Problema della massa sul carrellino

[Dracmaleontes]

sistema in figura è costituito da una massa $m_1$ appoggiata su di un carrellino $m_2$.
La massa $m_1$ è collegata ad un sostegno fisso tramite una molla ideale di costante
elastica $k$. Tra la massa e il carrellino c’è attrito di coefficienti $μs$ e $μd$ mentre tra
carrellino e piano non c’è attrito. Nell’ipotesi che la massa m1 rimanga in quiete
rispetto al carrellino, calcolare:
1. la pulsazione con cui oscilla la massa $m_1$;
2. l’ampiezza massima dell’oscillazione di $m_1$ per la quale il moto è possibile;

Nel caso invece in cui la massa $m_1$ sia inizialmente ferma nella posizione di equili-
brio della molla mentre la massa $m_2$ si muova con velocità v0 positiva rispetto al

sistema di riferimento indicato in figura, calcolare:
3. l’equazione oraria del moto.
Per rispondere all’ ultima domanda si assuma che la velocità della massa $m_2$
resti sempre positiva e che $m_2$ sia abbastanza lunga perché $m_1$ rimanga sopra di
essa.






Io ho provato a svolgerlo facendo queste cose:
1)
E.q massa $m_1$ lungo il sistema del carrellino:
x: $-kx + F_{a_{s}} - m_1\ddot{x} = 0$ (dove $m_1\ddot{x}$ rappresenta una forza apparente)
y: $N - m_1g = 0$

E.q massa $m_2$ lungo il sistema del carrellino:
x: $-F_{a_{s}} = m_2\ddot{x}$
y: $N - m_2g = 0$

Tenendo in considerazione che $-F_{a_{s}} = m_2\ddot{x}$, si ricava:

$-kx = (m_1+m_2)\ddot{x}$

E che quindi la pulsazione è : $\omega = \sqrt{frac{k}{m_1+m_2}}$

2) L'equazione del moto di m_1 è dunque:
$x = Acos(\omegat + \phi)$
e $\ddot{x}_{max} = -\omega^2A$

Poichè deve essere $m_2 \ddot{x}_{max} ≤ -\mu_{s}m_1g$
si ricava che:
$A ≤ frac{\mu_sm_1g(m1+m2)}{km2}$

3) nel sistema di riferimento in figura la posizione iniziale di $m_1$ è la posizione di equilibrio e la velocità iniziale è v0
Ora non è chiaro nel testo se vuole le equazioni del moto di $m_1$ o $m_2$, io ho supposto di $m_1$

Le equazioni che rappresentano le forze lungo l'asse x per $m_1$ sono:
$\mu_dm_1g - kx = m_1\ddot{x}$

Le equazioni che rappresentano le forze lungo l'asse x per $m_2$ sono:
$-\mu_dm1_g = m_2\ddot{x}$

Ricavando però l'equazione oraria di $m_1$ e imponendo le condizioni si ottiene:
$x = frac{\mu_dm_1g}{k} + frac{v0}{\omega}sin(\omegat)$

Vi sembra che possa andare?

[mgrau]

Direi di sì, salvo che la derivazione di $omega$ nel punto 1 potevi ricavarla immediatamente dal fatto che, se non c'è scorrimento, i due blocchi si comportano come un corpo unico di massa $m_1 + m_2$

[Dracmaleontes]

Mi è venuto un dubbio, ma nel punto 3 l'accelerazione del carrellino non è la stessa della cassetta o sbaglio?

[mgrau]

Certo che no, perchè dovrebbe?

[Dracmaleontes]

Nessuno effettivamente, mio errore di ieri.