Problema di dinamica .

[hp6110nokia]

Una persona si butta da un elicottero in volo . Calcolare l'equazione della velocità della persona senza trascurare l'attrito dell'aria . Si ponga che la forza di attrito esercita dall'aria sia uguale a -bV, dove V è la velocità del corpo in caduto . Si ponga come M la massa del corpo . Tante grazie a chi sarà capace di risolvere questo problema .

[strangolatoremancino]

credo che sia un equazione differenziale o qualcosa del genere , arrivo a scrivere che l'accelerazione a cui è sottoposto l'uomo è

$a=g - b/M*V$

le uniche equazioni differenziali che ho visto erano riferite ai circuiti RL e RC, infatti mi sembra ci sia un analogia tra questi e il problema. Ci provo comunque. Intanto vediamo l'accelerazione come la derivata della velocità rispetto al tempo

$(dV)/dt=g - b/M*V$ raccogliamo a secondo membro $-b/M$

$(dV)/dt=-b/M(V-gM/b)$ dividiamo per $(V-gM/b)$ e moltiplichiamo per $dt$


$(dV)/(V-gM/b)=-b/M * dt$ integriamo entrambi i membri

$int(1/(V-gM/b)) dV=int(-b/M) dt$ otteniamo

$ln (V - gM/b)=-b/M*t + k$ ovvero

$e^(-b/M*t+k)=V-gM/b$ cioè $e^(-b/M*t)*e^k=V-gM/b$

per trovare il valore di $e^k$ sappiamo che quando $t=0$ anche $V$ è uguale a zero, quindi sostiutendo otteniamo

$e^k=-gM/b$ che sostituiamo sopra

$e^(-b/M*t)*(-gM/b)=V-gM/b$ esplicitanto $V$ e raccogliendo si ottiene

$V=gM/b(1-e^(-b/M*t))$

la costante $M/b$ ha le dimensioni di un tempo, e immagino si possa definire una costante di tempo, tipo la quantità $L/R$ nei circuiti RL. Infatti pensansando al grafico della corrente $i$ in funzione del tempo, si vede che la curva tende asintoticamente a un valore di regime per $t$ che tende all'infinito.

In questo caso il corpo in caduta tende a raggiungere una velocità di regime, data dalla quantità $gM/b$, cioè quando la forza peso $Mg$ uguaglia la forza di attrito $bV$, in modo che la risultante delle forze sia zero e il corpo si muova a velocità con ottima approsimazione costante, perchè come già detto $V=gM/b$ è asintoto orizzontale della funzione

Ho paura di aver fatto un casino immenso, se è così mi spiace se qualcuno potesse confermare o correggere gliene sarei grato

[hp6110nokia]

avvero grazie per la risoluzione dell'equazione differenziale . Purtroppo era proprio lì che non riuscivo ad andare avanti .Mentre avevo perfettamente inteso il problema meramente fisico .