Problema - corpo rigido
Salve, vorrei sapere una cosa riguardo a questo problema:
La posizione $x$ del corpo rigido, deve essere quella del centro di massa ?
Credo che prima occorra scriverla rispetto a $B$ . La sfera si muove verso il centro, quindi $-k(x-x_0)+M\omega^2(r+R-x)=0$ (perchè è nell'istante finale) e poi rispetto ad $A$ viene: $r-x$. Correct ?
La posizione $x$ del corpo rigido, deve essere quella del centro di massa ?
Credo che prima occorra scriverla rispetto a $B$ . La sfera si muove verso il centro, quindi $-k(x-x_0)+M\omega^2(r+R-x)=0$ (perchè è nell'istante finale) e poi rispetto ad $A$ viene: $r-x$. Correct ?
Risposte
up...
Mah 
Questo esercizio è a dir poco imbarazzante.
A farlo proprio bene mi sembra che dia luogo a calcoli immani, mi esce un'equazione algebrica del 4° grado...
Sarà che non ho tempo per cui ho desistito subito, magari poi si semplifica...
Ad ogni modo se invece volessimo trovare una soluzione approssimata allora seguo il metodo tuo, nel quale consideri la massa della sfera come se fosse tutta concentrata al suo centro (è questa l'approssimazione).
Nelle tue considerazioni comunque trovo subito una cosa strana: come puoi dire che la sfera si muove verso il centro? quando ruoti qualcosa, questa tende a sfuggire verso l'esterno, no?
E' meglio se ci ripensi.
Questo esercizio è a dir poco imbarazzante.
A farlo proprio bene mi sembra che dia luogo a calcoli immani, mi esce un'equazione algebrica del 4° grado...
Sarà che non ho tempo per cui ho desistito subito, magari poi si semplifica...
Ad ogni modo se invece volessimo trovare una soluzione approssimata allora seguo il metodo tuo, nel quale consideri la massa della sfera come se fosse tutta concentrata al suo centro (è questa l'approssimazione).
Nelle tue considerazioni comunque trovo subito una cosa strana: come puoi dire che la sfera si muove verso il centro? quando ruoti qualcosa, questa tende a sfuggire verso l'esterno, no?
E' meglio se ci ripensi.
si tende di sfuggire verso l'esterno, però in questo esercizio non vedo nessuna forza che tende a farlo muovere verso l'esterno... mentre c'è la forza centripeta che lo fa muovere verso l'interno.
Qual è questa forza che lo spinge a sfuggire fuori dal moto circolare ?
Qual è questa forza che lo spinge a sfuggire fuori dal moto circolare ?
Non è per niente difficile questo problema.. E' solo lungo capire la situazione. Comunque prova a pensare che cosa è esattamente la forza centripeta che intendi tu (secondo me inconsciamente ti riferisci a quella che cambia la direzione del moto di un punto materiale, ma la situazione è ben diversa in questo caso) e vai a vedere bene che segno ha il termine centriFUGO nelle equazioni dei moti relativi in un sistema in moto rotatorio uniforme!
Ci tengo anche a dire che non c'è nessuna approssimazione da fare, la sfera va considerata una sfera, e non un punto materiale! Della formula che hai scritto penso si salvi ben poco, prova a ripensarla da capo!
Ci tengo anche a dire che non c'è nessuna approssimazione da fare, la sfera va considerata una sfera, e non un punto materiale! Della formula che hai scritto penso si salvi ben poco, prova a ripensarla da capo!
"Giuly19":
Ci tengo anche a dire che non c'è nessuna approssimazione da fare, la sfera va considerata una sfera, e non un punto materiale!
Se vogliamo dire che forse l'esercizio non richiede di essere così raffinati allora sono d'accordo, però affermare che l'approssimazione non c'è mi pare azzardato.
L'approssimazione consiste nel fatto di considerare la forza centrifuga della sfera uguale a quella di un punto materiale di uguale massa posto al suo centro, ovvero $F_c = Mr\omega^2$.
Questo sarebbe corretto se il campo di accelerazione fosse uniforme, ma nel caso in esame invece la cosa non è lecita. La forza totale che agisce sulla sfera sarebbe difficile da calcolare in modo rigoroso, occorrerebbe fare un integrale di volume del tipo [tex]{F_c} = \rho {\omega ^2}\int_{Vol.sfera} {rdV}[/tex], dove r è la distanza di ciascun volumetto componente la sfera dall'asse di rotazione.
L'approssimazione di considerare masse concentrate è fatta quasi sempre, ad esempio nello studio dei pianeti quando la dimensione dell'orbita è molto maggiore della dimensione del pianeta. Ma in questo caso le dimensioni non sono così enormemente diverse, per cui in questo caso l'approssimazione scricchiola un po'.
Il procedimento per la soluzione rigorosa è un tantino più complesso, magari ne parliamo dopo che il problema sarà stato risolto con l'approssimazione di cui sopra.
Questo lo dico solo per evitare che si pensi che qualche post più sopra ho detto una cavolata (o almeno finché non mi si dimostra che ne sto dicendo tuttora, cosa peraltro non impossibile
)
Dai no, a questo punto hai ragione tu. Da quello che avevi scritto sembrava tutt'altro.
Comunque è qualcosa che chi ha scritto il problema non ha nemmeno pensato, perchè si vede che è fatto per essere risolto nel modo più semplice!
Comunque è qualcosa che chi ha scritto il problema non ha nemmeno pensato, perchè si vede che è fatto per essere risolto nel modo più semplice!
"Giuly19":
Dai no, a questo punto hai ragione tu. Da quello che avevi scritto sembrava tutt'altro.
Comunque è qualcosa che chi ha scritto il problema non ha nemmeno pensato, perchè si vede che è fatto per essere risolto nel modo più semplice!
Lo penso anch'io, però allora chi ha scritto il problema pretende da un lato che si trascuri la dimensione della sfera quando si deve calcolare il punto di equilibrio delle forze, ma invece vuole che si consideri le sue dimensioni quando si deve calcolare l'energia spesa dal motore...
Mah, sarà che io sono sempre troppo polemico nei confronti di chi scrive i testi dei problemi e cerco sempre il pelo nell'uovo, ma io penso che gli studenti abbiano già abbastanza difficoltà nel risolvere, per cui non si dovrebbe lasciare delle ambiguità nei testi che possano generare confusione.
La realtà è che scrivere il testo di un esercizio non è affatto semplice e molti "professori" sottovalutano tale compito. Ci vorrebbe una scuola anche per questo, e molti professori verrebbero bocciati.
Altri invece sono fin troppo bravi.. 
"Giuly19":
Altri invece sono fin troppo bravi..
Ma tu guly19, saresti in grado di trovare un metodo di soluzione rigorosa per questo problema? Io credo di averlo trovato però mi ferma l'algebra. Ad ogni modo riesci a immaginare un procedimento?
No no calma, forse non hai bene inquadrato le mie conoscenze di fisica, che si fermano all'esame di meccanica (primo semestre, primo anno XD).
Mi ritrovo con quello che hai detto, ma strumenti matematici quali gli integrali di volume e superficie mi sono ancora quasi totalmente oscuri!
Mi ritrovo con quello che hai detto, ma strumenti matematici quali gli integrali di volume e superficie mi sono ancora quasi totalmente oscuri!
"Giuly19":
No no calma, forse non hai bene inquadrato le mie conoscenze di fisica, che si fermano all'esame di meccanica (primo semestre, primo anno XD).
Mi ritrovo con quello che hai detto, ma strumenti matematici quali gli integrali di volume e superficie mi sono ancora quasi totalmente oscuri!
Niente di tutto questo, solo concetti di base di fisica 1.
E' un bel quiz, pensaci.
Ci ho pensato un po' meglio e secondo me non c'è in ogni caso nessuna approssimazione da fare. Domani magari scrivo la mia versione, comunque non c'è bisogno di considerare il fatto che la forza centrifuga varia in ogni punto grazie alla simmetria della sfera. Non è nemmeno così banale come avevo detto però, perchè il modo più veloce mi pare con la conservazione dell'energia, e c'è comunque un integrale da metterci se non sbaglio.
"Giuly19":
comunque non c'è bisogno di considerare il fatto che la forza centrifuga varia in ogni punto grazie alla simmetria della sfera
Temo che ti sbagli. La simmetria della sfera aiuterebbe se il campo di accelerazione pur aumentando con la distanza dall'asse avesse linee di campo parallele. Se assumiamo l'asse di rotazione come asse z e il piano di rotazione come piano x-y, e se facciamo coincidere l'asse y con la barra su cui scorre la sfera notiamo che sul piano yz le linee di campo sono parallele tra loro, dunque la simmetria qui potrebbe aiutare, mentre su tutti i piani paralleli a xy le linee di campo hanno andamento radiale con polo sul punto di proiezione dell'asse z, dunque la simmetria qui non aiuta. Resto della mia idea e se ho tempo svolgo con entrambi i metodi, quello approssimato e quello preciso, per vedere come cambia la posizione di equilibrio nei due casi.
Onestamente non vedo nessuna approssimazione in quell'equazione.
Se proprio volessimo calcolare la forza centrifuga con un integrale, sarebbe sbagliato sommare i diversi contributi senza tenere conto che sono vettori.
Data la simmetria, le forze centrifughe, in direzione radiale rispetto al centro di rotazione, si possono comporre a coppie per dare comunque una risultante diretta lungo l'asta.
L'integrale si può anche fare, didatticamente meritevole, ma prima bisogna prendere la componente della forza lungo l'asta, quella in direzione perpendicolare si cancella mediante un analogo termine di segno opposto dovuto alla simmetria.
Se non si facesse si commetterebbe un grave errore.
Ritengo però altrettanto meritevole fare notare come il processo di sintesi in fisica permetta di risparmiare conti e tempo.
Se proprio volessimo calcolare la forza centrifuga con un integrale, sarebbe sbagliato sommare i diversi contributi senza tenere conto che sono vettori.
Data la simmetria, le forze centrifughe, in direzione radiale rispetto al centro di rotazione, si possono comporre a coppie per dare comunque una risultante diretta lungo l'asta.
L'integrale si può anche fare, didatticamente meritevole, ma prima bisogna prendere la componente della forza lungo l'asta, quella in direzione perpendicolare si cancella mediante un analogo termine di segno opposto dovuto alla simmetria.
Se non si facesse si commetterebbe un grave errore.
Ritengo però altrettanto meritevole fare notare come il processo di sintesi in fisica permetta di risparmiare conti e tempo.
Già. 
Dato che stamattina ho avuto tempo, mi sono messo a controllare con metodo sintetico se le mie intuizioni di ieri circa la non liceità di assimilare la sfera a una massa concentrata posta a distanza x sull'asta erano vere. Ho usato un metodo sintetico saltando così qualunque pericolosa elucubrazione sugli integrali di volume.
Ebbene ho scoperto che avevo torto: la forza centrifuga, a conti fatti, appare esattamente equivalente a quella di una massa concentrata nel centro, a dispetto di apparenti problemi dovuti alla asimmetria del campo della accelerazione centrifuga.
Mi cospargo dunque il capo di cenere e concordo sul fatto che il metodo "semplice" è anche quello corretto e non risente di alcuna approssimazione. Questo a dimostrazione del fatto che non sempre le prime intuizioni sono buone consigliere.
Il metodo che ho usato è il seguente.
Prendo un corpo che può scorrere su una guida radiale (l'asta) che ruota attorno a un suo estremo, e lo pongo inizialmente a distanza x dal perno mantenendolo bloccato. Metto il sistema in rotazione alla velocità angolare $\omega$.
A questo punto l'energia cinetica è $E=1/2(I+Mx^2)\omega^2$, dove I è il momento di inerzia baricentrico del corpo e il fattore $Mx^2$ è l'incremento del momento di inerzia dovuto al teorema di Steiner.
Se adesso lascio che il corpo scivoli lungo la guida per un tratto dx, la forza centrifuga che effettua questo spostamento compie lavoro. Questo lavoro è la differenza tra l'energia cinetica iniziale e la nuova energia cinetica $E=1/2(I+M(x+dx)^2)(\omega+d\omega)^2$. La $d\omega$ si ottiene in funzione della dx imponendo conservazione di momento angolare.
Insomma trovo la forza centrifuga come derivata spaziale dell'energia.
Facendo questo calcolo si trova $F=Mx\omega^2$, il che dimostra l'equivalenza tra un corpo qualsiasi e un corpo puntiforme di uguale massa posto al suo centro di massa ai fini della forza centrifuga.
Almeno una volta nella vita è utile anche scoprire l'acqua calda, no?
Dato che stamattina ho avuto tempo, mi sono messo a controllare con metodo sintetico se le mie intuizioni di ieri circa la non liceità di assimilare la sfera a una massa concentrata posta a distanza x sull'asta erano vere. Ho usato un metodo sintetico saltando così qualunque pericolosa elucubrazione sugli integrali di volume.
Ebbene ho scoperto che avevo torto: la forza centrifuga, a conti fatti, appare esattamente equivalente a quella di una massa concentrata nel centro, a dispetto di apparenti problemi dovuti alla asimmetria del campo della accelerazione centrifuga.
Mi cospargo dunque il capo di cenere e concordo sul fatto che il metodo "semplice" è anche quello corretto e non risente di alcuna approssimazione. Questo a dimostrazione del fatto che non sempre le prime intuizioni sono buone consigliere.
Il metodo che ho usato è il seguente.
Prendo un corpo che può scorrere su una guida radiale (l'asta) che ruota attorno a un suo estremo, e lo pongo inizialmente a distanza x dal perno mantenendolo bloccato. Metto il sistema in rotazione alla velocità angolare $\omega$.
A questo punto l'energia cinetica è $E=1/2(I+Mx^2)\omega^2$, dove I è il momento di inerzia baricentrico del corpo e il fattore $Mx^2$ è l'incremento del momento di inerzia dovuto al teorema di Steiner.
Se adesso lascio che il corpo scivoli lungo la guida per un tratto dx, la forza centrifuga che effettua questo spostamento compie lavoro. Questo lavoro è la differenza tra l'energia cinetica iniziale e la nuova energia cinetica $E=1/2(I+M(x+dx)^2)(\omega+d\omega)^2$. La $d\omega$ si ottiene in funzione della dx imponendo conservazione di momento angolare.
Insomma trovo la forza centrifuga come derivata spaziale dell'energia.
Facendo questo calcolo si trova $F=Mx\omega^2$, il che dimostra l'equivalenza tra un corpo qualsiasi e un corpo puntiforme di uguale massa posto al suo centro di massa ai fini della forza centrifuga.
Almeno una volta nella vita è utile anche scoprire l'acqua calda, no?
io direi...
. fisso una terna (A,x1,x2,x3) (che chiamo FISSA) con origine in A, asse x1 lungo l'asta e asse x2 lungo l'asse di rotazione e x3 in modo che la terna sia ortogonale destra
. fisso una terna (A,y1,y2,y3) (MOBILE) solidale con l'asta, con y1 coincidente con l'asta, y2 con l'ase di rotazione e y3 in modo che sia destrorsa.
. se (C-A) è il vettore che individua il centro C della sfera rispetto alla terna fissa si ha: $(C-A) = s\hat{i}1 = y\hat{j}1$ dove con s ho indicato la coordinata di c rispetto il versore dell'asse x1, $\hat{i}1$ e con y la coordinata di C nel sistema mobile, quindi lungo l'asse y1 il cui versore è $\hat{j}1$
. derivo: $ d/(dt)(C-A) = dot(y)\hat(j)1 + vec(omega) xx (y\hat(j)1)$ e questa è la velocità
. derivo $ (d^2)/(dt^2)(c-A) = ddot(y)\hat(j)1 + vec(omega) xx (dot(y)\hat(j)1) + dot(vec(omega))xx(y\hat(j)1) + vec(omega) xx (dot(y)\hat(j)1) + vec(omega)xx(vec(omega)xx(y\hat(j)1)) $
poichè $omega=cost => dot(omega) = 0$ e poichè a regime c'è l'equilibrio ($omega=3 (rad)/s $) doventa:
$vec(a)a = vec(a)r + vec(a)t -> vec(a)r = -vec(a)t$
l'accelerazione relativa di C sarà:
$vec(a)r = -vec(a)t=-vec(omega)xx(vec(omega)xx(y\hat(j)1))$ svolgendo il prodotto: $vec(a)r = omega^2\hat(j)1$
quindi per l'equilibrio si deve avere (lungo y1 quindi proiettando su $\hat(j)1$) $omega^2*m*y - kP = 0$ dove con P ho indicato lo scostamento della molla dalla posizione di riposo: $P=yriposo - (d-y)$ dove con i dati del problema $yriposo=0.3, d=0.8$ la soluzione è $ y = ((d-yriposo)*k)/(k-m*omega^2)$ sostituendo mi viene $s=0,685$ circa
per il lavoro, per un bilancio energetico: $T-To = L$ con $To=0 e T=1/2*I*omega^2$ dove I = momento d'inerzia asta+sfera...
. fisso una terna (A,x1,x2,x3) (che chiamo FISSA) con origine in A, asse x1 lungo l'asta e asse x2 lungo l'asse di rotazione e x3 in modo che la terna sia ortogonale destra
. fisso una terna (A,y1,y2,y3) (MOBILE) solidale con l'asta, con y1 coincidente con l'asta, y2 con l'ase di rotazione e y3 in modo che sia destrorsa.
. se (C-A) è il vettore che individua il centro C della sfera rispetto alla terna fissa si ha: $(C-A) = s\hat{i}1 = y\hat{j}1$ dove con s ho indicato la coordinata di c rispetto il versore dell'asse x1, $\hat{i}1$ e con y la coordinata di C nel sistema mobile, quindi lungo l'asse y1 il cui versore è $\hat{j}1$
. derivo: $ d/(dt)(C-A) = dot(y)\hat(j)1 + vec(omega) xx (y\hat(j)1)$ e questa è la velocità
. derivo $ (d^2)/(dt^2)(c-A) = ddot(y)\hat(j)1 + vec(omega) xx (dot(y)\hat(j)1) + dot(vec(omega))xx(y\hat(j)1) + vec(omega) xx (dot(y)\hat(j)1) + vec(omega)xx(vec(omega)xx(y\hat(j)1)) $
poichè $omega=cost => dot(omega) = 0$ e poichè a regime c'è l'equilibrio ($omega=3 (rad)/s $) doventa:
$vec(a)a = vec(a)r + vec(a)t -> vec(a)r = -vec(a)t$
l'accelerazione relativa di C sarà:
$vec(a)r = -vec(a)t=-vec(omega)xx(vec(omega)xx(y\hat(j)1))$ svolgendo il prodotto: $vec(a)r = omega^2\hat(j)1$
quindi per l'equilibrio si deve avere (lungo y1 quindi proiettando su $\hat(j)1$) $omega^2*m*y - kP = 0$ dove con P ho indicato lo scostamento della molla dalla posizione di riposo: $P=yriposo - (d-y)$ dove con i dati del problema $yriposo=0.3, d=0.8$ la soluzione è $ y = ((d-yriposo)*k)/(k-m*omega^2)$ sostituendo mi viene $s=0,685$ circa
per il lavoro, per un bilancio energetico: $T-To = L$ con $To=0 e T=1/2*I*omega^2$ dove I = momento d'inerzia asta+sfera...
E l'energia per comprimere la molla?
dimenticata
cosa sarà, un termine aggiuntivo del tipo $Vm(P) = 1/2kP^2$
cosa sarà, un termine aggiuntivo del tipo $Vm(P) = 1/2kP^2$
La solita formula dell'energia potenziale.
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