Problema corrente indotta
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Una bacchetta conduttrice ha lunghezza D = 20 cm e ruota con frequenza angolare $ omega $ = 0.4 rad/s attorno ad una delle sue estremità. L’altra estremità scorre su un filo conduttore circolare, di resistenza trascurabile rispetto alla resistenza R = 2 $ Omega $ , inserita tra il punto P(asse sul quale ruota la bacchetta,centro del cerchio) e il filo circolare. Tale circuito è immerso in un campo magnetico uniforme, di modulo B = 10 mT e direzione perpendicolare al piano spazzato dalla bacchetta. Si determini l’intensità della corrente indotta nel circuito, delimitato dall’arco di circonferenza e dalla bacchetta stessa, e se ne indichi il verso.
Ragazzi ho questo problema da risolvere ma non riesco a capire come..da dove devo partire? come ragiono?
non riesco ad inserire l'immagine originale ma credo si capisca(spero). Mi date una mano per cortesia? Grazie!
Risposte
La "bacchetta" ruotando taglia normalmente le linee di forza e di conseguenza viene indotta nella stessa una fem data dal prodotto fra velocità $v$, campo magnetico $B$ e lunghezza $dl$ del generico tratto elementare, relativo al generico raggio $0
Chiaramente se la velocità si inverte, anche la fem si invertirà, e di conseguenza avrà un andamento alternativamente positivo e negativo (un'onda quadra) con semiperiodo T/2 pari al tempo impiegato per percorrere l'arco di cerchio $\alpha$
$T/2=\alpha/\omega$
Chiaramente se la velocità si inverte, anche la fem si invertirà, e di conseguenza avrà un andamento alternativamente positivo e negativo (un'onda quadra) con semiperiodo T/2 pari al tempo impiegato per percorrere l'arco di cerchio $\alpha$
$T/2=\alpha/\omega$
"RenzoDF":
Chiaramente se la velocità si inverte, anche la fem si invertirà, e di conseguenza avrà un andamento alternativamente positivo e negativo (un'onda quadra) con semiperiodo T/2 pari al tempo impiegato per percorrere l'arco di cerchio $\alpha$
$T/2=\alpha/\omega$
E dove c'è scritto che la velocità si inverte?
Da nessuna parte. 
Non capisco il ruolo della bacchetta...La corrente indotta come viene generata, cos'è che fa muovere la bacchetta? nel filo,che rappresenta l'asse di rotazione non scorre corrente.Praticamente ho solo un campo magnetico,uniforme, e la bacchetta che gira! Non capisco di cosa è causa o effetto questa rotazione della bacchetta.
La legge di Faraday mi dice che F.e.m. indotta è data da: $ xi =-(Delta Phi (B))/(Delta t) $ ma il flusso magnetico non mi sembra che cambia giusto?
La legge di Faraday mi dice che F.e.m. indotta è data da: $ xi =-(Delta Phi (B))/(Delta t) $ ma il flusso magnetico non mi sembra che cambia giusto?
La bacchetta insieme alla resistenza e al filo circolare forma due settori circolari (due circuiti) di area variabile - una aumenta l'altra diminuisce - le due correnti hanno lo stesso verso nella bacchetta
"mgrau":
La bacchetta insieme alla resistenza e al filo circolare forma due settori circolari (due circuiti) ... le due correnti ...
Dove li vedi questi due circuiti?
--------
BTW Giusto per precisare il metodo risolutivo che stavo consigliando, intendevo riferirmi alla nota relazione
$d\xi=(\vec v \times \vec B)\cdot \vec {dl}$
che avrebbe portato ad una fem elementare media
$d\xi_m=\omega D/2B \ dl$
e quini a una
$\xi={\omega D^2 B}/2$
Usando invece la "regola del flusso" (ex FNL), puoi considerare l'area del settore circolare infinitesimo "spazzato" nel tempo dt, per calcolare la relativa variazione di flusso concatenato
$\text{d}Phi= \text{d}A \ B=( D\ \omega \text {d} t ) D/2 B$
e pervenire al medesimo risultato.
La bacchetta chiaramente deve essere messa in movimento da un soggetto esterno, che per muoverla dovrà pure fare fatica, visto che il resistore R andrà a dissipare una potenza $P=\xi^2/R$ durante la spazzolata.
"RenzoDF":
Dove li vedi questi due circuiti?
Quello rosso e quello blu. Uno aumenta l'area, l'altro la diminuisce. La corrente indotta nei due circuiti si somma nella bacchetta e nella resistenza. Il sistema bacchetta +resistenza appare come un generatore di fem, cortocircuitato dai due archi di cerchio in parallelo
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"mgrau":
... Quello rosso e quello blu.
Ok, dal disegno iniziale non avevo compreso che il conduttore completava il cerchio.
"mgrau":
... La corrente indotta nei due circuiti si somma
Scusa ma non è la "corrente" che viene indotta bensì la fem, e l'unico tratto interessato da questa induzione è quello della bacchetta, che è l'unico tratto in movimento rispetto al campo.
"RenzoDF":
[
Scusa ma non è la "corrente" che viene indotta bensì la fem, e l'unico tratto interessato da questa induzione è quello della bacchetta, che è l'unico tratto in movimento rispetto al campo.
Ok, però sta di fatto che nei due circuiti passa corrente, e nella bacchetta e netta resistenza è doppia di quella che passa nel cerchio.
Ora però mi viene un altro dubbio: se il filo circolare è chiuso, come l'ho immaginato io, i circuiti nel flusso magnetico sono due, e su entrambi si induce una fem, uguale. $(dB)/(dt)$ ha lo stesso valore, segno opposto, quindi mi aspetto che la corrente nella bacchetta sia la somma dei due.
Ma se il filo non completa il cerchio, come in effetti è nella figura originale, di circuito ce n'è uno solo, e la corrente dovrebbe essere la metà.
Però, se come dici, tu la vera sorgente della fem è la bacchetta in movimento, non dovrebbe cambiare niente. E allora?
"mgrau":
... E allora?
E allora, io rilancio con una ulteriore domanda: e se supponiamo che non ci sia il resistore?
... c'è o non c'è un fem indotta?
Immagino di sì... ma questo conferma il fatto che non ho capito il nesso che c'è fra la forza di Lorentz e la legge di Faraday.
Continuo a sospettare che la sintesi dei due fenomeni stia nella relatività ( "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" )
Continuo a sospettare che la sintesi dei due fenomeni stia nella relatività ( "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" )
Il discorso sarebbe lungo e interessante, ma sostanzialmente la "regola del flusso" \(\xi=-{\text{d}\Phi}/{\text{d}t}\) (così si chiama oggigiorno) ci permette di andare a determinare la circuitazione del campo elettrico lungo un percorso chiuso $\Sigma$; campo elettrico che può essere dovuto a due cause, o ad un campo $B(t)$ variabile nel tempo oppure ad un variazione temporale di $\Sigma$ (che porta a Lorentz).
Nel nostro caso è proprio quest'ultima la causa del campo elettrico e noi possiamo andare a determinarne la circuitazione via "regola del flusso", ma chiaramente, pur potendo in questo caso usare uno dei due diversi contorni, non possiamo pensare di andare a sommare le due diverse circuitazioni, ma solo notare che l'uguaglianza delle due fem ottenute potrà suggerirci che il motivo dell'uguaglianza sta nel tratto comune dei due percorsi (che poi è l'unica parte in movimento).
Nel nostro caso è proprio quest'ultima la causa del campo elettrico e noi possiamo andare a determinarne la circuitazione via "regola del flusso", ma chiaramente, pur potendo in questo caso usare uno dei due diversi contorni, non possiamo pensare di andare a sommare le due diverse circuitazioni, ma solo notare che l'uguaglianza delle due fem ottenute potrà suggerirci che il motivo dell'uguaglianza sta nel tratto comune dei due percorsi (che poi è l'unica parte in movimento).
E' pur vero che il calcolo della fem per mezzo della forza di Lorentz e per mezzo della regola del flusso applicata a un solo circuito danno lo stesso risultato. Però è anche vero che i circuiti sono due, e le circuitazioni di E sono due.
Tu dici che "chiaramente" non si possono sommare, ma devo dire che questa evidenza non ce la vedo.
Sarà che io la chiamavo "legge di Faraday", e non "regola del flusso", e questo magari mi induce a prenderla più "sul serio", cioè non mi viene da trattarla come un semplice artificio per arrivare al risultato, mentre la realtà fisica sarebbe solo la forza di Lorentz.
Insomma, mi piacerebbe capire meglio perchè, se i circuiti sono due, entrambi reali e legittimi, e il flusso cambia su entrambi, non dovremmo considerarli entrambi ai fini della corrente che passa nella bacchetta.
Tu dici che "chiaramente" non si possono sommare, ma devo dire che questa evidenza non ce la vedo.
Sarà che io la chiamavo "legge di Faraday", e non "regola del flusso", e questo magari mi induce a prenderla più "sul serio", cioè non mi viene da trattarla come un semplice artificio per arrivare al risultato, mentre la realtà fisica sarebbe solo la forza di Lorentz.
Insomma, mi piacerebbe capire meglio perchè, se i circuiti sono due, entrambi reali e legittimi, e il flusso cambia su entrambi, non dovremmo considerarli entrambi ai fini della corrente che passa nella bacchetta.
"mgrau":
... mi piacerebbe capire meglio perchè, se i circuiti sono due, entrambi reali e legittimi, e il flusso cambia su entrambi, non dovremmo considerarli entrambi ai fini della corrente che passa nella bacchetta.
Visto che per forza vuoi considerare due circuiti separati, quando separati non sono, puoi pensare di tagliare nel senso della lunghezza la bacchetta e il resistore, magari lasciando alle due curve un solo punto comune, per esempio quello relativo al centro del cerchio.
In questo modo avrai due circuiti separati e pur non potendo anche in questo caso andare a sommare le due circuitazioni del campo elettrico ovvero le fem indotte nei due circuiti, nessuno ti vieterà di applicare due volte la "regola del flusso" e andare, come ripeti da tempo, a determinare le due correnti nei due diversi circuiti al fine di risalire alla corrente che circola sia nel resistore originale sia nella bacchetta originale via somma delle due correnti parziali.
Come ben sai però, tagliando nel senso della lunghezza un resistore, la sua resistenza diventerà doppia (2R) e quindi le due fem indotte nei due circuiti faranno circolare una corrente parziale $\xi/{2R}$, correnti che porteranno ad avere ai morsetti di entrambi i resistori la stessa tensione $\xi$.
Ora i conti ti dovrebbero tornare, sbaglio?
Astuta l'idea di tagliare per il lungo bacchetta e resistore 
Ma non mi torna ancora...
In quanto che il tuo argomento si basa sull'implicita assunzione che tutta la resistenza sia localizzata nel tratto in comune; se invece assumi che anche il resto del filo abbia una resistenza, allora i conti non vengono...
Propongo un problema del tutto analogo, ma più semplice da esaminare, in figura
un circuito rettangolare, immerso in un campo magnetico, su cui scorre una bacchetta.
Poi lo stesso, con la bacchetta tagliata a metà, e il circuito interrotto fra le due metà
A me sembra che si possano schematizzare nei due modi seguenti
La bacchetta, sia intera che tagliata, si comporta come un generatore di tensione: se intera con resistenza R, se tagliata con resistenza 2R.
Però la corrente che attraversa il generatore non è la somma delle correnti attraverso i due generatori.
Chiaramente c'è un errore da qualche parte. Ma dove?
P.S. Forse ho capito dov'è. Non si deve tagliare il circuito fra le due bacchette, ossia non si deve spezzare il circuito in due circuiti. Infatti, se le due resistenze R1 e R2 sono diverse - ossia se la bacchetta non è nel centro - i capi omologhi delle due bacchette sono a potenziale diverso, quindi nella giunzione passa corrente, in misura tale da pareggiare i due casi
Ma non mi torna ancora...
In quanto che il tuo argomento si basa sull'implicita assunzione che tutta la resistenza sia localizzata nel tratto in comune; se invece assumi che anche il resto del filo abbia una resistenza, allora i conti non vengono...
Propongo un problema del tutto analogo, ma più semplice da esaminare, in figura
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un circuito rettangolare, immerso in un campo magnetico, su cui scorre una bacchetta.
Poi lo stesso, con la bacchetta tagliata a metà, e il circuito interrotto fra le due metà
A me sembra che si possano schematizzare nei due modi seguenti
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La bacchetta, sia intera che tagliata, si comporta come un generatore di tensione: se intera con resistenza R, se tagliata con resistenza 2R.
Però la corrente che attraversa il generatore non è la somma delle correnti attraverso i due generatori.
Chiaramente c'è un errore da qualche parte. Ma dove?
P.S. Forse ho capito dov'è. Non si deve tagliare il circuito fra le due bacchette, ossia non si deve spezzare il circuito in due circuiti. Infatti, se le due resistenze R1 e R2 sono diverse - ossia se la bacchetta non è nel centro - i capi omologhi delle due bacchette sono a potenziale diverso, quindi nella giunzione passa corrente, in misura tale da pareggiare i due casi
Premesso che quello indicato non è il simbolo di un generatore di tensione ma di corrente , come hai già capito detto circuito non è equivalente a quello sdoppiato, anche se le resistenze R1 e R2 fossero collegate alle due estremità e il binario fosse privo di resistenza.
, come hai già capito detto circuito non è equivalente a quello sdoppiato, anche se le resistenze R1 e R2 fossero collegate alle due estremità e il binario fosse privo di resistenza.
"RenzoDF":
Premesso che quello indicato è il simbolo di un generatore di tensione ma di corrente
Puoi comunque sdoppiare il generatore di tensione; la rete così trasformata avrà due generatori di tensione pari alla fem e di certo ti piacerà di più.
BTW Ovviamente intendevo dire
ora ho corretto.
BTW Ovviamente intendevo dire
... non è il simbolo di un generatore di tensione ma di corrente ...
ora ho corretto.
Azzardo esprimendo quello che ho capito io.
Allora, il flusso magnetico varia perché è l'area A,spazzata dalla bacchetta, a variare. Precisamente dopo un tempo T la bacchetta avrà spazzato un area pari a A= $ (pi r^2)/2 $
il campo magnetico B è uniforme quindi possiamo scrivere che $ xi =(BA)/T=((BD^2)/4)omega $ che sarà la f.e.m. sulla bacchetta(?)
Sapendo ora la forza elettromotrice, troviamo il verso della corrente tramite la legge di Lenz e da li procediamo come se stessimo analizzando un circuito normale e troviamo il valore della corrente i.
Allora, il flusso magnetico varia perché è l'area A,spazzata dalla bacchetta, a variare. Precisamente dopo un tempo T la bacchetta avrà spazzato un area pari a A= $ (pi r^2)/2 $
il campo magnetico B è uniforme quindi possiamo scrivere che $ xi =(BA)/T=((BD^2)/4)omega $ che sarà la f.e.m. sulla bacchetta(?)
Sapendo ora la forza elettromotrice, troviamo il verso della corrente tramite la legge di Lenz e da li procediamo come se stessimo analizzando un circuito normale e troviamo il valore della corrente i.
è giusto ciò che ho detto?
Non abbiamo trovato una soluzione al problema alla fine
Non abbiamo trovato una soluzione al problema alla fine
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