Problema di dinamica dell'urto...
Ciao a tutti!
Stavo cercando di risolvere un problema che mi fa impazzire in quanto non riesco a trovare l'errore che commetto durante la risoluzione. Il problema è il seguente (tratto dal Rosati eserciziario):
"Un rullo cilindrico di massa m =100kg è mantenuto in quiete alla base di un piano inclinato fissato sopra un carrello A in movimento su una superficie orizzontale liscia con modulo della velocità V(0) = 4,4 m/s; la massa complessiva del carrello e del piano inclinato, escluso il rullo, è m(A) = 500 kg. Il carrello va ad urtare contro un secondo carrello B, fermo sopra lala superficie orizzontale, di massa m(B)=500kg: i due carrelli dopo l'urto restano uniti mentre il rullo, che al momento dell'urto è lasciato libero di muoversi, sale lungo il piano inclinato alla massima altezza h (rispetto alla posizione di partenza); l'energia persa dal rullo per attrito è trascurabile. Si calcoli h."
Allora io ho proceduto calcolandomi prima di tutto la velocità dei due carrelli in seguito all'urto mediante il principio di conservaziome della quantità di moto. La velocità relativa del cilindro prima dell'urto è nulla mentre la sua velocità assoluta è uguale alla velocità di trascinamento del carrello A. In seguito all'urto la sua velocità relativa diventa uguale alla velocità assoluta che il carrello aveva prima dell'urto e dunque a 4,4 m/s (o no? Ho un po di dubbi a riguardo). Dopo mi calcolo
l'altezza massima mediante il principio di conservazione delle'energia meccanica considerando le velocità relative del cilindro. Siccome la soluzione non è quella indicata dal libro e siccome sono piuttosto confuso riguardo ad alcuni punti del problema mi sembra evidente aver commesso un errore abbastanza grossolano. Mi date una dritta per favore?
Grazie a tutti in anticipo!
Stavo cercando di risolvere un problema che mi fa impazzire in quanto non riesco a trovare l'errore che commetto durante la risoluzione. Il problema è il seguente (tratto dal Rosati eserciziario):
"Un rullo cilindrico di massa m =100kg è mantenuto in quiete alla base di un piano inclinato fissato sopra un carrello A in movimento su una superficie orizzontale liscia con modulo della velocità V(0) = 4,4 m/s; la massa complessiva del carrello e del piano inclinato, escluso il rullo, è m(A) = 500 kg. Il carrello va ad urtare contro un secondo carrello B, fermo sopra lala superficie orizzontale, di massa m(B)=500kg: i due carrelli dopo l'urto restano uniti mentre il rullo, che al momento dell'urto è lasciato libero di muoversi, sale lungo il piano inclinato alla massima altezza h (rispetto alla posizione di partenza); l'energia persa dal rullo per attrito è trascurabile. Si calcoli h."
Allora io ho proceduto calcolandomi prima di tutto la velocità dei due carrelli in seguito all'urto mediante il principio di conservaziome della quantità di moto. La velocità relativa del cilindro prima dell'urto è nulla mentre la sua velocità assoluta è uguale alla velocità di trascinamento del carrello A. In seguito all'urto la sua velocità relativa diventa uguale alla velocità assoluta che il carrello aveva prima dell'urto e dunque a 4,4 m/s (o no? Ho un po di dubbi a riguardo). Dopo mi calcolo
l'altezza massima mediante il principio di conservazione delle'energia meccanica considerando le velocità relative del cilindro. Siccome la soluzione non è quella indicata dal libro e siccome sono piuttosto confuso riguardo ad alcuni punti del problema mi sembra evidente aver commesso un errore abbastanza grossolano. Mi date una dritta per favore?
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
h = 2,69m ?
Anche a me è uscito lo stesso risultato! Per il libro il risultato è h=0,22m. Si tratta di una differenza notevole tra i due risultati: per questo mi chiedevo cosa avessi sbagliato...
"daniele91":
Anche a me è uscito lo stesso risultato! Per il libro il risultato è h=0,22m. Si tratta di una differenza notevole tra i due risultati: per questo mi chiedevo cosa avessi sbagliato...
Sì, vedi io il calcolo l'ho fatto nel modo più semplice possibile senza star lì a verificare troppo, per vedere se la soluzione più immediata che mi poteva venire in mente coincidesse con quella del libro, senza sprecarci troppo impegno.
Adesso vedo invece che l'esercizio questo impegno lo richiede, per cui magari ci rifletto con maggiore attenzione.
Il problema fondamentale è che nei casi di urto, quando si dice "i corpi procedono dopo l'urto con la stessa velocità", di solito questo implicitamente significa che l'energia non si conserva perché l'urto è anelastico. Questo pur sapendolo l'ho trascurato, e ho assunto che l'energia si conservasse solo per arrivare velocemente a una qualche soluzione, correndo il rischio che fosse sbagliata.
Allora adesso pensaci anche tu, ipotizza di non poter utilizzare la conservazione dell'energia al momento dell'urto e vediamo cosa esce dai nostri ulteriori ragionamenti.
Io ho supposto che l'energia si conservasse ma a questo punto non so se si proceda così. Nelle relazioni di conservazione dell'energia meccanica hai considerato la velocità assoluta della pallina (rispetto al suolo )? A me non viene in mente altro. Avevo pensato che la ddiminuzione dell'energia cinetica in seguito all'urto viene poi "dissipata" dal cilindro... non ho svolto molti esercizi di questo tipo...
Dopo l'urto il cilindro continua il suo moto, ma la sua velocità, relativa al sistema A+B, è $4,4 m/s - v_(AB)$. A mio parere è su questo sistema che devi operare per determinare l'altezza h.
Infatti ho considerato proprio quella come velocità iniziale del cilindro ma il risultato non corrisponde con la soluzione dell'esercizio. All'istante in cui avviene l'urto il cilindro dovrebbe avere quella che era la velocità del carrello e dunque 4,4 m/s mentre la velocità dei carrelli si è dimezzata.
Per curiosità ti riporto i miei conti.
Sistema di riferimento: carrelli A+B. $v_c= 4,4-2,2=2,2 m/s$.
Da $1/2mv_c^2=mgh$ ottengo $h=(2,2)^2/(2g)=0,246m/s$.
Sistema di riferimento: carrelli A+B. $v_c= 4,4-2,2=2,2 m/s$.
Da $1/2mv_c^2=mgh$ ottengo $h=(2,2)^2/(2g)=0,246m/s$.
Penso che il procedimento da seguire sia questo anche se la soluzione proposta dal libro è h = 0,22 m. Grazie per l'aiuto!
Discussione critica di questo esercizio.
Dopo aver fatto alcune prove sono arrivato alla soluzione proposta dal libro intuendo il procedimento seguito dall'autore.
La situazione ipotizzata immediatamente dopo l'urto è la seguente:
- i due carrelli proseguono la corsa uniti con velocità pari alla metà di quella iniziale;
- il rullo prosegue la corsa mantenendo inalterata la propria energia cinetica iniziale, e converte parte di tale energia cinetica in energia potenziale salendo sulla rampa fino all'altezza h.
In queste ipotesi i calcoli sono i seguenti.
Bilancio di energia nel quale si eguaglia l'energia cinetica immediatamente dopo l'urto con l'energia totale finale:
[tex]\frac{1}{2}m{v_0}^2 + \frac{1}{2}2M{\left( {\frac{{{v_0}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {m + 2M} \right){v_f}^2 + mgh[/tex]
Calcolo della velocità finale col principio della conservazione della quantità di moto:
[tex]\begin{array}{l}
\left( {M + m} \right){v_0} = \left( {2M + m} \right){v_f} \\
{v_f} = \frac{{\left( {M + m} \right)}}{{\left( {2M + m} \right)}}{v_0} \\
\end{array}[/tex]
Inserimento della velocità finale nella prima espressione:
[tex]2gh = \left( {1 + \frac{M}{{2m}}} \right){v_0}^2 - \frac{{{{\left( {\frac{M}{m} + 1} \right)}^2}}}{{\frac{{2M}}{m} + 1}}{v_0}^2[/tex]
Inserimento dei dati numerici:
[tex]\begin{array}{l}
3,5{v_0}^2 - \frac{{36}}{{11}}{v_0}^2 = 2gh \\
h = \frac{{3,5 - \frac{{36}}{{11}}}}{{2g}}{v_0}^2 = 0,224 \\
\end{array}[/tex]
Nello svolgimento di questo esercizio e in particolare nelle ipotesi fatte dopo l'urto vedo parecchie lacune.
Per prima cosa i due carrelli conservano la propria quantità di moto totale, come se il rullo soprastante non interagisse con essi. Ciò è assolutamente falso, sarebbe vero solo se tra rullo e carrello non ci fosse attrito, cosa che invece non è prevista dal testo del problema.
In secondo luogo il rullo conserva la sua energia totale: è ben vero che si dice che non perde energia lungo la salita del piano inclinato, però nel momento dell'urto il rullo deve perdere energia per forza. Infatti il rullo "urta" contro il piano inclinato, nel senso che cambia improvvisamente la sua velocità a causa del contatto del piano che improvvisamente rallenta. Pertanto se questo urto fosse elastico ci sarebbe un rimbalzo del rullo contro il piano. Poiché questo non avviene si deve ipotizzare per forza un urto anelastico e quindi una perdita di energia.
Il fatto che il rullo cambi improvvisamente la sua quantità di moto iniziando a salire lungo il piano significa che al momento dell'urto esiste una interazione impulsiva tra il rullo e i due carrelli uniti. Tale impulso serve da un lato a far cambiare improvvisamente la direzione della quantità di moto del rullo, dall'altro a fornirgli istantaneamente la condizione di puro rotolamento.
Questo impulso ha poi il duplice effetto di rallentare la velocità del rullo da un lato, e quindi la sua energia cinetica, e di accelerare la velocità dei due carrelli, i quali pertanto non possono assumere la velocità [tex]{\frac{{{v_0}}}{2}}[/tex] ma assumono una velocità maggiore.
Un esercizio del genere se veramente si volesse risolvere rigorosamente senza fare le grossolane ipotesi semplificative assunte, prendendolo così com'è non avrebbe soluzione perché l'energia perduta dal rullo al momento dell'urto dipende strettamente dalla pendenza della rampa, che non è data. E comunque se fosse data porterebbe a sviluppi algebrici di tutto rispetto, tali da scoraggiare chiunque.
Se veramente si fosse voluto proporre in modo serio e fattibile un esercizio di questo tipo si sarebbero dovuti modificare alcuni dettagli:
-il rullo giace sopra il primo carrello su una superficie orizzontale con attrito, abbastanza lunga da consentire dopo l'urto uno strisciamento del rullo tale da portarlo alla condizione di puro rotolamento prima di affrontare la salita;
-alla fine di questa superficie piana la pendenza inizia a crescere ma non bruscamente, seguendo cioè sul piano xy una curva continua fino alla derivata prima;
In questo modo l'energia perduta nell'urto si sarebbe potuta valutare con maggiore facilità e l'interazione tra rullo e carrelli durante questo processo di perdita di energia sarebbe avvenuta non in modo impulsivo bensì in modo continuo nel tempo grazie a una forza di attrito costante.
Tutto ciò l'ho detto non per pura pedanteria ma solo per rimarcare il concetto che gli esercizi sugli urti presentano delle problematiche a volte sorprendenti e non possono venire liquidati così semplicemente mediante ipotesi talmente semplificative da non lasciar capire la complessità dei problemi che vi sono sottesi, illudendo in tal modo gli studenti che si possa fare sempre così.
Permettetemi di concludere che un esercizio del genere svolto in tal modo a mio giudizio è altamente diseducativo.
Dopo aver fatto alcune prove sono arrivato alla soluzione proposta dal libro intuendo il procedimento seguito dall'autore.
La situazione ipotizzata immediatamente dopo l'urto è la seguente:
- i due carrelli proseguono la corsa uniti con velocità pari alla metà di quella iniziale;
- il rullo prosegue la corsa mantenendo inalterata la propria energia cinetica iniziale, e converte parte di tale energia cinetica in energia potenziale salendo sulla rampa fino all'altezza h.
In queste ipotesi i calcoli sono i seguenti.
Bilancio di energia nel quale si eguaglia l'energia cinetica immediatamente dopo l'urto con l'energia totale finale:
[tex]\frac{1}{2}m{v_0}^2 + \frac{1}{2}2M{\left( {\frac{{{v_0}}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\left( {m + 2M} \right){v_f}^2 + mgh[/tex]
Calcolo della velocità finale col principio della conservazione della quantità di moto:
[tex]\begin{array}{l}
\left( {M + m} \right){v_0} = \left( {2M + m} \right){v_f} \\
{v_f} = \frac{{\left( {M + m} \right)}}{{\left( {2M + m} \right)}}{v_0} \\
\end{array}[/tex]
Inserimento della velocità finale nella prima espressione:
[tex]2gh = \left( {1 + \frac{M}{{2m}}} \right){v_0}^2 - \frac{{{{\left( {\frac{M}{m} + 1} \right)}^2}}}{{\frac{{2M}}{m} + 1}}{v_0}^2[/tex]
Inserimento dei dati numerici:
[tex]\begin{array}{l}
3,5{v_0}^2 - \frac{{36}}{{11}}{v_0}^2 = 2gh \\
h = \frac{{3,5 - \frac{{36}}{{11}}}}{{2g}}{v_0}^2 = 0,224 \\
\end{array}[/tex]
Nello svolgimento di questo esercizio e in particolare nelle ipotesi fatte dopo l'urto vedo parecchie lacune.
Per prima cosa i due carrelli conservano la propria quantità di moto totale, come se il rullo soprastante non interagisse con essi. Ciò è assolutamente falso, sarebbe vero solo se tra rullo e carrello non ci fosse attrito, cosa che invece non è prevista dal testo del problema.
In secondo luogo il rullo conserva la sua energia totale: è ben vero che si dice che non perde energia lungo la salita del piano inclinato, però nel momento dell'urto il rullo deve perdere energia per forza. Infatti il rullo "urta" contro il piano inclinato, nel senso che cambia improvvisamente la sua velocità a causa del contatto del piano che improvvisamente rallenta. Pertanto se questo urto fosse elastico ci sarebbe un rimbalzo del rullo contro il piano. Poiché questo non avviene si deve ipotizzare per forza un urto anelastico e quindi una perdita di energia.
Il fatto che il rullo cambi improvvisamente la sua quantità di moto iniziando a salire lungo il piano significa che al momento dell'urto esiste una interazione impulsiva tra il rullo e i due carrelli uniti. Tale impulso serve da un lato a far cambiare improvvisamente la direzione della quantità di moto del rullo, dall'altro a fornirgli istantaneamente la condizione di puro rotolamento.
Questo impulso ha poi il duplice effetto di rallentare la velocità del rullo da un lato, e quindi la sua energia cinetica, e di accelerare la velocità dei due carrelli, i quali pertanto non possono assumere la velocità [tex]{\frac{{{v_0}}}{2}}[/tex] ma assumono una velocità maggiore.
Un esercizio del genere se veramente si volesse risolvere rigorosamente senza fare le grossolane ipotesi semplificative assunte, prendendolo così com'è non avrebbe soluzione perché l'energia perduta dal rullo al momento dell'urto dipende strettamente dalla pendenza della rampa, che non è data. E comunque se fosse data porterebbe a sviluppi algebrici di tutto rispetto, tali da scoraggiare chiunque.
Se veramente si fosse voluto proporre in modo serio e fattibile un esercizio di questo tipo si sarebbero dovuti modificare alcuni dettagli:
-il rullo giace sopra il primo carrello su una superficie orizzontale con attrito, abbastanza lunga da consentire dopo l'urto uno strisciamento del rullo tale da portarlo alla condizione di puro rotolamento prima di affrontare la salita;
-alla fine di questa superficie piana la pendenza inizia a crescere ma non bruscamente, seguendo cioè sul piano xy una curva continua fino alla derivata prima;
In questo modo l'energia perduta nell'urto si sarebbe potuta valutare con maggiore facilità e l'interazione tra rullo e carrelli durante questo processo di perdita di energia sarebbe avvenuta non in modo impulsivo bensì in modo continuo nel tempo grazie a una forza di attrito costante.
Tutto ciò l'ho detto non per pura pedanteria ma solo per rimarcare il concetto che gli esercizi sugli urti presentano delle problematiche a volte sorprendenti e non possono venire liquidati così semplicemente mediante ipotesi talmente semplificative da non lasciar capire la complessità dei problemi che vi sono sottesi, illudendo in tal modo gli studenti che si possa fare sempre così.
Permettetemi di concludere che un esercizio del genere svolto in tal modo a mio giudizio è altamente diseducativo.
Grazie mille per la risposta ! Purtroppo ho solo questo eserciziario. Avendo studiato dalla teoria del Rosati (che sinceramente non mi è affatto piaciuta) ho ritenuto opportuno esercitarmi con l'esciziario associato. Potresti consigliarmi un altro eserciziario di fisica? L'esame di fisica I è particolarmente difficile e il mio prof. esige una assoluta correttezza nell'utilizzo del calcolo vettoriale...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo