Problema di dinamica
Ho passato la prova scritta e fra pochi giorni avrò l'orale 
Nel compito c'era un esercizio che ho sicuramente sbagliato. Potreste darmi una mano? Temo che possa richiedermelo all'orale e non saprei risolverlo.
TESTO: Un punto materiale di massa m si trova su un piano orizzontale senza attrito ed è collegato, tramite un filo inestensibile, di massa trascurabile passante per un foro $O$ praticato nel piano, ad un corpo di massa $M$ posto ad di sotto del piano sopra la verticale passante per $O$, come mostrato in figura. Inizialmente il corpo di massa $M$ è in quiete mentre il copro di massa $m$ si muove di moto circolare uniforme rimanendo a distanza $d$ dal centro $O$.
Calcolare la velocità del corpo di massa $m$.
Ad un certo istante si applica al corpo di massa $m$ un impulso istantaneo $J$ diretto perpendicolarmente al filo e nello stesso verso della velocità $m$. Si osserva che successivamente il copro di massa $M$ si alza di un tratto pari ad $h$.Calcolare il modulo dell'impuslo $J$.
_____________
Il primo quesito è semplice, si risolve eguagliando la forza peso della peso della massa $M$ con la forza centripeta agente sulla massa $m$. Il problema è quello che viene dopo. Dopo l'impulso si conservano sia il momento angolare rispetto ad $O$ che l'energia meccanica. Tuttavia chi mi dice che dopo che $M$ è salita di $h$, essa resta ferma? Inoltre dal problema suppongo che la posizione finale sia una posizione di equilibrio (instabile?).
Nel compito c'era un esercizio che ho sicuramente sbagliato. Potreste darmi una mano? Temo che possa richiedermelo all'orale e non saprei risolverlo.
TESTO: Un punto materiale di massa m si trova su un piano orizzontale senza attrito ed è collegato, tramite un filo inestensibile, di massa trascurabile passante per un foro $O$ praticato nel piano, ad un corpo di massa $M$ posto ad di sotto del piano sopra la verticale passante per $O$, come mostrato in figura. Inizialmente il corpo di massa $M$ è in quiete mentre il copro di massa $m$ si muove di moto circolare uniforme rimanendo a distanza $d$ dal centro $O$.
Calcolare la velocità del corpo di massa $m$.
Ad un certo istante si applica al corpo di massa $m$ un impulso istantaneo $J$ diretto perpendicolarmente al filo e nello stesso verso della velocità $m$. Si osserva che successivamente il copro di massa $M$ si alza di un tratto pari ad $h$.Calcolare il modulo dell'impuslo $J$.
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Il primo quesito è semplice, si risolve eguagliando la forza peso della peso della massa $M$ con la forza centripeta agente sulla massa $m$. Il problema è quello che viene dopo. Dopo l'impulso si conservano sia il momento angolare rispetto ad $O$ che l'energia meccanica. Tuttavia chi mi dice che dopo che $M$ è salita di $h$, essa resta ferma? Inoltre dal problema suppongo che la posizione finale sia una posizione di equilibrio (instabile?).
Risposte
Il momento angolare di $m$ dopo l'applicazione dell'impulso vale $d(J+sqrt(mMgd))$.
Conservando l'energia meccanica:
$1/2mv^2+Mgh=1/(2m)(J+sqrt(mMgd))^2$
Conservando il momento angolare:
$mv(d+h)=d(J+sqrt(mMgd))$
A questo punto, hai un sistema di due equazioni nelle due incognite $v$ e $J$.
Osservando che, quando la distanza di $m$ da O è massima, la velocità è perpendicolare al raggio, puoi risolvere il problema senza preoccuparti troppo del moto effettivo. In ogni modo, ho ricavato l'equazione del moto in coordinate polari, ma essa non mi sembra integrabile in modo elementare.
Conservando l'energia meccanica:
$1/2mv^2+Mgh=1/(2m)(J+sqrt(mMgd))^2$
Conservando il momento angolare:
$mv(d+h)=d(J+sqrt(mMgd))$
A questo punto, hai un sistema di due equazioni nelle due incognite $v$ e $J$.
"DonkeyShot93":
Tuttavia chi mi dice che...
Osservando che, quando la distanza di $m$ da O è massima, la velocità è perpendicolare al raggio, puoi risolvere il problema senza preoccuparti troppo del moto effettivo. In ogni modo, ho ricavato l'equazione del moto in coordinate polari, ma essa non mi sembra integrabile in modo elementare.
"DonkeyShot93":
Ho passato la prova scritta e fra pochi giorni avrò l'orale
Nel compito c'era un esercizio che ho sicuramente sbagliato. Potreste darmi una mano? Temo che possa richiedermelo all'orale e non saprei risolverlo.
Capisco la situazione (vissuta in prima persona proprio con la stessa faccia del tuo avatar), ma ti chiedo lo stesso di togliere le parole aiuto e urgente dal titolo, sono vientate dal regolamento.
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