Problema di cinematica

[lawrencepad]

Un punto materiale di massa $m=1kg$ è vincolato a muoversi lungo un asse rettilineo (ex. x).
All'istante $t=0$, esso si trova in posizione $x(0)=0$ con velocità $v(0)=v_0$.
Successivamente, su di esso viene applicata una forza del tipo $F_x=-F_0t^2$ con $F_0=10N/s$.
Determinare il valore di $v_0$ che permette al punto materiale di compiere uno spostamento di $L=2m$, prima di invertire il proprio moto. Con il valore di $v_0$ trovato, calcolare l'energia meccanica della particella.

Ho ragionato così:

dalla relazione $ma_x=-F_0t^2$ da cui: $a_x=-(F_0t^2)/m$ che sarebbe l'accelerazione in senso negativo che frena il moto con velocità costante iniziale del punto materiale.

le equazioni del moto sono:

$\{(x=x_0+v_0t+1/2at^2),(v=v_0+at),(a_x=-(F_0t^2)/m):}$

$x_0=0$ ma anche $v$ risulta essere nulla in virtù del fatto che il punto materiale nel momento in cui percorre la distanza indicata si arresta (quindi la sua velocità si arresta), per invertire il moto sotto effetto della forza.

Quindi il sistema diventa:

$\{(L=+v_0t+1/2at^2),(v_0=-at),(a_x=-(F_0t^2)/m):}$

Tentando di sostituire l'accelerazione e successivamente il tempo, mi rimane l'incognita del tempo! Sicuramente perché è presente un $t^2$ nella formula della Forza applicata lungo l'asse x. Come posso ovviare a questo problema?

[mgrau]

"lawrencepad":Successivamente, su di esso viene applicata una forza del tipo $F_x=-F_0t^2$ con $F_0=10N/s$.

Suppongo sia $F_0 = 10N/(s^2)$

"lawrencepad":
le equazioni del moto sono:

$\{(x=x_0+v_0t+1/2at^2),(v=v_0+at),(a_x=-(F_0t^2)/m):}$

Mi pare che hai scritto la legge oraria di un moto UNIFORMEMENTE accelerato, ma non è questo il caso, l'accelerazione NON è costante

[lawrencepad]

E quindi lo devo trattare come un moto rettilineo uniforme?
E l'accelerazione come la sfrutto in tal caso?

[mgrau]

"lawrencepad":E quindi lo devo trattare come un moto rettilineo uniforme?

Certamente NO. E' un moto accelerato, ma non uniformemente.
Conosci l'accelerazione, con un paio di integrazioni trovi la velocità in funzione del tempo, e la posizione in funzione del tempo. Poi devi porre la condizione che la posizione sia 2m quando la velocità è zero, condizione che permette di determinare la variabile $v_0$

[lawrencepad]

"mgrau":[quote="lawrencepad"]E quindi lo devo trattare come un moto rettilineo uniforme?

Certamente NO. E' un moto accelerato, ma non uniformemente.
Conosci l'accelerazione, con un paio di integrazioni trovi la velocità in funzione del tempo, e la posizione in funzione del tempo. Poi devi porre la condizione che la posizione sia 2m quando la velocità è zero, condizione che permette di determinare la variabile $v_0$[/quote]


molte volte mi perdo facilmente. Mi era sfuggito il fatto che quando abbiamo qualcosa che varia nel tempo l'unico modo per risalire con esattezza alla sua "grandezza" o "quantità" effettiva" è il ricorso all'integrale definito tra i due estremi di integrazione (in questo caso $t_0$ e $t$)

Però:

INTEGRANDO LA VELOCITà MI RITROVO:

$v(t)=v_0+\int_{t_0}^{t}-(F_0t^2)/m$ (perché quella è l'accelerazione.

In sostanza ho:

$v(t)=v_0 - (F_0t^3)/(3m)$

integrando ancora:

$x(t)=v_0t+\int_{t_0}^{t}-(F_0t^3)/(3m)$

che risulta essere:

$x(t)=v_0t- (F_0t^4)/(12m)$

io impongo che $x(t)$ sia 2m e che la $v$ sia 0... ma non capisco da dove devo ricavarmi il tempo??

[lawrencepad]

C'è nessuno che può darmi un aiutino per favore??

[mgrau]

Dunque, hai trovato che
$v(t)=v_0 - (F_0t^3)/(3m)$
Quando è $v(t) = 0$? Per $t =root(3)[3mv_0 / F_0]$
In questo tempo, quanta strada è stata percorsa? Lo ricavi da $x(t)=v_0t- (F_0t^4)/(12m)$
Per quale valore di $v_0$ questa vale 2m?

[lawrencepad]

"mgrau":
Quando è $v(t) = 0$? Per $t =root(3)[3mv_0 / F_0]$
In questo tempo, quanta strada è stata percorsa? Lo ricavi da $x(t)=v_0t- (F_0t^4)/(12m)$
Per quale valore di $v_0$ questa vale 2m?

Ieri sera ci ho sbattuto un bel po sopra, ma alla fine sono arrivato (non so come ) a $8/3$ come valore di $v_0$ e non so nemmeno se è un valore corretto.

Procedendo passo passo, nell'equazione dello spazio
$x(t)=v_0t- (F_0t^4)/(12m)$
vado a sostituire il tempo:
$t =root(3)[3mv_0 / F_0]$

mi ritrovo quindi:

$2=v_0root(3)[3mv_0 / F_0]-(F_0(root(3)[3mv_0 / F_0])^4)/(12m)$

ma come vedi risulta un po difficile estrapolare il $v_0$ da sotto la radice cubica perché ce ne stanno due. Allora ho provato a mettere in evidenza:

$2=t(v_0-(F_0t^3)/(12m))$

e ho ragionato solo ed esclusivamente sulla parte

$v_0-(F_0t^3)/(12m)=2$

e solo in questo modo riesco a giungere alla soluzione di $8/3$.

Potresti gentilmente dirmi se il procedimento che ho adottato è corretto?

[mgrau]

In

$2=v_0root(3)[3mv_0 / F_0]-(F_0(root(3)[3mv_0 / F_0])^4)/(12m)$

si può raccogliere il termine $v_0^(4/3)$