Problema corpo rigido: semisfera trascinata su piano
Buon pomeriggio, qualcuno gentilmente mi aiuta ad impostare e risolvere questo problema? Trovo difficoltà ad iniziarlo, avevo pensato di mettere a sistema un po' di equazioni sui momenti e sulle forze in gioco, che si devono bilanciare visto che la velocità è costante: nello specifico, volevo partire dal fatto che il momento della forza $F$ dovesse bilanciare il peso, e poi peso, forza e attrito dovessero bilanciarsi tra loro come forze... Mi conviene prendere come polo il punto di contatto della sfera con la superficie piana, e considerare come braccio del momento del peso la posizione del centro di massa? Invece per la forza motrice come dovrei agire?
Grazie mille in anticipo
Allego l'immagine con tanto di disegno:
http://i59.tinypic.com/2di0upf.jpg
Grazie mille in anticipo
Allego l'immagine con tanto di disegno:
http://i59.tinypic.com/2di0upf.jpg
Risposte
È più facile di quello che pensi . LA velocità è costante , quindi per la prima equazione cardinale della dinamica il risultante delle forze esterne è uguale a zero. (È difficile trovare tale risultante? Io dico che conosci già praticamente tutte le forze...)
Inoltre, il moto è solo traslatorio. Non c'è rotazione. Non c'è variazione di momento angolare rispetto a un polo. Perciò il momento delle forze esterne rispetto a un polo ( a tutti i poli) è nullo. Prendi come polo il punto di contatto.
E hai finito.
Inoltre, il moto è solo traslatorio. Non c'è rotazione. Non c'è variazione di momento angolare rispetto a un polo. Perciò il momento delle forze esterne rispetto a un polo ( a tutti i poli) è nullo. Prendi come polo il punto di contatto.
E hai finito.
Ti ringrazio per la risposta, allora sarebbe giusto porre che $F$ = $A + P$ (P = peso, A = attrito)?
Scelto poi come polo il punto di contatto col piano, volevo porre $(3/8)MgR$ come momento della forza peso, e $FR$ come quello della forza motrice... Però il risultato del testo è $arcsin[(8mu)/(8mu +3)]$, che ho capito solo in parte: dal disegno che avevo messo, avevo pensato di porre l'angolo in questione come arcotangente soltanto della forza motrice e della forza peso (di cui la forza l'avrei vista come il coseno, il peso come il seno), andando magari a trovare la forza motrice dalla prima equazione che ho scritto...
Scelto poi come polo il punto di contatto col piano, volevo porre $(3/8)MgR$ come momento della forza peso, e $FR$ come quello della forza motrice... Però il risultato del testo è $arcsin[(8mu)/(8mu +3)]$, che ho capito solo in parte: dal disegno che avevo messo, avevo pensato di porre l'angolo in questione come arcotangente soltanto della forza motrice e della forza peso (di cui la forza l'avrei vista come il coseno, il peso come il seno), andando magari a trovare la forza motrice dalla prima equazione che ho scritto...
Il risultante delle forze applicate deve essere nullo. Ci sono tre forze, la $vecF$, il peso $Mvecg$ la reazione $vecR$ del piano.
Deve essere :
$vecF + Mvecg + vecR = 0 $ -----(1)
La reazione $vecR$ del piano ha un componente verticale $vecN$ diretto verso l'alto, e un componente orizzontale, uguale a $ muvecN$ , diretto verso sinistra. Proiettando la (1) sull'asse verticale si ha subito :
$Mg-N = 0 \rightarrow N = Mg$ -----(2)
Proiettando sull'asse orizzontale e tenendo conto della (2) si ha invece :
$F - muMg = 0 $ -----(3)
Per farla breve : il piano orizzontale equilibra il peso, e la forza di attrito è uguale e contraria a $vecF$ (NB : "contraria" non vuol dire che è applicata nello stesso punto , intesi ?! )
Poi : assumi come polo il punto di contatto: deve sussistere l'equilibrio dei momenti rispetto a questo polo. Conosci già la posizione del CM in cui è applicata la forza peso, quindi non è difficile determinare i bracci del peso e di F rispetto al punto di contatto, funzione dell'angolo $\theta$ evidentemente. LA forza di attrito ha momento nullo rispetto al punto di tangenza.
Però quello che hai scritto come momenti non è giusto. Devi mettere i valori dei bracci, da determinare in funzione di un angolo $\theta$ generico : quello effettivo corrisponde alla condizione di equilibrio dei momenti.
Deve essere :
$vecF + Mvecg + vecR = 0 $ -----(1)
La reazione $vecR$ del piano ha un componente verticale $vecN$ diretto verso l'alto, e un componente orizzontale, uguale a $ muvecN$ , diretto verso sinistra. Proiettando la (1) sull'asse verticale si ha subito :
$Mg-N = 0 \rightarrow N = Mg$ -----(2)
Proiettando sull'asse orizzontale e tenendo conto della (2) si ha invece :
$F - muMg = 0 $ -----(3)
Per farla breve : il piano orizzontale equilibra il peso, e la forza di attrito è uguale e contraria a $vecF$ (NB : "contraria" non vuol dire che è applicata nello stesso punto , intesi ?! )
Poi : assumi come polo il punto di contatto: deve sussistere l'equilibrio dei momenti rispetto a questo polo. Conosci già la posizione del CM in cui è applicata la forza peso, quindi non è difficile determinare i bracci del peso e di F rispetto al punto di contatto, funzione dell'angolo $\theta$ evidentemente. LA forza di attrito ha momento nullo rispetto al punto di tangenza.
Però quello che hai scritto come momenti non è giusto. Devi mettere i valori dei bracci, da determinare in funzione di un angolo $\theta$ generico : quello effettivo corrisponde alla condizione di equilibrio dei momenti.
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