Problema di dinamica...
Un corpo di massa $m=10 Kg$ è posto sulla cima di un piano con altezza $h=10 m$ e inclinato di $30°$ rispetto all'orizzonte. Una volta percorso tutto il piano inclinato il corpo prosegue per una distanza $D=10 m$, dopo di che urta con una molla di costante elastica $k=10 N/m$. Il coefficiente di attrito è $mu_d=1/(2*sqrt 3)$.
Determinare
1) L'altezza $h'$ a cui risale il punto materiale dopo l'urto con la molla.
2) Il tempo totale in cui il corpo partendo dalla quota $h$, raggiunge la quota $h'$.
Per quanto riguarda il secondo punto credo di riuscire a farlo, ma non senza prima aver risolto il primo...
Non posso applicare la conservazione dell'energia perchè c'è attrito. Non saprei nemmeno come applicare la conservazione della quantità di moto...
Non so come procedere... Riesco a calcolare la velocità del corpo prima dell'urto, ma non so come servirmene.. Suggerimenti?
Determinare
1) L'altezza $h'$ a cui risale il punto materiale dopo l'urto con la molla.
2) Il tempo totale in cui il corpo partendo dalla quota $h$, raggiunge la quota $h'$.
Per quanto riguarda il secondo punto credo di riuscire a farlo, ma non senza prima aver risolto il primo...
Non posso applicare la conservazione dell'energia perchè c'è attrito. Non saprei nemmeno come applicare la conservazione della quantità di moto...
Non so come procedere... Riesco a calcolare la velocità del corpo prima dell'urto, ma non so come servirmene.. Suggerimenti?
Risposte
Hai coefficiente di attrito e massa, oltre che l'altezza e l'angolo, quindi puoi trovare quanta energia va dispersa in forza d'attrito durante il percorso, cioè:
$ L(a)= mg * (coeff.a) * s $
s=spostamento
a=attrito
$ L(a)= mg * (coeff.a) * s $
s=spostamento
a=attrito
Mi manca qualcosa..
Allora, inizialmente (punto A) il corpo possiede solo energia cinetica quindi $E_a=mgy_a=10 Kg*9,8 m/s^2*10 m=980 J$
Nel piano inclinato il corpo percorre $h/(sen30°)=20m$ e mentre scende dal piano inclinato se scelgo un riferimento in cui l'asse y è perpendicolare a tale piano ottengo che la forza di attrito $F_a=mu_dmg*cos30°$, quindi l'energia che si disperde sul piano inclinato è $L(F_a)=F_a*20m*cos180°=mu_dmg*cos30°*20m*cos180°=-490 J$
Nella seconda parte del percorso il corpo prosegue su un piano orizzontale per una distanza $D=10m$ prima di urtare la molla, quindi $F_a=mu_dmg$, quindi l'energia dispersa in questa parte del percorso è $L(F_a)=F_a*10m*cos180°=mu_dmg*10m*cos180°=-282,90 J$.
In definitiva l'energia che possiede il corpo prima di urtare la molla è $980 J - 490 J - 282,90 J = 207,10 J$ ?
Come proseguo adesso? Non conosco la compressione della molla e non posso servirmi della conservazione dell'energia per trovarla, sempre per via della forza di attrito...
Sto sbagliando qualcosa nel ragionamento?
Allora, inizialmente (punto A) il corpo possiede solo energia cinetica quindi $E_a=mgy_a=10 Kg*9,8 m/s^2*10 m=980 J$
Nel piano inclinato il corpo percorre $h/(sen30°)=20m$ e mentre scende dal piano inclinato se scelgo un riferimento in cui l'asse y è perpendicolare a tale piano ottengo che la forza di attrito $F_a=mu_dmg*cos30°$, quindi l'energia che si disperde sul piano inclinato è $L(F_a)=F_a*20m*cos180°=mu_dmg*cos30°*20m*cos180°=-490 J$
Nella seconda parte del percorso il corpo prosegue su un piano orizzontale per una distanza $D=10m$ prima di urtare la molla, quindi $F_a=mu_dmg$, quindi l'energia dispersa in questa parte del percorso è $L(F_a)=F_a*10m*cos180°=mu_dmg*10m*cos180°=-282,90 J$.
In definitiva l'energia che possiede il corpo prima di urtare la molla è $980 J - 490 J - 282,90 J = 207,10 J$ ?
Come proseguo adesso? Non conosco la compressione della molla e non posso servirmi della conservazione dell'energia per trovarla, sempre per via della forza di attrito...
Sto sbagliando qualcosa nel ragionamento?
Se indico con x la compresione della molla, una volta che la molla sarà compressa l'energia meccanica sarà data da
$207,10 J - F_a*x=1/2*k*x^2$
risolvendo rispetto ad $x$ ottengo $x=4,2 m$.
Qui mi blocco di nuovo...
Nel momento in cui la molla è compressa l'energia meccanica è data da $1/2*k*x^2=88,20 J$.
Da qui ora il blocco torna sui suoi passi, sempre disperdendo energia per via della forza di attrito. Prima di risalire lungo il pino inclinato deve ripercorrere i $4,2m$ di decompressione della molla e i $10 m$ di prima, quindi in totale $14,2m$. Già solo percorrendo questa parte disperde in attrito $F_a*14,2m*cos 180° =mu_d*m*g*14,2m*cos180°=-401,7J$, molto più degli $88,20J$ con cui era partito... quindi cosa sbaglio?
Grazie
$207,10 J - F_a*x=1/2*k*x^2$
risolvendo rispetto ad $x$ ottengo $x=4,2 m$.
Qui mi blocco di nuovo...
Nel momento in cui la molla è compressa l'energia meccanica è data da $1/2*k*x^2=88,20 J$.
Da qui ora il blocco torna sui suoi passi, sempre disperdendo energia per via della forza di attrito. Prima di risalire lungo il pino inclinato deve ripercorrere i $4,2m$ di decompressione della molla e i $10 m$ di prima, quindi in totale $14,2m$. Già solo percorrendo questa parte disperde in attrito $F_a*14,2m*cos 180° =mu_d*m*g*14,2m*cos180°=-401,7J$, molto più degli $88,20J$ con cui era partito... quindi cosa sbaglio?
Grazie
manuxy84:
Se indico con x ...
Tratto in discesa fino alla totale compressione della molla.
Parte dell'energia potenziale posseduta dalla massa viene trasferita in energia di compressione della molla e parte di energia viene dispersa per lavoro dell'attrito.
m*g*h = 1/2 * K* x² + mu*m*g*cos(30)*L + mu*m*g*(D+x)
dove ho indicato con L = 2*h la lunghezza del piano inclinato.
da questa mi posso ricavare la massima compressione x della molla.
Tratto di ritorno.
L'energia potenziale accumulata dalla molla viene trasferita in energia potenziale della massa nella sua posizione ad altezza h' e lavoro disperso per attrito
1/2*k*x² = m*g*h' + mu*m*g*cos(30)*L' + mu*m*g*(D+x)
in cui L' = 2*h' è il tratto inclinato fino alla quota h'
In questa l'unica incognitaè proprio h' dato che x la abbiamo rivatata precedentemente.
ciao
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