Problema dei due corpi

[5mrkv]

Ho due corpi, la cui lagrangiana è data da $L=\frac{m_1 \dot \vec r_{1}^2}{2}+\frac{m_2 \dot \vec r_{2}^2}{2}-V(|r_1-r_2|=r)$, la stessa formula la posso esprimere attraverso il teorema di Konig $L=\frac{M\dot \vec v_G^2}{2}+\frac{\nu \dot \vec v_R^2}{2}-V(r)$. I dati sono $m_1=m$ mentre $m_2=2m$ e l'energia potenziale è data da una forza elastica di richiama fra le due particelle sul piano, quindi $V(r)=\frac{\omega^2 m}{2}(x^2+y^2)$ e la corrispondente lagrangiana è $L=\frac{3m}{2}(\dot x_G^2+\dot y_G^2)+\frac{m}{3}(\dot x^2+\dot y^2)-\frac{\omega^2 m}{2}(x^2+y^2)$, si vede che il moto si svolge nel piano. Mi viene ora chiesto di trovare gli integrali primi corrispondenti al moto dei punti punti nel sistema del centro di massa e valutarne il valore assunto nel sistema di laboratorio nelle condizioni $\vec r_{1}(0)=(0,0)$, $\vec r_{2}(0)=(a,0)$, $\vec v_{1}(0)=(0,0)$, $\vec v_{1}(0)=(0,a \omega)$. La lagrangiana l'ho trovata, ma non capisco come andare avanti.

[cyd1]

un integrale primo di moto è un'equazione differenziale del primo ordine del tipo $phi(vec(x),dot(vec(x)),t) = cost$ che risulti diretta conseguenza dell'equazione fondamentale della dinamica, cioè le sue soluzioni sono anche soluzioni della fondamentale. ($vec x$ e $dot(vec x)$ sono lo stato cinetico del sistema)

puoi provare a trovare tale relazione per esempio dalla conservazione dell'energia o dalla conservazione della quantità di moto, infatti queste sono relazioni differenziali del primo ordine.