Problema di cinematica

[AnalisiZero]

Ciao,

Per proteggere il suo cibo dagli orsi affamati, un boy scout solleva il suo pacco viveri, di massa
$m$, con una fune passata attraverso un ramo di albero di altezza $h$ al di sopra delle sue mani. Si
allontana dalla corda verticale con la velocità costante $v0$ tenendo in mano l’estremità libera della
corda.
Mostrare che la velocità del pacco è...
dove x è la distanza da cui si è allontanato dalla verticale.
b) Mostrare che l’accelerazione del pacco è...
c) Quali valori hanno accelerazione e velocità dopo che
il boy scout si è discostato dalla verticale?
d) A quali valori tendono velocità ed accelerazione quando la distanza x continua ad
aumentare?
Non riporto i valori da verificare, perché il punto è che vorrei capire perché la palla sale con accelerazione totale non nulla! Il boy scout si muove con velocità costante...

[AnalisiZero]

Devo dimostrare che la formula per la velocità è:
$x(x^2+h^2)^(-1/2)*v0$
E quella per l'accelerazione è:
$h^2(h^2+x^2)^(-3/2)*v0^2$
Ho capito che devo sfruttare il triangolo che si forma tra fune, distanza orizzontale e altezza del pacco, ma non so arrivare a una identità..

[mgrau]

Devi solo riuscire ad esprimere l'altezza del pacco in funzione dello scostamento orizzontale $x$. Pensa che l'altezza del pacco è qualcosa come la lunghezza della corda meno l'ipotenusa del triangolo; e che l'ipotenusa del triangolo non è una funzione lineare di $x$. Quando $x$ diventa molto grande una variazione di $x$ tende a produrre una uguale variazione di altezza (risposta d) mentre inizialmente al variare di $x$ l'altezza non varia.
Poi per trovare velocità e accelerazione basta che derivi questa espressione una o due volte rispetto al tempo. Siccome la dipendenza dell'altezza da $x$ non è lineare, segue subito che la derivata - la velocità del pacco - non è costante. E' inizialmente zero, e tende a $v_0$

[professorkappa]

"mgrau":Devi solo riuscire ad esprimere l'altezza del pacco in funzione dello scostamento orizzontale $x$. Pensa che l'altezza del pacco è qualcosa come la lunghezza della corda meno l'ipotenusa del triangolo; e che l'ipotenusa del triangolo non è una funzione lineare di $x$. Quando $x$ diventa molto grande una variazione di $x$ tende a produrre una uguale variazione di altezza (risposta d) mentre inizialmente al variare di $x$ l'altezza non varia.
Poi per trovare velocità e accelerazione basta che derivi questa espressione una o due volte rispetto al tempo. Siccome la dipendenza dell'altezza da $x$ non è lineare, segue subito che la derivata - la velocità del pacco - non è costante. E' inizialmente zero, e tende a $v_0$

Avevo postato la soluzione, ma l'ho cancellata dopo che ho visto il tuo post, eh,eh!!!

[AnalisiZero]

"mgrau":la lunghezza della corda meno l'ipotenusa del triangolo

Ma scusa, la lunghezza della corda è essa stessa l' ipotenusa del triangolo.
Comunque proprio non ci arrivo a trovare quell' espressione.
Per ora ho scritto:
$h=(vx)/(2v_0)$. Dove $v$ è la velocità del pacco.
Posso anche scrivere la velocità del pacco in funzione della accelerazione e del tempo, ma poi come faccio la derivata? Non credo di trovare quella radice al denominatore.

Grazie

[professorkappa]

"AnalisiZero":[quote="mgrau"]la lunghezza della corda meno l'ipotenusa del triangolo

Ma scusa, la lunghezza della corda è essa stessa l' ipotenusa del triangolo.
Grazie[/quote]

Quando il pacco arriva a fine corsa, vicino al ramo....ma prima?

[AnalisiZero]

È proprio all'inizio che coincide con l'ipotenusa, diciamo quando il pacco è all'altezza della mano che tira l'estremo della fune.

[mgrau]

La base AB è $x$
L'altezza del pacco $h$ è $PB$
L'altezza del ramo è $CB = k$
La lunghezza della corda è $l = AC + CP$

CP è la lunghezza della corda meno AC ossia $CP = l - sqrt(k^2 + x^2)$
Allora $h = k - CP = k -l + sqrt(k^2 + x^2)$
La velocità di salita del pacco è $(dh)/(dt)$, quindi...

[AnalisiZero]

Dovrei aver capito. Non avevo considerato che la fune era parte dell'altezza del ramo. Grazie.

[PadreBishop]

Un problema un po' più a monte di quello cinematico... Ma il bambino ha idea del fatto che gli orsi affamati non facciano troppa distinzione tra lui ed un pacco? gli converrebbe forse lasciare la corda dove sta ed aumentare $v_0$...

[professorkappa]

"PadreBishop":Un problema un po' più a monte di quello cinematico... Ma il bambino ha idea del fatto che gli orsi affamati non facciano troppa distinzione tra lui ed un pacco? gli converrebbe forse lasciare la corda dove sta ed aumentare $v_0$...

hai ragione.
Mi ricorda una vecchia barzelletta: di fronte a un orso affamato, un giapponese e un americano cercano di mettersi in fuga. Il giapponese, scalzo, dice all' americano: ti pago le scarpe da tennis 1,00 dollari se me le vendi. L'americano giele da, e poi ridacchia: oggi ho fatto un bel business...mi hai pagato 1000 dollari per delle scarpe usate...Tu povero scemo, credi che ti faranno correre piu' di un orso affamato????
E il giapponese....di sicuro no, ma me basta che mi facciano correre piu di un americano scalzo...

Tornando ad essere seri, c'e' una piccola imprecisione nel conto di Mgrau, mi sembra.
Se $k$ e' l'altezza del ramo e l'estremo della corda resta ad altezza h la lunghezza della corda con pacco a terra: $L=k+h$
Quando il ragazzo corre.il pacco sale di $y$, il tratto di corda da cui pende il ramo e' $L_1=k-y$, mentre dalla parte del boy scout, la corda e' lunga $L_2=sqrt(x^2+h^2)$.

Da $L_1+L_2=L$ si trova $k-y+sqrt(x^2+h^2)=k+h$, che risolta per $y$ fornisce

$y=sqrt(x^2+h^2)-h$ da cui per derivazione si ottiene $doty$ e per successiva derivazione $ddoty$