1)^() text()=0 ),(m{::}_(\ \2)^() text()*g-N{::}_(\ \2)^() text()=0 ),(N=N{::}_(\ \1)^() text()+N{::}_(\ \2)^() text()=(m{::}_(\ \1)^() text()+m{::}_(\ \2)^() text())*g ):} $
Lungo l'asse delle x, invece mi verrebbe da scrivere:
$ T{::}_(\ \2)^() text()-F{::}_(\ \A2)^() text()+F{::}_(\ \A1)^() text()+T{::}_(\ \1)^() text()=m{::}_(\ \2)^() text()*a $
Ma è sbagliato. Il libro infatti scrive:
$ T{::}_(\ \2)^() text()-F{::}_(\ \A2)^() text()-F{::}_(\ \A1)^() text()-T{::}_(\ \1)^() text()=m{::}_(\ \2)^() text()*a $
Ma non capisco proprio il perché, sia del verso della forza di attrito tra i due corpi sia del verso della tensione T1 della fune. Se il corpo m2 va avanti, il corpo m1 non va indietro generando un attrito nel verso opposto al suo moto, ovvero nel verso di T2? Potete spiegarmi dove sbaglio? Quali sono gli errori concettuali che commetto?
Risposte
Il moto verso destra della massa $m_2$ , con accelerazione di modulo $a$ , e' determinato dalla forza motrice $vecT_2$, diretta verso destra, e da tre forze resistenti, dirette verso sinistra, che,proiettate sull'asse $x$ orientato verso destra, hanno componenti negative : $ -T_1 , - mu_dm_1g , - mu_d(m_1+m_2)g $ .
LA fune orizzontale trattiene $m_2$ , cioe' la forza che essa esercita su $m_2$ e' un vettore diretto verso sinistra , cosi' come le due forze di attrito . Quindi si ha, proiettando sull'asse $x$ :
$m_2 a = T_2 - T_1 - \mu_dm_1g - \mu_d(m_1+m_2)g $
LE altre due equazioni scalari sono :
$m_3a = m_3g - T_2$
$m_1a = T_1-mu_dm_1g$
In casi come questi, per disegnare correttamente le forze agenti conviene tracciare il diagramma di corpo libero . Isola la massa $m_2$ , e applica ad essa le forze agenti , nel verso giusto . Analogamente procedi per le altre due masse.
LA fune orizzontale trattiene $m_2$ , cioe' la forza che essa esercita su $m_2$ e' un vettore diretto verso sinistra , cosi' come le due forze di attrito . Quindi si ha, proiettando sull'asse $x$ :
$m_2 a = T_2 - T_1 - \mu_dm_1g - \mu_d(m_1+m_2)g $
LE altre due equazioni scalari sono :
$m_3a = m_3g - T_2$
$m_1a = T_1-mu_dm_1g$
In casi come questi, per disegnare correttamente le forze agenti conviene tracciare il diagramma di corpo libero . Isola la massa $m_2$ , e applica ad essa le forze agenti , nel verso giusto . Analogamente procedi per le altre due masse.
Il problema è che non capisco perché $ T{::}_(\ \1)^() text() $ e $ F{::}_(\ \ A1)^() text() $ debbano avere il segno meno. A me verrebbe da pensare come ho disegnato nello schema. Potresti correggermi questi errori concettuali spiegandomi il perché? Poi non ho ben capito quando dici che la fune trattiene Il corpo m2, in che senso?
L'attrito dinamico si oppone al moto relativo tra le superfici a contatto , quindi, applicata da $m_2$ su $m_1$, e' diretta verso destra. Ma quando la consideri applicata da $m_1$ su $m_2$ , e' diretta verso sinistra .
Le funi sono sempre tese , quando sono applicate ai corpi li tirano sempre . Ho buttato giù un disegno :
Le funi sono sempre tese , quando sono applicate ai corpi li tirano sempre . Ho buttato giù un disegno :
Con questo schema mi è molto più chiaro. Ultima cosa, se mi puoi chiarire meglio perchè l'attrito da m1 a m2 va verso sinistra. È l'unica cosa che continuo a non capire. Mi scuso se sono assillante, ma vorrei cercare di capire bene.
Devi figurarti il moto relativo tra $m_1$ e $m_2$ . Visto che la massa sospesa $m_3$ scende , la massa $m_2$ si sposta verso destra , quindi $m_1$ si sposta verso sinistra . Percio' , $m_1$ tende a frenare $m_2$ , e lo fa applicando una forza di attrito diretta a Sn .
Ma, a sua volta, , per il principio di azione e reazione , la massa $m_2$ tende a frenare la $m_1$ , che vuole spostarsi verso Sn . Dunque $m_2$ applica a $m_1$ la forza di attrito diretta verso destra .
Ho fatto il disegno, perche' a volte uno schizzo vale più di tante parole, specie in questo forum , trattando di certi argomenti.
Ma, a sua volta, , per il principio di azione e reazione , la massa $m_2$ tende a frenare la $m_1$ , che vuole spostarsi verso Sn . Dunque $m_2$ applica a $m_1$ la forza di attrito diretta verso destra .
Ho fatto il disegno, perche' a volte uno schizzo vale più di tante parole, specie in questo forum , trattando di certi argomenti.
Puoi confermarmi se ho capito bene? Dire moto relativo di m1 rispetto a m2 significa mettersi solidale con il corpo m1 e considerare m2 fermo? Quindi è come vedere m1 che striscia verso sinistra sulla superficie di m2 con conseguente attrito verso destra? Analogamente dire moto relativo di m2 rispetto a m1 significa mettersi solidale con il corpo m2 e considerare m1 fermo? Quindi è come vedere m2 che striscia verso destra sulla superficie di m1 con conseguente attrito verso sinistra? E' da questo ragionamento che derivano quelle forze di attrito sia verso destra sia verso sinistra?
Sostanzialmente si' , hai capito il significato di moto relativo. Pero' c'e' una piccola imprecisione da correggere.
"Moto relativo di $m_1$ rispetto a $m_2$ " significa considerare $m_2$ fermo , e quindi $m_1$ in moto rispetto ad esso ; ma, in generale, l'osservatore si mette nel riferimento di $m_2$ , cioe' si considera solidale al corpo supposto "fermo" , non si pone solidale al corpo "in moto". E' questione di convenzioni, naturalmente.
Comunque, nel riferimento di $m_2$ , il corpo $m_1$ si muove verso sinistra, quindi $m_1$ striscia sulla capoccia di $m_2$ applicando a $m_2$ la forza di attrito diretta a sinistra .
A sua volta , Nel riferimento di $m_1$ il corpo $m_2$ si muove verso destra, strisciando sotto il sedere di $m_1$ , e quindi applicando a $m_1$ la forza di attrito diretta a destra .
Le due forze di attrito sopra dette sono uguali e contrarie , e obbediscono al principio di azione e reazione. Questi moti relativi sono determinati , nel tuo esercizio, dal vincolo esistente tra i due corpi , e cioe' la fune inestensibile che li unisce passando per la carrucola fissa.
"Moto relativo di $m_1$ rispetto a $m_2$ " significa considerare $m_2$ fermo , e quindi $m_1$ in moto rispetto ad esso ; ma, in generale, l'osservatore si mette nel riferimento di $m_2$ , cioe' si considera solidale al corpo supposto "fermo" , non si pone solidale al corpo "in moto". E' questione di convenzioni, naturalmente.
Comunque, nel riferimento di $m_2$ , il corpo $m_1$ si muove verso sinistra, quindi $m_1$ striscia sulla capoccia di $m_2$ applicando a $m_2$ la forza di attrito diretta a sinistra .
A sua volta , Nel riferimento di $m_1$ il corpo $m_2$ si muove verso destra, strisciando sotto il sedere di $m_1$ , e quindi applicando a $m_1$ la forza di attrito diretta a destra .
Le due forze di attrito sopra dette sono uguali e contrarie , e obbediscono al principio di azione e reazione. Questi moti relativi sono determinati , nel tuo esercizio, dal vincolo esistente tra i due corpi , e cioe' la fune inestensibile che li unisce passando per la carrucola fissa.
Quando dici, nel riferimento di m2 , che il corpo m1 si muove verso sinistra, applicando a m2 la forza di attrito diretta a sinistra. La forza di attrito non dovrebbe essere rivolta verso destra, opponendosi al moto di m1 verso sinistra?
Stessa cosa nel riferimento di m1. Il corpo m2 si muove verso destra e applicando a m1 la forza di attrito diretta a destra, non dovrebbe essere a sinistra la forza di attrito? Cosa intendi quando dici "applica la forza di attrito"? Il fatto dei due moti relativi è connesso al principio di azione e reazione? Perdonami se ti faccio ancora tutte queste domande.
Stessa cosa nel riferimento di m1. Il corpo m2 si muove verso destra e applicando a m1 la forza di attrito diretta a destra, non dovrebbe essere a sinistra la forza di attrito? Cosa intendi quando dici "applica la forza di attrito"? Il fatto dei due moti relativi è connesso al principio di azione e reazione? Perdonami se ti faccio ancora tutte queste domande.
Tu stai pensando alla forza di attrito come se fosse una forza sola, di direzione ben definita, e basta.
Non e' cosi'. I due corpi agiscono uno sull'altro con due forze uguali e contrarie, e vale il principio di azione e reazione, per cui queste forze non si elidono in quanto agiscono su corpi diversi .
La massa $m_1$ striscia su $m_2$ verso sinistra, quindi la forza applicata DA $m_1$ SU $m_2$ e' diretta verso sinistra , e tende a rallentare $m_2$, contrastandone il moto.
Di contro , per il principio di azione e reazione detto, la massa $m_2$ reagisce , agendo SU $m_1$ con la forza diretta verso destra , e tende quindi a rallentare $m_1$ , contrastandone il moto.
Quindi, se fai il conteggio delle forze agenti in direzione orizzontale su $m_1$ , hai :
1) la tensione $vecT_1$ del filo , diretta verso sinistra; l'asse $x$ e' orientato verso destra , per cui la componente della tensione su tale asse vale : $-T_1$ ;
2) la forza di attrito $vecF_(A1)$ diretta verso destra , in verso contrario al moto di $m_1$. La componente sull'asse $x$ vale : $F_(A1) = \mu_dm_1g$
LA massa $m_1$ accelera verso sinistra. La 2º equazione della dinamica , proiettando tutto sull'asse $x$ , si scrive :
$-m_1a = -T_1 + \mu_dm_1g $
da cui , cambiando i segni : $m_1a = T_1 - \mu_dm_1g$
Quando fai il conteggio delle forze agenti in direzione orizzontale su $m_2$ , che lascio a te , devi mettere in conto, all'interfaccia tra $m_1$ e $m_2$ , la forza di attrito che $m_1$ "comunica" ( se non ti piace "applica " ...) a $m_2$ , e che e' diretta verso sinistra .
Riguardati il disegno . Ho riportato le forze agenti su ciascun corpo; quelle che ci interessano, ovviamente. Potresti obiettare: “ma come? Io vedo che tra $m_2$ e il piano fisso hai messo una sola forza! Dove è quell’altra, visto che anche qui deve valere il principio di azione e reazione?” . E ti direi che hai ragione, ma la forza di attrito che $m_2$ esercita sul piano fisso non ha alcun effetto su quest’ ultimo, poiché il piano è “fisso” per ipotesi.
L'attrito dinamico nasce quando c'e' moto relativo tra i corpi a contatto, che si suppongono scabri. Se fossero lisci, non ci sarebbero forze di attrito. Lascio stare l'attrito statico, per non mettere altra carne al fuoco . Nell’interfaccia tra i due corpi, A agisce su B e B reagisce su A, e le due forze di attrito obbediscono alla terza legge della dinamica. Forse è questo concetto che ancora ti manca.
Non e' cosi'. I due corpi agiscono uno sull'altro con due forze uguali e contrarie, e vale il principio di azione e reazione, per cui queste forze non si elidono in quanto agiscono su corpi diversi .
La massa $m_1$ striscia su $m_2$ verso sinistra, quindi la forza applicata DA $m_1$ SU $m_2$ e' diretta verso sinistra , e tende a rallentare $m_2$, contrastandone il moto.
Di contro , per il principio di azione e reazione detto, la massa $m_2$ reagisce , agendo SU $m_1$ con la forza diretta verso destra , e tende quindi a rallentare $m_1$ , contrastandone il moto.
Quindi, se fai il conteggio delle forze agenti in direzione orizzontale su $m_1$ , hai :
1) la tensione $vecT_1$ del filo , diretta verso sinistra; l'asse $x$ e' orientato verso destra , per cui la componente della tensione su tale asse vale : $-T_1$ ;
2) la forza di attrito $vecF_(A1)$ diretta verso destra , in verso contrario al moto di $m_1$. La componente sull'asse $x$ vale : $F_(A1) = \mu_dm_1g$
LA massa $m_1$ accelera verso sinistra. La 2º equazione della dinamica , proiettando tutto sull'asse $x$ , si scrive :
$-m_1a = -T_1 + \mu_dm_1g $
da cui , cambiando i segni : $m_1a = T_1 - \mu_dm_1g$
Quando fai il conteggio delle forze agenti in direzione orizzontale su $m_2$ , che lascio a te , devi mettere in conto, all'interfaccia tra $m_1$ e $m_2$ , la forza di attrito che $m_1$ "comunica" ( se non ti piace "applica " ...) a $m_2$ , e che e' diretta verso sinistra .
Riguardati il disegno . Ho riportato le forze agenti su ciascun corpo; quelle che ci interessano, ovviamente. Potresti obiettare: “ma come? Io vedo che tra $m_2$ e il piano fisso hai messo una sola forza! Dove è quell’altra, visto che anche qui deve valere il principio di azione e reazione?” . E ti direi che hai ragione, ma la forza di attrito che $m_2$ esercita sul piano fisso non ha alcun effetto su quest’ ultimo, poiché il piano è “fisso” per ipotesi.
L'attrito dinamico nasce quando c'e' moto relativo tra i corpi a contatto, che si suppongono scabri. Se fossero lisci, non ci sarebbero forze di attrito. Lascio stare l'attrito statico, per non mettere altra carne al fuoco . Nell’interfaccia tra i due corpi, A agisce su B e B reagisce su A, e le due forze di attrito obbediscono alla terza legge della dinamica. Forse è questo concetto che ancora ti manca.
Hai anticipato la mia domanda, quindi ci sarebbe anche una forza di attrito verso destra esercitata da m2 sul piano, ma essendo per ipotesi fisso la "trascuriamo". Quindi nello scorrimento su superfici scabre ho sempre due forze di attrito uguali e contrarie dovuto al terzo principio, giusto? Questo passaggio mi mancava, non perchè non sapessi il terzo principio, ma perchè pensavo alla forza di attrito solo come un'unica forza diretta nel verso opposto del moto. È come se la consideravo una forza particolare, tutta a se. Quindi anche l'attrito obbedisce a tutti i principi della dinamica,come le altre forze?
Anche le forze di attrito obbediscono al principio di azione e reazione.
Quando hai un sistema di più corpi, tra loro vincolati in vario modo : fili , cerniere , manicotti scorrevoli , superfici di scorrimento relativo , ecc, , per determinare il moto di ciascun corpo è chiaro che devi considerare solo quel corpo, svincolandolo dagli altri , e applicando su di esso le forze che gli altri corpi gli trasmettono . È il cosiddetto procedimento del "corpo libero" , come già ti ho detto .
Quindi, nel tuo caso, per analizzare il moto di $m_1$ devi considerare solo $m_1$ , applicandogli le forze trasmesse da $m_2$ e dal filo . È chiaro che la forza di attrito da considerare è solo quella dovuta al'azione di $m_2$ , no ?
Alla stessa maniera devi procedere per analizzare il moto di $m_2$ e di $m_3$ .
Naturalmente , i vincoli tra i corpi impongono delle condizioni analitiche, che ritrovi nelle equazioni della dinamica scritte per ognuno . Alla fine , hai un sistema da risolvere , che deve essere determinato.
Ti consiglio di fare molti esercizi di dinamica. Oggi ci sono risorse illimitate sul web .
Quando hai un sistema di più corpi, tra loro vincolati in vario modo : fili , cerniere , manicotti scorrevoli , superfici di scorrimento relativo , ecc, , per determinare il moto di ciascun corpo è chiaro che devi considerare solo quel corpo, svincolandolo dagli altri , e applicando su di esso le forze che gli altri corpi gli trasmettono . È il cosiddetto procedimento del "corpo libero" , come già ti ho detto .
Quindi, nel tuo caso, per analizzare il moto di $m_1$ devi considerare solo $m_1$ , applicandogli le forze trasmesse da $m_2$ e dal filo . È chiaro che la forza di attrito da considerare è solo quella dovuta al'azione di $m_2$ , no ?
Alla stessa maniera devi procedere per analizzare il moto di $m_2$ e di $m_3$ .
Naturalmente , i vincoli tra i corpi impongono delle condizioni analitiche, che ritrovi nelle equazioni della dinamica scritte per ognuno . Alla fine , hai un sistema da risolvere , che deve essere determinato.
Ti consiglio di fare molti esercizi di dinamica. Oggi ci sono risorse illimitate sul web .
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