Problema di calcolo- quantistica
Ciao a tutti.
Ho un problema nel capire come svolgere i seguenti conti in un problema di fisica quantistica.
Dunque,
si consideri lo stato
$ |\psi> = 1/2(|+>_1 \ox |+>_2)+1/2(|+>_1 \ox |- >_2)+1/\sqrt(2)(|- >_1 \ox |- >_2) $
dove
$ |+-> = \frac{|+> +- |- >}{\sqrt(2)} $
a) qual è la probabilità di ottenere $ \sigma_z=1 $ dalla misura della polarizzazione lungo $ z $ per la prima particella
Per svolgere questo punto ho considerato:
$ p=|<\psi|P_0|\psi>|^2 $ con
$ P_0=|0>_1<0| $ il proiettore.
Ecco.. qui però ora un problema nel capire come fare il conto esplicito... qualcuno potrebbe aiutarmi? Non capisco bene come procedere.
Io sono partita così:
$ <\psi|0>_1<0|\psi> $ e poi ho considerato separatamente i due pezzi:
$ <\psi|0>_1=[1/2<++|0>_1+1/2<+ -|0>_1+1/\sqrt(2)<--|0>_1] $ e poi quindi analogamente ho considerato l'altra parte, facendo diventare i ket dei bra. Successivamente come procedo?
Mi verrebbe fuori delle robe tipo
$ <++|0|++> $
che non capisco quanto posano essere giuste, e se lo sono non capisco come calcolarle
Secondo problema di calcolo:
nel punto c) mi chiede
Se misuro simultaneamente $ (\sigma_z)_1 $ e $ (\sigma_z)_2 $ per due particelle descritte dallo stato $ |\psi> $ , qual è la probabilità di ottenere $ (\sigma_z)_1=(\sigma_z)_2=1 $?
Per fare questo ho considerato lo stato $ |\psi> $ scritto sopra, ma in maniera più compatta e ho esplicitato i vari $ |+-> $ come mi è stato indicato dalla traccia del problema.
successivamente ho considerato:
$ p_00(\sigma_z1=\sigma_z2=1)=|<00|\psi>|^2 $ e poi quindi, data
$ |\psi>=(2/4+1/(2\sqrt(2)))|00>+(2/4-1/(2\sqrt(2)))|10>+(1/(2\sqrt(2)))|01>+(1/(2\sqrt(2)))|11> $
come devo fare per calcolare la probabilità esplicitamente?
Se qualcuno ha voglia di darmi una mano ne sarei felicissima!
Grazie
Ho un problema nel capire come svolgere i seguenti conti in un problema di fisica quantistica.
Dunque,
si consideri lo stato
$ |\psi> = 1/2(|+>_1 \ox |+>_2)+1/2(|+>_1 \ox |- >_2)+1/\sqrt(2)(|- >_1 \ox |- >_2) $
dove
$ |+-> = \frac{|+> +- |- >}{\sqrt(2)} $
a) qual è la probabilità di ottenere $ \sigma_z=1 $ dalla misura della polarizzazione lungo $ z $ per la prima particella
Per svolgere questo punto ho considerato:
$ p=|<\psi|P_0|\psi>|^2 $ con
$ P_0=|0>_1<0| $ il proiettore.
Ecco.. qui però ora un problema nel capire come fare il conto esplicito... qualcuno potrebbe aiutarmi? Non capisco bene come procedere.
Io sono partita così:
$ <\psi|0>_1<0|\psi> $ e poi ho considerato separatamente i due pezzi:
$ <\psi|0>_1=[1/2<++|0>_1+1/2<+ -|0>_1+1/\sqrt(2)<--|0>_1] $ e poi quindi analogamente ho considerato l'altra parte, facendo diventare i ket dei bra. Successivamente come procedo?
Mi verrebbe fuori delle robe tipo
$ <++|0|++> $
che non capisco quanto posano essere giuste, e se lo sono non capisco come calcolarle
Secondo problema di calcolo:
nel punto c) mi chiede
Se misuro simultaneamente $ (\sigma_z)_1 $ e $ (\sigma_z)_2 $ per due particelle descritte dallo stato $ |\psi> $ , qual è la probabilità di ottenere $ (\sigma_z)_1=(\sigma_z)_2=1 $?
Per fare questo ho considerato lo stato $ |\psi> $ scritto sopra, ma in maniera più compatta e ho esplicitato i vari $ |+-> $ come mi è stato indicato dalla traccia del problema.
successivamente ho considerato:
$ p_00(\sigma_z1=\sigma_z2=1)=|<00|\psi>|^2 $ e poi quindi, data
$ |\psi>=(2/4+1/(2\sqrt(2)))|00>+(2/4-1/(2\sqrt(2)))|10>+(1/(2\sqrt(2)))|01>+(1/(2\sqrt(2)))|11> $
come devo fare per calcolare la probabilità esplicitamente?
Se qualcuno ha voglia di darmi una mano ne sarei felicissima!
Grazie
Risposte
Ok, peró manca qualche info. I due ket $|+>$ e $|- >$ sono autostati di... quale componente dello spin?
L'espressione di $|+->$ non ha molto senso, a meno che gli spinori al primo e secondo membro non siano riferiti a componenti diverse. E poi, il ket $|0>$ cosa rappresenta?
Comunque, ad occhio direi che qui le probabilità si possono trovare semplicemente guardando i coefficienti, senza fare troppi conti. Se poi ci tieni a capire come funziona il proiettore facciamo anche quello, non c'è problema. A proposito, ti anticipo che se calcoli la probabilità come valor medio del proiettore non devi fare anche il modulo quadro, altrimenti lo fai due volte, perché è già "contenuto" nel valore di aspettazione.
ps: ho un esame tra un paio di giorni, perciò potrei non essere molto attivo sul forum. Insomma se sparisco non disperare, mi farò vivo in settimana, appena possibile
L'espressione di $|+->$ non ha molto senso, a meno che gli spinori al primo e secondo membro non siano riferiti a componenti diverse. E poi, il ket $|0>$ cosa rappresenta?
Comunque, ad occhio direi che qui le probabilità si possono trovare semplicemente guardando i coefficienti, senza fare troppi conti. Se poi ci tieni a capire come funziona il proiettore facciamo anche quello, non c'è problema. A proposito, ti anticipo che se calcoli la probabilità come valor medio del proiettore non devi fare anche il modulo quadro, altrimenti lo fai due volte, perché è già "contenuto" nel valore di aspettazione.
ps: ho un esame tra un paio di giorni, perciò potrei non essere molto attivo sul forum. Insomma se sparisco non disperare, mi farò vivo in settimana, appena possibile
pps: ho visto che hai aperto anche un altro thread di MQ. Se intanto non ti risponde nessun altro, appena mi libero arrivo anche lì
Io devo capire bene come cavolo fare sti conti, dopo un po' che ci sclera su faccio la domanda in cerca di aiuto ahaha.
comunque non preoccuparti, anzi.. gentilissimo.
grazie infinite
comunque non preoccuparti, anzi.. gentilissimo.
grazie infinite
Dunque..
Rispondo in ordine alle tue domande:
I due ket sono autostati della matrice $ \sigma_x $ .
I ket $ |0> $ e $ |1> $ sono i vettori della base canonica (quindi (1,0) e (0,1)).
La notazione $ |+-> $ significa che $ |+> = (|0>+|1>)/\sqrt(2) $ e $ |-> = (|0> -|1>)/\sqrt(2) $ .
Quindi dovrei scrivere
$ p=<\psi|P_0|\psi> $
Ad ogni modo se riuscissi a scrivermi il conto esplicito e anche il metodo ''ad occhio'' mi farebbe piacere
Rispondo in ordine alle tue domande:
I due ket sono autostati della matrice $ \sigma_x $ .
I ket $ |0> $ e $ |1> $ sono i vettori della base canonica (quindi (1,0) e (0,1)).
La notazione $ |+-> $ significa che $ |+> = (|0>+|1>)/\sqrt(2) $ e $ |-> = (|0> -|1>)/\sqrt(2) $ .
Quindi dovrei scrivere
$ p=<\psi|P_0|\psi> $
Ad ogni modo se riuscissi a scrivermi il conto esplicito e anche il metodo ''ad occhio'' mi farebbe piacere
Ok, con le precisazioni che hai aggiunto direi che ci siamo.
$a)$
Il conto l'hai impostato, devi solo svolgerlo.
$< psi | 0 >_1$ $= 1/2 <+ | 0>_1 < + |_2 + 1/2 <+ | 0>_1 <- |_2 + 1/sqrt(2) < - | 0>_1 < - |_2$
Ora
$< + | 0 >_1 = ((1/sqrt(2),1/sqrt(2))) ((1), (0)) = 1/sqrt(2)$
$< - | 0 >_1 = ((1/sqrt(2),{-1}/sqrt(2))) ((1), (0)) = 1/sqrt(2)$
Quindi
$< psi | 0 >_1$ $= 1/{2sqrt(2)}$ $< + |_2$ $+ 1/{2sqrt(2)}$ $< - |_2$ $+ 1/2 < - |_2 = (1/2 + 1/{2sqrt{2}} , {-1}/{2sqrt(2)}) $
e perciò $p = < psi |P_0| psi > = < psi | 0 >< 0 | psi > = |< psi | 0 >|^2 = 1/2 + 1/{2sqrt(2)}$
$c)$
Il metodo che ti fa usare il libro è essenzialmente il metodo "ad occhio" di cui ti parlavo. Hai riscritto la $|psi>$ come combinazione di autostati di $sigma_z$, ognuno dei quali ha davanti un coefficiente. Questo coefficiente, come saprai, ti dice "in che misura" un certo autostato è presente nella sovrapposizione. Più precisamente, il modulo quadro del coefficiente è la probabilità che, a seguito di una misura, il sistema collassi nel corrispondente autostato.
Verifichiamolo. Nel punto $a)$ abbiamo calcolato la probabilità di ottenere $1$ da una misura di $sigma_z$ per la prima particella. Ora, vediamo che gli autostati in grado di fornire questo valore sono $|00>$ e $|01>$ (cioè sono gli autostati che hanno la prima particella nello stato $|0>$, a cui corrisponde l'autovalore $1$).
I coefficienti davanti a questi due autostati sono $(1/2 + 1/{2sqrt(2)})$ e $-1/{2sqrt(2)}$.
La probabilità che $|psi>$ collassi in $|00>$ è quindi $(1/2 + 1/{2sqrt(2)})^2$, mentre per $|01>$ la probabilità è $(1/{2sqrt(2)})^2$.
Sommandole, vedi che ottieni lo stesso risultato di prima.
La probabilità che una misura dia $sigma_{z1} = sigma_{z2} = 1$ è uguale alla probabilità che il sistema collassi nell'autostato $|00>$. Lascio a te il calcolo.
Ho sonno, perciò potrei aver scritto scemenze. Se qualcosa ti sembra sbagliato, probabilmente lo è
$a)$
Il conto l'hai impostato, devi solo svolgerlo.
$< psi | 0 >_1$ $= 1/2 <+ | 0>_1 < + |_2 + 1/2 <+ | 0>_1 <- |_2 + 1/sqrt(2) < - | 0>_1 < - |_2$
Ora
$< + | 0 >_1 = ((1/sqrt(2),1/sqrt(2))) ((1), (0)) = 1/sqrt(2)$
$< - | 0 >_1 = ((1/sqrt(2),{-1}/sqrt(2))) ((1), (0)) = 1/sqrt(2)$
Quindi
$< psi | 0 >_1$ $= 1/{2sqrt(2)}$ $< + |_2$ $+ 1/{2sqrt(2)}$ $< - |_2$ $+ 1/2 < - |_2 = (1/2 + 1/{2sqrt{2}} , {-1}/{2sqrt(2)}) $
e perciò $p = < psi |P_0| psi > = < psi | 0 >< 0 | psi > = |< psi | 0 >|^2 = 1/2 + 1/{2sqrt(2)}$
$c)$
Il metodo che ti fa usare il libro è essenzialmente il metodo "ad occhio" di cui ti parlavo. Hai riscritto la $|psi>$ come combinazione di autostati di $sigma_z$, ognuno dei quali ha davanti un coefficiente. Questo coefficiente, come saprai, ti dice "in che misura" un certo autostato è presente nella sovrapposizione. Più precisamente, il modulo quadro del coefficiente è la probabilità che, a seguito di una misura, il sistema collassi nel corrispondente autostato.
Verifichiamolo. Nel punto $a)$ abbiamo calcolato la probabilità di ottenere $1$ da una misura di $sigma_z$ per la prima particella. Ora, vediamo che gli autostati in grado di fornire questo valore sono $|00>$ e $|01>$ (cioè sono gli autostati che hanno la prima particella nello stato $|0>$, a cui corrisponde l'autovalore $1$).
I coefficienti davanti a questi due autostati sono $(1/2 + 1/{2sqrt(2)})$ e $-1/{2sqrt(2)}$.
La probabilità che $|psi>$ collassi in $|00>$ è quindi $(1/2 + 1/{2sqrt(2)})^2$, mentre per $|01>$ la probabilità è $(1/{2sqrt(2)})^2$.
Sommandole, vedi che ottieni lo stesso risultato di prima.
La probabilità che una misura dia $sigma_{z1} = sigma_{z2} = 1$ è uguale alla probabilità che il sistema collassi nell'autostato $|00>$. Lascio a te il calcolo.
Ho sonno, perciò potrei aver scritto scemenze. Se qualcosa ti sembra sbagliato, probabilmente lo è
Grazie mille Alla fine ero riuscita comunque a capire come fare il conto che se l'ho fatto in modo diverso dal tuo.
Comunque ora lo sguardo e mi segno anche quello
Alla fine ero riuscita comunque a capire come fare il conto che se l'ho fatto in modo diverso dal tuo.Comunque ora lo sguardo e mi segno anche quello
Ok, mi sono appena accorto che tutti i ket che ho scritto per la seconda particella dovevano essere dei bra.
Come dicevo, dopo mezzanotte il mio livello di attenzione cala drasticamente. Comunque ho corretto, ora dovrebbe essere a posto.
Come dicevo, dopo mezzanotte il mio livello di attenzione cala drasticamente. Comunque ho corretto, ora dovrebbe essere a posto.
ahah nessun problema! Grazie mille
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