Problema Corpo rigido
Salve ragazzi stavo cercando di risolvere questo esercizio, essendo il primo approccio a questo nuovo capitolo relativo ai corpi rigidi mi sento un po spaesato 
Un'asta omogenea di lunghezza $L$ e massa $m$ è appesa al sotto nel punto $A$ e può oscillare senza attrito nel piano verticale. All'altro estremo dell'asta, $B$, è saldata una sfera di massa $M$ e raggio $R$. Nel punto medio dell'asta è collegata una molla ideale che all'altro estremo è fi ssata alla parete verticale ad altezza $L/2$. La molla ha costante elastica non nota e lunghezza a riposo nulla. Inizialmente il sistema è in equilibrio e l'asta forma un angolo di $30°$ con l'asse verticale.
Calcolare la costante elastica della molla affinchè il sistema resti in equilibrio.
Affinchè ci sia equilibrio la risultante delle forze $R$ deve essere nulla. Cosi come la risultante dei momenti $M$ delle forze.
Pensavo di calcolare il centro di massa del sistema, dopodichè le forze agenti sono la forza peso nel centro di massa, e la forza elastica applicata nel punto medio dell'asta, che però non capisco com'è diretta. Come idea è corretta? Nell'estremo A agisce qualche altra forza?
Ringrazio chi saprà darmi qualche consiglio
Un'asta omogenea di lunghezza $L$ e massa $m$ è appesa al sotto nel punto $A$ e può oscillare senza attrito nel piano verticale. All'altro estremo dell'asta, $B$, è saldata una sfera di massa $M$ e raggio $R$. Nel punto medio dell'asta è collegata una molla ideale che all'altro estremo è fi ssata alla parete verticale ad altezza $L/2$. La molla ha costante elastica non nota e lunghezza a riposo nulla. Inizialmente il sistema è in equilibrio e l'asta forma un angolo di $30°$ con l'asse verticale.
Calcolare la costante elastica della molla affinchè il sistema resti in equilibrio.
Affinchè ci sia equilibrio la risultante delle forze $R$ deve essere nulla. Cosi come la risultante dei momenti $M$ delle forze.
Pensavo di calcolare il centro di massa del sistema, dopodichè le forze agenti sono la forza peso nel centro di massa, e la forza elastica applicata nel punto medio dell'asta, che però non capisco com'è diretta. Come idea è corretta? Nell'estremo A agisce qualche altra forza?
Ringrazio chi saprà darmi qualche consiglio
Risposte
Forza della molla diretta come OD
Nel punto A agisce la reazione del piano e della parete, ma se scrivi l'equilibrio del momento delle forze rispetto ad A, queste reazioni incognite non appaiono e te la cavi con poco
Nel punto A agisce la reazione del piano e della parete, ma se scrivi l'equilibrio del momento delle forze rispetto ad A, queste reazioni incognite non appaiono e te la cavi con poco
La forza elastica è diretta come la molla OD; che altra direzione dovrebbe avere?
Poi basta che consideri i momenti rispetto ad A. La reazione in A non contribuisce al momento, e comunque metterà in pareggio le forze
Poi basta che consideri i momenti rispetto ad A. La reazione in A non contribuisce al momento, e comunque metterà in pareggio le forze
PS. Non conviene perder tempo a calcolare la posizione del baricentro: fai conti in piu' inutilmente (anche se come ragionamento e' corretto)
Tratta le 2 forze peso sbarra e massa come forze separate. Posta i calcoli che te li verifichiamo
Tratta le 2 forze peso sbarra e massa come forze separate. Posta i calcoli che te li verifichiamo
Il momento della forza peso sulla sbarra rispetto al polo $A$ dovrebbe essere $mgl/2 sen\theta$
Il momento della forza elastica rispetto ad $A$ dovrebbe essere: $kl^2/4 sen\theta$
e quello della forza peso sulla massa $M$ dovrebbe essere $Mg(lsen\theta - Rcos\theta)$
Dopodichè imposto la condizione di equilibrio dei momenti e ricavo k.
I Calcoli fatti relativi ai momenti sono corretti?
Ne approfitto sempre per ringraziare per il tempo dedicatomi
Il momento della forza elastica rispetto ad $A$ dovrebbe essere: $kl^2/4 sen\theta$
e quello della forza peso sulla massa $M$ dovrebbe essere $Mg(lsen\theta - Rcos\theta)$
Dopodichè imposto la condizione di equilibrio dei momenti e ricavo k.
I Calcoli fatti relativi ai momenti sono corretti?
Ne approfitto sempre per ringraziare per il tempo dedicatomi
Attento al momento della molla.
La lunghezza della molla e' $L/2sintheta/2$. E la direzione non e' ortogonale alla sbarra...
Il momento del peso del disco e' da rivedere anche mi sembra
La lunghezza della molla e' $L/2sintheta/2$. E la direzione non e' ortogonale alla sbarra...
Il momento del peso del disco e' da rivedere anche mi sembra
"professorkappa":
Attento al momento della molla.
La lunghezza della molla e' $L/2sintheta/2$. E la direzione non e' ortogonale alla sbarra...
Il momento del peso del disco e' da rivedere anche mi sembra
Io ho considerato la lunghezza della molla come la base di un triangolo isoscele di lato obliquo $L/2$, mi son tracciato l'altezza del triangolo isoscele (che poi sarà il braccio del momento della forza)
E applicando la trigonometria ottengo che metà lunghezza della molla è uguale a $L/2 sen(\theta/2)$ da cui l'intera lunghezza è $2 L/2 sen(\theta/2)$
Poi ho calcolato l'altezza del triangolo isoscele $l/2 cos(\theta//2)$ da cui il momento della forza elastica é:
$M = k * 2 L/2 sen(\theta/2) * L/2 cos(\theta/2)$
e poichè $2*sen(\theta/2) * cos(\theta/2) = sen(\theta)$ , da qui la mia precedente affermazione.
Dove sbaglio?
Va bene allora. Avevo visto $theta$ e mi ero insospettito ma non avevo fatto i conti.
Che mi dici del momento del peso del disco?
Che mi dici del momento del peso del disco?
"professorkappa":
Va bene allora. Avevo visto $theta$ e mi ero insospettito ma non avevo fatto i conti.
Che mi dici del momento del peso del disco?
Per il momento della forza peso della sfera ho scomposto la figura nel modo seguente:
A me interessa il segmento $AE$, mi son calcolato $BF$ come $BF = (BC)/tan(\theta)$
Dopodichè il lato $AF= AB - BF = L - R/tan(\theta)$
Poi ho applicato la trigonometria al triangolo $AFE$
da qui $AE = AF sen(\theta) = (L - R/tan(\theta))*sen(\theta)$
Ed il mio momento sarà $M_M = Mg*AE = Mg(Lsen(\theta) - Rcos(\theta))$
Si.
Pero' semplificati la vita: la forza peso della sfera ha una componente ortogonale all'asta $Mgsintheta$ e una componente parallela all'asta $Mgcostheta$.
Rispetto ad A, la prima componente ha braccio L e determina un momento $Mgsintheta*L$ (positivo), mentre la seconda ha braccio R e fa momento (negativo) $MgcosthetaR$
Quindi la somma dei 2 momenti e' $Mgsintheta*L-MgcosthetaR$
Un po' piu' semplice, no?
Pero' semplificati la vita: la forza peso della sfera ha una componente ortogonale all'asta $Mgsintheta$ e una componente parallela all'asta $Mgcostheta$.
Rispetto ad A, la prima componente ha braccio L e determina un momento $Mgsintheta*L$ (positivo), mentre la seconda ha braccio R e fa momento (negativo) $MgcosthetaR$
Quindi la somma dei 2 momenti e' $Mgsintheta*L-MgcosthetaR$
Un po' piu' semplice, no?
"professorkappa":
Si.
Pero' semplificati la vita: la forza peso della sfera ha una componente ortogonale all'asta $Mgsintheta$ e una componente parallela all'asta $Mgcostheta$.
Rispetto ad A, la prima componente ha braccio L e determina un momento $Mgsintheta*L$ (positivo), mentre la seconda ha braccio R e fa momento (negativo) $MgcosthetaR$
Quindi la somma dei 2 momenti e' $Mgsintheta*L-MgcosthetaR$
Un po' piu' semplice, no?
Decisamente, non solo più semplice ma anche più elegante.
Sai che in tutti gli esempi che ho visto, non mi è mai capitato di vedere il momento calcolato in questo modo? Lieto che tu me l'abbia mostrato.
Quindi giustamente facendo questa stessa osservazione per il momento della forza elastica, ho che la componente della forza elastica ortogonale alla sbarra è $k*x*L/2 cos(\theta/2)$ con $x$ lunghezza della molla che ho calcolato come prima.
Ne approfitto per estendere l'esercizio.
Supponiamo che ad un certo istante la molla si rompa e volessi determinare la velocità nel momento di impatto al suolo.
Qui potrei applicare la conservazione dell'energia?
"M.C.D.":
Quindi giustamente facendo questa stessa osservazione per il momento della forza elastica, ho che la componente della forza elastica ortogonale alla sbarra è $k*x*L/2 cos(\theta/2)$ con $x$ lunghezza della molla che ho calcolato come prima.
E' per quello che di primo acchito ho pensato che avessi sbagliato la soluzione: mi apsettavo di vedere un termine con $cos(theta/2)$
"M.C.D.":
Ne approfitto per estendere l'esercizio.
Supponiamo che ad un certo istante la molla si rompa e volessi determinare la velocità nel momento di impatto al suolo.
Qui potrei applicare la conservazione dell'energia?
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Certamente si.
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