Problema d' esame di fisica su sfere cariche

[tranesend]

ES. 1 - Si consideri la seguente distribuzione di carica: una sfera di centro O e raggio R, uniformemente carica con
densit`a di carica ρ1 > 0, eccetto una cavit`a sferica di centro C e raggio R/3, uniformemente carica con densit`a di carica
ρ2. La distanza tra il centro della sfera e il centro della cavit`a `e OC = R/2 [si veda la FIG. 1 (a)].
1. Determinare il campo elettrico generato dalla distribuzione di carica considerata, nel punto O e nel punto C.


Quello che mi blocca è che le due sfere non sono conduttrici e quindi hanno una carixa sparsa uniformemente sul loro volume. E tantomeno hanno una densità di carica differente che mi blocca sul calcolare il Campo Elettrico.

Il professore ha gia dato la soluzione del primo punto ma non riesco a capire secondo quale logica ha ragionato.
Lui ha detto che

$E_(O)=((ρ_(2)-ρ_(1))*(4/3)*pi*(R/3)^3)/(4*pi*\epsilon_(0)*(R/2)^2)$

dicendo che ci si può ricondurre ad un problema con simmetria sferica anche non avendola.

$E_(C)=((ρ_(1))*(4/3)*pi*(R/2)^3)/(4*pi*\epsilon_(0)*(R/2)^2)$

Riuscite a darmi una spiegazione su questo calcolo del campo elettrico? Da dove viene ((ρ_(2)-ρ_(1))?
Esiste una soluzione più analitica (matematica) per risolvere questo problema?

[RenzoDF]

"tranesend":... una spiegazione su questo calcolo del campo elettrico? Da dove viene ((ρ_(2)-ρ_(1))?

Basta semplicemente pensare che quella distribuzione di carica risulta equivalente a quella di una sfera di raggio $R$ e densità di carica volumetrica $\rho_1$ priva di cavità, compenetrata da una sfera di raggio $R/3$ e densità di carica $\rho_1-\rho_2$ e sfruttare la linearità del mezzo per sovrapporre gli effetti delle due sfere.

Ne segue che per quanto riguarda il campo nel punto O avrai che il solo contributo è quello della seconda sfera, essendo al centro della prima, mentre per il punto C, il contributo è solo quella della prima, in quanto al centro della seconda sfera.

[tranesend]

"RenzoDF":[quote="tranesend"]... una spiegazione su questo calcolo del campo elettrico? Da dove viene ((ρ_(2)-ρ_(1))?

Basta semplicemente pensare che quella distribuzione di carica risulta equivalente a quella di una sfera di raggio $R$ e densità di carica volumetrica $\rho_1$ priva di cavità, compenetrata da una sfera di raggio $R/3$ e densità di carica $\rho_1-\rho_2$ e sfruttare la linearità del mezzo per sovrapporre gli effetti delle due sfere.

Ne segue che per quanto riguarda il campo nel punto O avrai che il solo contributo è quello della seconda sfera, essendo al centro della prima, mentre per il punto C, il contributo è solo quella della prima, in quanto al centro della seconda sfera.[/quote]

Ok ma perchè posso pensare che sia equivalente ad una sfera compenetrata da un'altra sfera di densità $\rho_1-\rho_2$?
Non esiste un metodo più analitico, per risolverlo?

[RenzoDF]

"tranesend":... perchè posso pensare che sia equivalente ad una sfera compenetrata da un'altra sfera di densità $\rho_1-\rho_2$?

Premesso che (ovviamente) intendevo dire $\rho_2-\rho_1$ e non $\rho_1-\rho_2$, semplicemente perché

$\rho_1+(\rho_2-\rho_1)=\rho_2$

e di conseguenza con l'equivalenza delle due configurazioni ci si può ricondurre a due geometrie a simmetria sferica, che semplifica enormemente il calcolo. [nota]Ed è una tecnica risolutiva utilissima in numerose situazioni, anche in problemi di magnetostatica lineare, per esempio, filo conduttore con cavità cilindrica parallela all'asse.[/nota].

"tranesend":... Non esiste un metodo più analitico, per risolverlo?

Questo è senza dubbio il migliore metodo analitico, ad ogni modo non volendo "vincere facile" puoi anche cercare di calcolare il campo integrando vettorialmente il campo infinitesimo relativo al volume sferico cavo con densità $\rho_1$, ma lascio a te questo "semplice" calcolo.