Problema di dinamica con forze di attrito
Salve a tutti, sono nuovo del forum (non so se ho sbagliato a non presentarmi in una sezione apposita, nel caso scusate). Vi chiedo aiuto per la risoluzione del seguente esercizio, o meglio, per capire se sto ragionando nel modo giusto.
La situazione è quella mostrata nell'immagine, viene applicata una forza $F$ orizzontalmente ad una massa $m$, appoggiata ad una massa $M$ e sollevata dal suolo, tra le due masse è presente un coefficiente di attrito statico $\mu_s$, mentre tra la massa $M$ e il suolo è presente un coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$.
($m=10kg$; $M=30kg$; $\mu_s=0,5$; $\mu_d=0,2$)
Le richieste sono: la forma minima $F$ per impedire il moto relativo tra le due masse, l'accelerazione del sistema in questo caso, la forza $N$ che $M$ esercita su $m$, la forza di attrito $F_d$ esercitata dal suolo su $M$ e l'energia dissipata in funzione del tempo (supponendo che $F$ sia applicata al tempo $t=0$ con i corpi fermi).
Io ho ragionato in questo modo: se il moto relativo tra le due masse è nullo allora $m$ non si muove verticalmente, quindi lungo $y$ la risultante delle forze è nulla, cioè $F_a - mg = 0$; la forza di attrito $F_a$ tra i due corpi è proporzionale alla risultante delle forze perpendicolari alla direzione di $F_a$, ovvero $F_a = \mu_s(F-N)$, infatti $F$ tende a "spingere" $m$ contro $M$, mentre $N$ ha direzione opposta e tende a "staccare" $m$ da $M$. Considerando la superficie di contatto tra le masse, vediamo che si muove con la stessa accelerazione $a$ del sistema e le forze applicate sono $F$ e $N$, con segno opposto, quindi per il secondo principio $F-N=a(M+m)$; infine si scrive l'equazione di moto del sistema: $F-F_d = a(M+m)$.
Da queste quattro equazioni che riscrivo
1) $F_a - mg = 0$
2) $F_a = \mu_s(F-N)$
3) $F-N = a(M+m)$
4) $F-F_d = a(M+m)$
si ricava immediatamente la forza $N$ che è uguale a $F_d = \mu_dMg$, e la forza $F_a = mg$, combinando la seconda e la quarta si ottiene $F_a = mg = \mu_s(F-F_d) = \mu_s(F-\mu_dMg)$, da cui $F=g(\frac{m} {\mu_s} + \mu_dM)$, che è la forza minima per impedire il moto relativo tra i due corpi. A questo punto si ricava anche $a = \frac{F-F_d}{M+m} = \frac{mg}{\mu_s(M+m)}$. L'energia dissipata $E(t)$ è uguale a $E(t) = -\DeltaK$ e per il teorema dell'energia cinetica questa variazione è uguale al lavoro delle forze non conservative nella direzione del moto: $E(t) = \int_{0}^{l(t)} (F-F_d)dl = (F-F_d)l(t) = g \frac{m}{\mu_s}l(t)$, da $a$ si ricava $l(t) = \frac{mg}{2\mu_s(M+m)}t^2$, da cui $E(t) = \frac{m^2g^2}{2\mu_s^2(M+m)}t^2$.
Secondo voi sto commettendo degli errori logici? Come risolvereste questo esercizio?
Ringrazio tutti per l'attenzione.
La situazione è quella mostrata nell'immagine, viene applicata una forza $F$ orizzontalmente ad una massa $m$, appoggiata ad una massa $M$ e sollevata dal suolo, tra le due masse è presente un coefficiente di attrito statico $\mu_s$, mentre tra la massa $M$ e il suolo è presente un coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$.
($m=10kg$; $M=30kg$; $\mu_s=0,5$; $\mu_d=0,2$)
Le richieste sono: la forma minima $F$ per impedire il moto relativo tra le due masse, l'accelerazione del sistema in questo caso, la forza $N$ che $M$ esercita su $m$, la forza di attrito $F_d$ esercitata dal suolo su $M$ e l'energia dissipata in funzione del tempo (supponendo che $F$ sia applicata al tempo $t=0$ con i corpi fermi).
Io ho ragionato in questo modo: se il moto relativo tra le due masse è nullo allora $m$ non si muove verticalmente, quindi lungo $y$ la risultante delle forze è nulla, cioè $F_a - mg = 0$; la forza di attrito $F_a$ tra i due corpi è proporzionale alla risultante delle forze perpendicolari alla direzione di $F_a$, ovvero $F_a = \mu_s(F-N)$, infatti $F$ tende a "spingere" $m$ contro $M$, mentre $N$ ha direzione opposta e tende a "staccare" $m$ da $M$. Considerando la superficie di contatto tra le masse, vediamo che si muove con la stessa accelerazione $a$ del sistema e le forze applicate sono $F$ e $N$, con segno opposto, quindi per il secondo principio $F-N=a(M+m)$; infine si scrive l'equazione di moto del sistema: $F-F_d = a(M+m)$.
Da queste quattro equazioni che riscrivo
1) $F_a - mg = 0$
2) $F_a = \mu_s(F-N)$
3) $F-N = a(M+m)$
4) $F-F_d = a(M+m)$
si ricava immediatamente la forza $N$ che è uguale a $F_d = \mu_dMg$, e la forza $F_a = mg$, combinando la seconda e la quarta si ottiene $F_a = mg = \mu_s(F-F_d) = \mu_s(F-\mu_dMg)$, da cui $F=g(\frac{m} {\mu_s} + \mu_dM)$, che è la forza minima per impedire il moto relativo tra i due corpi. A questo punto si ricava anche $a = \frac{F-F_d}{M+m} = \frac{mg}{\mu_s(M+m)}$. L'energia dissipata $E(t)$ è uguale a $E(t) = -\DeltaK$ e per il teorema dell'energia cinetica questa variazione è uguale al lavoro delle forze non conservative nella direzione del moto: $E(t) = \int_{0}^{l(t)} (F-F_d)dl = (F-F_d)l(t) = g \frac{m}{\mu_s}l(t)$, da $a$ si ricava $l(t) = \frac{mg}{2\mu_s(M+m)}t^2$, da cui $E(t) = \frac{m^2g^2}{2\mu_s^2(M+m)}t^2$.
Secondo voi sto commettendo degli errori logici? Come risolvereste questo esercizio?
Ringrazio tutti per l'attenzione.
Risposte
No, mi pare che ci sia un errore nella (2)
Sul blocco M
$N-mu_dMg=Ma$
Sul blocco m
In orizzontale:
$F-N=ma$
In verticale:
$F_a-mg=0$
Con la relazione che
$F_a
da queste ultime 2 risulta:
$mgg/mu_s$
Ora, dalle prime, sostituendo N:
$N=F-ma=F-m(N-mu_dMg)/M$ e quindi:
$F=N+m(N-mu_dMg)/M=(g/mu_s(M+m)-mu_dMg)/M$
Il resto concettualmente mi sembra corretto, ma non ho controllato i conti
Sul blocco M
$N-mu_dMg=Ma$
Sul blocco m
In orizzontale:
$F-N=ma$
In verticale:
$F_a-mg=0$
Con la relazione che
$F_a
da queste ultime 2 risulta:
$mg
Ora, dalle prime, sostituendo N:
$N=F-ma=F-m(N-mu_dMg)/M$ e quindi:
$F=N+m(N-mu_dMg)/M=(g/mu_s(M+m)-mu_dMg)/M$
Il resto concettualmente mi sembra corretto, ma non ho controllato i conti
Ciao! Innanzitutto grazie per la risposta fulminea, vorrei chiederle qualche delucidazione sulle prime due equazioni che ha scritto.. In $N-F_d=Ma$ la $N$ rappresenta la forza che $m$ esercita su $M$, mentre in $F-N=ma$ la $N$ rappresenta la forza che $M$ esercita su $m$, giusto? Come mai in queste due equazioni teniamo conto delle singole masse e non della massa totale del sistema? Ovvero, la massa $m$, subendo una forza tale da non muoversi verticalmente, non è da considerarsi attaccata a $M$? Infine, perché nell'equazione per la forza $F_a$ scriviamo $F_a < \mu_sN$ e non $F_a < \mu_sF$, o comunque non le consideriamo entrambe? Se in questo caso $N$ è la forza che $M$ esercita su $m$, non dovrebbe essere discorde rispetto al verso del moto e quindi tendere a "staccare" le due masse?
"Sabb":
Ciao! Innanzitutto grazie per la risposta fulminea, vorrei chiederle qualche delucidazione sulle prime due equazioni che ha scritto.. In $N-F_d=Ma$ la $N$ rappresenta la forza che $m$ esercita su $M$, mentre in $F-N=ma$ la $N$ rappresenta la forza che $M$ esercita su $m$, giusto? Come mai in queste due equazioni teniamo conto delle singole masse e non della massa totale del sistema?
Perche' e' necessario valutare lo scambio di forze interne per sapere quanto e' l'attrito.
"Sabb":
Ovvero, la massa $m$, subendo una forza tale da non muoversi verticalmente, non è da considerarsi attaccata a $M$?
Si, ma la non e' la forza F a far mantenere la massa in equilibrio sulla verticale. E' la forza d'attrito.
"Sabb":
Infine, perché nell'equazione per la forza $F_a$ scriviamo $F_a < \mu_sN$ e non $F_a < \mu_sF$, o comunque non le consideriamo entrambe? Se in questo caso $N$ è la forza che $M$ esercita su $m$, non dovrebbe essere discorde rispetto al verso del moto e quindi tendere a "staccare" le due masse?
Non devi considerarle entrambe. Devi solo considerare, ai fini del calcolo della forza massima di attrito, la reazione normale al piano di scorrimento. La forza N non tende a staccare come intendi tu. E' solo una forza interna che puo' avere valore minimo 0.
"professorkappa":
La forza N non tende a staccare come intendi tu. E' solo una forza interna che puo' avere valore minimo 0.
Va bene, penso di aver capito gli errori che facevo.. Provo a riscrivere velocemente lo svolgimento:
$m$ non si muove verticalmente finché $\mu_sN_1 >= F_a$, dove $N_1$ è la reazione che $M$ esercita su $m$, uguale, per il 3° principio, alla reazione $N_2$ che $m$ esercita su $M$, si scrive $N:= N_1=N_2$ (non sono sicuro che questa osservazione sia corretta, ma evidentemente queste due reazioni devono essere uguali, no?). In questo caso $F_a-P_2=0 \Rightarrow F_a = mg$, da cui $\mu_sN >= mg \Rightarrow N >= \frac{mg}{\mu_s}$, che è la reazione che deve esercitare $M$ su $m$ per evitare il moto relativo tra i due.
L'equazione di moto per $M$ è $N-F_d=Ma$, quindi $N-\mu_dMg=Ma \Rightarrow a = \frac{N}{M} - \mu_dg$, mentre l'equazione di moto orizzontale per $m$ è $F-N=ma$ da cui $F=N-N\frac{m}{M} - \mu_dmg = N(1+\frac{m}{M})-\mu_dmg$.
Il valore minimo di $F$ si ha per $N_{min}=\frac{mg}{\mu_s}$, cioè: $F_{min}= \frac{mg}{\mu_s}(1+\frac{m}{M})-\mu_dmg$, in questo caso $a=g(\frac{m}{\mu_sM}-\mu_d)$, mentre $N=\frac{mg}{\mu_s}$ e $F_d=\mu_dMg$.
Per quanto riguarda la domanda sull'energia:
$E(t) = -\DeltaK = L_{NC} = \int_{0}^{l(t)} F_{NC}dl = \int_{0}^{l(t)} (F-F_d)dl = (F-F_d)l(t)$
Da $a= g(\frac{m}{\mu_sM} -\mu_d)$ si ricava $l(t) = \frac{1}{2}g(\frac{m}{\mu_sM} -\mu_d)t^2$, da cui, sostituendo:
$E(t)=(F-F_d)l(t) = (\frac{mg}{\mu_s}(1+\frac{m}{M})-\mu_dmg-\mu_dMg)*\frac{1}{2}g(\frac{m}{\mu_sM} -\mu_d)t^2$
cioè: $E(t)=\frac{1}{2}g^2(\frac{m}{\mu_s}(1+\frac{m}{M})-\mu_d(m+M))(\frac{m}{\mu_sM}-\mu_d)t^2$
Può andare bene in questo modo? Non ho i risultati e non ho neanche svolto i calcoli numerici, vorrei solo capire se sto ragionando bene su questo tipo di problemi dinamici.. Comunque grazie mille per le risposte!
Si, va tutto bene.
Nota che l'accelerazione la puoi ricavare anche da $a=(F-F_d)/(M+m)$. A prima vista sembra immediata, ma ricorda che comunque F e' incognita perche' deve avere il famoso valore minimo per far si che m non scivoli verso il basso. Quindi non semplifichi granche' il sistema di equazioni, ma lo scrivo solo per completezza
Nota che l'accelerazione la puoi ricavare anche da $a=(F-F_d)/(M+m)$. A prima vista sembra immediata, ma ricorda che comunque F e' incognita perche' deve avere il famoso valore minimo per far si che m non scivoli verso il basso. Quindi non semplifichi granche' il sistema di equazioni, ma lo scrivo solo per completezza
Perfetto, grazie mille per la chiarezza e la disponibilità. Come ultima osservazione, l’energia dissipata poteva essere calcolata direttamente dalla variazione di energia cinetica:
$E(t) = K(t) - K_i$, dato che il sistema parte da fermo $E(t) = K(t) = \frac{1}{2}(M+m)v^2(t) = \frac{1}{2}(M+m)a^2t^2$. Quindi $E(t) = \frac{1}{2}g^2t^2(M+m)(\frac{m}{\mu_sM} - \mu_d)^2$ che è uguale a quanto trovato dal calcolo del lavoro. Grazie ancora!
$E(t) = K(t) - K_i$, dato che il sistema parte da fermo $E(t) = K(t) = \frac{1}{2}(M+m)v^2(t) = \frac{1}{2}(M+m)a^2t^2$. Quindi $E(t) = \frac{1}{2}g^2t^2(M+m)(\frac{m}{\mu_sM} - \mu_d)^2$ che è uguale a quanto trovato dal calcolo del lavoro. Grazie ancora!
Ciao professorkappa. Devi aver commesso una svista. Per il principio di azione e reazione, non:
ma:
Il risultato finale dovrebbe essere:
$N-\mu_dMg=Ma$
ma:
$N-\mu_d(M+m)g=Ma$
Il risultato finale dovrebbe essere:
$F gt= (1-\mu_s\mu_d)/\mu_s(m(M+m))/Mg$
Orca miseria, hai ragione, che svista brutta. Grazie mille della segnalazione.
Ok questo mi ha confuso un pò 
, a quanto ho capito l'equazione di moto per la massa $m$ è $F-N=ma$, mentre per la massa $M$ è $N-F_d=Ma$, giusto?
Questo significa che la forza di attrito dinamico è $F_d = \mu_d(M+m)g$, e quindi dobbiamo considerare entrambe le masse?
Se sì, perché? Mi spiego, sto interpretando la forza di attrito dinamico che agisce su $M$ come una forza proporzionale alla forza peso che agisce su $M$ stesso, cioè $F_d \propto P_M = Mg$, mi verrebbe quindi da dire che $F_d = \mu_dMg$, dove sto sbagliando?
Come mai è così ovvio?
Cosa mi sto perdendo?
Vi ringrazio entrambi, mi state davvero aiutando tantissimo!
, a quanto ho capito l'equazione di moto per la massa $m$ è $F-N=ma$, mentre per la massa $M$ è $N-F_d=Ma$, giusto? "anonymous_0b37e9":
Per il principio di azione e reazione, non:
$N-\mu_dMg=Ma$
ma:
$N-\mu_d(M+m)g=Ma$
Questo significa che la forza di attrito dinamico è $F_d = \mu_d(M+m)g$, e quindi dobbiamo considerare entrambe le masse?
Se sì, perché? Mi spiego, sto interpretando la forza di attrito dinamico che agisce su $M$ come una forza proporzionale alla forza peso che agisce su $M$ stesso, cioè $F_d \propto P_M = Mg$, mi verrebbe quindi da dire che $F_d = \mu_dMg$, dove sto sbagliando?
"professorkappa":
Orca miseria, hai ragione, che svista brutta.
Come mai è così ovvio?
Cosa mi sto perdendo?Vi ringrazio entrambi, mi state davvero aiutando tantissimo!
"Sabb":
... la forza di attrito dinamico è $F_d = \mu_d(M+m)g$ ...
La forza di attrito statico è interna al sistema costituito dalle due masse. Mentre $M$ esercita su $m$ una forza $mg$ diretta verso l'alto, per il principio di azione e reazione $m$ esercita su $M$ la stessa forza diretta verso il basso. In definitiva, la reazione vincolare diretta verso l'alto esercitata dal piano orizzontale su $M$ è $(M+m)g$.
sto interpretando
Non c'è nulla da interptretare, la forza d'attrito è proporzionale alla forza normale agente sulla superficie di contatto, la massa M e la massa m si scambiano una forza d'attrito statico verticale pari a mg (più precisamente M spinge verso l'alto m, mentre m spinge verso il basso M). Inoltre è chiaro che se hai due masse M e m, il loro peso si deve scaricare al suolo, in qualsiasi modo M e m siano connesse tra loro.
"anonymous_0b37e9":
La forza di attrito statico è interna al sistema costituito dalle due masse. Mentre M esercita su m una forza mg diretta verso l'alto, per il principio di azione e reazione m esercita su M la stessa forza diretta verso il basso. In definitiva, la reazione vincolare diretta verso l'alto esercitata dal piano orizzontale su M è (M+m)g.
Ok! Dato che $F_a$ è una forza interna al sistema delle due masse ed esercitata da $M$ su $m$ verso l'alto per il principio di azione e reazione anche $m$ eserciterà la stessa forza su $M$ ma diretta verso il basso, quindi la reazione esercitata dal suolo è $R = Mg + F_a = g(M+m)$ e quindi $F_d = \mu_dR= \mu_dg(M+m)$.
"Vulplasir":
Inoltre è chiaro che se hai due masse M e m, il loro peso si deve scaricare al suolo, in qualsiasi modo M e m siano connesse tra loro.
Si, è vero, anche questo mi torna..
(Non l'avevo proprio considerato )Grazie mille a tutti, siete stati di grande aiuto!
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