Problema di dinamica
Salve a tutti, avrei bisogno di definire la forza trasmessa al supporto dall'oscillatore in figura utilizzando i diagrammi di corpo libero. lo spostamento della massa accessoria m1 è legato a quello della massa m tramite y=a*x-(a-1)*w dove a è il rapporto tra i bracci l1 ed l2. C'è qualcuno che può aiutarmi? Grazie in anticipo.
Risposte
Forse mi sfugge qualcosa.... il testo preciso non lo hai? Comunque io approccerei cosi:
Introdotta la coordinata ausiliaria $theta$ (angolo di rotazione della sbarra che regge la massa aggiuntiva $m_1$ rispetto all'orizzontale, le relazioni cinematiche si scrivono:
$x=w+l_2theta$
$y=l_1theta$
A questo punto spezza il sistema: sulla massa m, in verticale, agisce la reazione interna (chiamiamola $R_1$) della stecchetta collegata alla sbarra orizzontale, piu' la forza della molla.
Sull'asta orizzontale, la stessa reazione $R_1$, il peso della massa $m_1g$ e la reazione $R_2$ dell'asticella verticale ancorata al supporto.
Scrivi l'equilibrio dinamico ai momenti rispetto al fulcro: $R_1l_2-m_1gl_1=m_1l_1^2ddottheta$
L'equilibrio dinamico della massa m e' $-R_1-k(w+l_2theta)=ml_2ddottheta$
(questo sistema presuppone che l'asta orizzontale non abbia massa e il baricentro sia concentrato nella massa $m_1$)
A questo punto dal sistema puoi ricavare $R_1$ e $theta$,
Poi ricavi $R_2$ da
$R_1+R_2-m_1g=m_1l_1ddottheta$
La reazione del supporto e' data da $R_2$ (ora nota) e $kx$.
In orizzontale dovresti tenere conto che la massa e' sottoposta a forza centrifuga, ma forse, in questo caso e in prima approssimazione, si puo' trascurare. E' anche quello pero' un modo di fare palestra e ti consiglierei di provare e postare il tentativo.
A meno che non abbia frainteso l'esercizio...ovviamente!
Introdotta la coordinata ausiliaria $theta$ (angolo di rotazione della sbarra che regge la massa aggiuntiva $m_1$ rispetto all'orizzontale, le relazioni cinematiche si scrivono:
$x=w+l_2theta$
$y=l_1theta$
A questo punto spezza il sistema: sulla massa m, in verticale, agisce la reazione interna (chiamiamola $R_1$) della stecchetta collegata alla sbarra orizzontale, piu' la forza della molla.
Sull'asta orizzontale, la stessa reazione $R_1$, il peso della massa $m_1g$ e la reazione $R_2$ dell'asticella verticale ancorata al supporto.
Scrivi l'equilibrio dinamico ai momenti rispetto al fulcro: $R_1l_2-m_1gl_1=m_1l_1^2ddottheta$
L'equilibrio dinamico della massa m e' $-R_1-k(w+l_2theta)=ml_2ddottheta$
(questo sistema presuppone che l'asta orizzontale non abbia massa e il baricentro sia concentrato nella massa $m_1$)
A questo punto dal sistema puoi ricavare $R_1$ e $theta$,
Poi ricavi $R_2$ da
$R_1+R_2-m_1g=m_1l_1ddottheta$
La reazione del supporto e' data da $R_2$ (ora nota) e $kx$.
In orizzontale dovresti tenere conto che la massa e' sottoposta a forza centrifuga, ma forse, in questo caso e in prima approssimazione, si puo' trascurare. E' anche quello pero' un modo di fare palestra e ti consiglierei di provare e postare il tentativo.
A meno che non abbia frainteso l'esercizio...ovviamente!
Grazie per la risposta, in realtà un testo vero e proprio non c'è mi serve questa informazione per un lavoro di tesi. Gli unici dati che ho a disposizione sono: la figura e la relazione che lega gli spostamenti delle due masse $ y=alpha x-(1-alpha )w $. Comunque il ragionamento non mi torna, mi sembra che manchino dei pedici alle masse, se volessi ragionare senza introdurre l'angolo di rotazione? Sarebbe possibile ragionare solo in termini di x e y a partire dalla relazione che lega i due spostamenti?
Cosa intendi "mancano pedici alle masse?"
E si, certo che puoi ragionare in termini di x e y. E' solo piu complicato (almeno per me). Usando $theta $, la x e la y si trovato facilmente fallen prime 2 relazioni che ho scritto .
E si, certo che puoi ragionare in termini di x e y. E' solo piu complicato (almeno per me). Usando $theta $, la x e la y si trovato facilmente fallen prime 2 relazioni che ho scritto .
Nell'equilibrio dinamico dei momenti rispetto al fulcro non dovrebbe comparire la massa m1? Inoltre le relazioni cinematiche non dovrebbero essere $ x=w+l2vartheta $ $ y=w+l1vartheta $?
Si, ho corretto, mi era saltato il pedice 1 per la massa della sbarra.
No, la relazione per x e' corretta, ma quella per y non tiene conto di w, perche lo zero-y e' ad altezza w. Se conti le y dal supporto, allora y e' come la scrivi tu. Ma in figura sembra che conti le y a partire dalla quota w.
No, la relazione per x e' corretta, ma quella per y non tiene conto di w, perche lo zero-y e' ad altezza w. Se conti le y dal supporto, allora y e' come la scrivi tu. Ma in figura sembra che conti le y a partire dalla quota w.
In realtà w non è una quota ma uno spostamento impresso alla base del sistema, con le relazioni che hai scritto non risulta soddisfatta la relazione di congruenza tra le due masse $ y=alpha x-(alpha -1)w $ con $alpha=(l1)/(l2) $
Beh, forse a dirlo prima, anziche postare la figura senza spiegazioni, aspettandosi che io immaginassi che era uno spostamento e non la lunghezza dell'asta, mi risparmiavi tempo e fatica.
Saluti
Saluti
Pensavo si capisse dalla figura x, y e w sono rappresentati alla stessa maniera. Comunque ti ringrazio per il tempo speso ad aiutarmi.
Si, anche m e k, pero', sono scritti con la stessa notazione.
Comunque diventa un sistema a 2 gdl. Io continuerei ad usare $theta$ come parametro, e da qui scriverei
$y=w+l_1theta$ e $x=w+l_2theta$.
La forza della molla e' $-k(x-w)=-kl_2theta$
Quindi le eq. dinamiche sono 3:
Traslazione di m
$-kl_2theta+R_1=ml_2ddottheta$
Traslazione di $m_1$
$R_b-R_1-m_1g=m_1(ddotw+l_1ddottheta)$
e rotazione di $m_1$:
$-R_1l_2-m_1gl_1=m_1l_1^2ddottheta$
la quarta equazione mancante e' l'eq. din. del basamento che, nell'ipotesi che abbia massa M, si scrive:
$kl_2theta-R_b=Mddotw$ (A meno che tu non conosca $w(t)$), nel qual caso non ti serve una quarta equazione.
Sistema di 4 eq. nelle incognite $R_1$ $R_b$, $w$ e $theta$ da risolvere per trovare $R_b$ e $kl_2theta$ applicate al basamento.
Comunque diventa un sistema a 2 gdl. Io continuerei ad usare $theta$ come parametro, e da qui scriverei
$y=w+l_1theta$ e $x=w+l_2theta$.
La forza della molla e' $-k(x-w)=-kl_2theta$
Quindi le eq. dinamiche sono 3:
Traslazione di m
$-kl_2theta+R_1=ml_2ddottheta$
Traslazione di $m_1$
$R_b-R_1-m_1g=m_1(ddotw+l_1ddottheta)$
e rotazione di $m_1$:
$-R_1l_2-m_1gl_1=m_1l_1^2ddottheta$
la quarta equazione mancante e' l'eq. din. del basamento che, nell'ipotesi che abbia massa M, si scrive:
$kl_2theta-R_b=Mddotw$ (A meno che tu non conosca $w(t)$), nel qual caso non ti serve una quarta equazione.
Sistema di 4 eq. nelle incognite $R_1$ $R_b$, $w$ e $theta$ da risolvere per trovare $R_b$ e $kl_2theta$ applicate al basamento.
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