Problema di dinamica

[Stefano931]

Vi propongo un problema di dinamica con la mia soluzione per chiedervi conferma della sua esattezza o segnalarmi eventuali errori o mancanze.

Un proiettiledi massa m si muove orizzontalmente con velo0cità v ed attraversa un piccolo blocchetto di legno di massa M, sospeso verticalmente ad un piolo mediante un filo di lungezza l, fuoriuscendone con velocità dimezzata (sempre orizzontale).
Si calcoli il minimo valore di v tale che il blocchetto, inizialmente fermo, possa compiere un giro completo lungo la circonferenza di raggio l.

Ecco la mia proposta di soluzione.

Applico la conservazione del momento angolare per ricavare la velocità angolare iniziale [tex]\omega[/tex] del blocchetto subito dopo l'urto:

[tex]\LARGE mlv=I\omega+ml\frac{v}{2}[/tex]
[tex]\LARGE mlv=Ml^{2}\omega+ml\frac{v}{2}[/tex]
[tex]\LARGE \omega=\frac{mv-\frac{mv}{2}}{Ml}[/tex]
[tex]\LARGE \omega=\frac{mv}{2lM}[/tex]

Ora mioccupo solo del blocchetto di legno e, conservando l'energia, impogo che esso giunga ad altezza [tex]\large 2l[/tex]
con velocità angolare [tex]\large \omega'[/tex]

[tex]\LARGE \frac{1}{2}MI\omega^{2}=2Mgl+\frac{1}{2}\omega'^{2}[/tex]
[tex]\LARGE \frac{1}{2}Ml^{2}\omega^{2}=2Mgl+\frac{1}{2}Ml^{2}\omega'^{2}[/tex]
[tex]\LARGE l\omega^{2}=4g+l\omega'^{2}[/tex]
[tex]\LARGE \omega'^{2}=\frac{l\omega^{2}-4g}{l}[/tex]

Ora, per far si che il blocchetto continui a girare, impongo che nel punto più alto della traiettoria, cioè quando ha la velocità angolare [tex]\large \omega'[/tex] appena ricavata, si abbia:

[tex]\LARGE \omega'^{2}lM>Mg[/tex]
[tex]\LARGE \omega'^{2}>\frac{g}{l}[/tex]

Sostituendo

[tex]\LARGE \frac{l\omega^{2}-4g}{l}>\frac{g}{l}[/tex]
[tex]\LARGE l\omega^{2}>5g[/tex]

Sostituendo nuovamente

[tex]\LARGE l\frac{m^{2}v^{2}}{4Ml^{2}}>5g[/tex]

Da cui si ottiene il valore cercato

[tex]\LARGE v>2\frac{M}{m}\sqrt{5gl}[/tex]

Che ne dite?

[Sk_Anonymous]

"Stefano93":Vi propongo un problema di dinamica con la mia soluzione per chiedervi conferma della sua esattezza o segnalarmi eventuali errori o mancanze.

Un proiettiledi massa m si muove orizzontalmente con velo0cità v ed attraversa un piccolo blocchetto di legno di massa M, sospeso verticalmente ad un piolo mediante un filo di lungezza l, fuoriuscendone con velocità dimezzata (sempre orizzontale).
Si calcoli il minimo valore di v tale che il blocchetto, inizialmente fermo, possa compiere un giro completo lungo la circonferenza di raggio l.

Ecco la mia proposta di soluzione.

Applico la conservazione del momento angolare per ricavare la velocità angolare iniziale \( \omega \) del blocchetto subito dopo l'urto:

\( \LARGE mlv=I\omega+ml\frac{v}{2} \)
\( \LARGE mlv=Ml^{2}\omega+ml\frac{v}{2} \)
\( \LARGE \omega=\frac{mv-\frac{mv}{2}}{Ml} \)
\( \LARGE \omega=\frac{mv}{2lM} \)

Fin qui tutto ok. Ora io farei più semplicemente. Il blocchetto appeso al filo ha, nella posizione iniziale $O$ di partenza, che è il punto più basso della circonferenza, una velocità angolare $\omega$ (appena calcolata) e quindi una velocità periferica $v_0 = \omegal$. Perciò ha un'energia cinetica iniziale : $E_0 = 1/2Mv_0^2$. Ruotando, l'energia cinetica iniziale si trasforma man mano in " cinetica più potenziale", e nel punto più alto $P$ della circonferenza sarà quindi verificata l'uguaglianza :

$1/2Mv_0^2 = 1/2Mv_P^2 + Mg*2l$

da cui : $ v_0^2 = v_P^2 + 4gl$

Ora, affinchè il blocchetto arrivi in $P$ senza che il filo che lo tiene si afflosci prima (cioè, il filo deve esercitare sempre la forza centripeta sul blocco, quindi l'accelerazione centrifuga agente sul blocco in rotazione deve risultare di modulo maggiore di $g$ ), occorre che sia soddisfatta la condizione seguente :

$v_P^2/l>=g $ , da cui : $ v_P^2 >= gl$

Introducendo questa condizione nella precedente relazione per $v_0$ , deve essere:

$v_0^2 >= gl + 4gl = 5gl$

e cioè : $v_0 >= sqrt(5gl)$

( il valore da te trovato $sqrt(5gl)$ è correttissimo)

Ora, noto il minimo valore di $v_0$ (basta mettere il segno $=$ nella precedente), si deve fare il camino a ritroso per calcolare la velocità del proiettile.

Il tuo calcolo è più elaborato, ma comunque giusto. (Però mi sembra che ci sia qualche errore di scrittura nelle formule, forse ricopiando dagli appunti hai digitato male.Controlla).

[Stefano931]

Quindi la mia soluzione dovrebbe essere corretta...ero un po' in ansia perchè questo era un probblema dell' esame di fisica che ho fatto ieri e non riuscivo ad aspettare una settimana per sapere se avevo sbagliato quel problema.