Problema Corpo Rigido

[lawrencepad]

Una macchina di Atwood è costituita da due masse $m1$ e $m2 = 2m1$ e collegate tramite un filo ideale attorno a una carrucola di massa $M$ e raggio $R$.
Si trovi
a) l’accelerazione del sistema e
b) la relazione tra la tensione del filo ai due lati della carrucola.


Ho qualche dubbio.. la tensione sia dalla parte destra che sinistra bilancia le forze peso delle due masse, quindi sarei tentato di fare il solito sistemino da cui ricavarsi l'accelerazione totale del sistema, ma la mia domanda è: perché allora mi da anche indicazioni sulla massa della carrucola e il suo raggio? li devo utilizzare per trovare il centro di massa del sistema?

[Shackle]

la tensione sia dalla parte destra che sinistra bilancia le forze peso delle due masse

Non è mica vero. Se la tensione nel filo che tiene una massa fosse uguale al peso, la massa o sarebbe in quiete o si muoverebbe a velocità costante. Invece le due masse accelerano, una verso il basso e una verso l'alto, l'accelerazione ha lo stesso modulo, ed è legata alla accelerazione angolare della puleggia . Non devi trovare il centro di massa, devi trovare l'accelerazione detta. E pure le tensioni nei due fili, che sono diverse.

[mgrau]

C'è in gioco il momento d'inerzia della carrucola. E' per questo che ti danno indicazioni su massa e raggio...

[Shackle]

Se gli studenti usassero la funzione "cerca" messa a disposizione nel sito, troverebbero discussioni già fatte molte volte, su un dato argomento . Cosí ho fatto , e ho trovato "almeno" un paio di discussioni sulla macchina di Atwood. Copio una risposta breve , ed una più lunga ( si suppone $m_1>m_2$ , ma basta scambiare i termini nel caso contrario ) :

1)massa della carrucola trascurabile
$ { ( m_1g-T=m_1a ),( T-m_2g=m_2a ):} $
2) massa della carrucola non trascurabile
$ { ( m_1g-T_1=m_1a ),( T_2-m_2g=m_2a ),( (T_1-T_2)r=Ialpha=Ia/r ):} $

E quest'altra :

Il problema delle due masse $m_1>m_2$ collegate da un filo perfettamente "flessibile e inestensibile" (per ipotesi) che passa in una carrucola di massa non trascurabile $M$ si risolve in vari modi, ad es col principio di conservazone dell'energia, o con la seconda equazione della Dinamica : un momento di forze esterne applicate ad un sistema causa la variazione del momento angolare del sistema.
Ci si riferisce all'asse di rotazione fisso della puleggia, dotata di massa, per calcolare momento angolare e momento delle forze esterne . Scritta in forma scalare, proiettando i vettori su tale asse, si ha dunque:

$M_e = (dL)/(dt)$

Calcoliamo i vari termini : $M_e = m_1*g*r - m_2*g*r = (m_1 - m_2)gr$

$L = I*dot\theta + m_1*v*r + m_2*v*r$

Dove : $I = 1/2Mr^2$ è il momento di inerzia assiale della puleggia, e la velocità delle masse ha lo stesso modulo perchè il filo è inestensibile. Derivando rispetto al tempo, si ha :

$(dL)/(dt) = I* ddot\theta + (m_1 + m_2)*a*r = I*a/r + (m_1 + m_2)*a*r = (I/r^2 + m_1 + m_2) *a*r $

L'accelerazione lineare del filo e delle masse collegate è legata all'accelerazione angolare della puleggia dalla condizione : $ddot\theta = a/r$.

Uguagliando si ha :

$(m_1 - m_2)gr = (I/r^2 + m_1 + m_2) *a*r $

da cui si ricava il valore dell'accelerazione, di modulo uguale per le due masse :

$a = (m_1 - m_2)/(I/r^2 + m_1 + m_2) * g $

Da notare che, per la massa non trascurabile della puleggia, al denominatore si aggiunge la quantità : $I/r^2 = 1/2M$ , cioè metà della massa della puleggia, rispetto al caso $M=0$ , cioè puleggia di massa trascurabile.

Per le tensioni nei due tratti , si ha :

$m_1g - T_1 = m_1*a$ , da cui : $ T_1 = m_1g*(2m_2 + 1/2M)/(m_1 + m_2 +1/2M)$

$T_2 - m_2g = m_2*a$ , da cui : $ T_2 = m_2g*(2m_1 + 1/2M)/(m_1 + m_2 +1/2M)$

Confrontando le tensioni, si vede che la prima è maggiore della seconda :

$T_1 - T_2 = 1/2M*(m_1 - m_2)/(m_1 + m_2 +1/2M) *g $

È ovvio che , se consideriamo "solo la puleggia" , la sua accelerazione angolare e quindi la variazione del "suo momento angolare" è data dal momento delle "forze esterne alla puleggia" : $(T_1 - T_2)*r = I*ddot\theta$ .

Detto altrimenti, per avere accelerazione angolare della puleggia, è necessario che ci sia un momento esterno, dato dalla differenza delle due tensioni per il raggio.

[lawrencepad]

Okay.. ma perché io se mi ricavo l'accelerazione dal primo sistemino (moto della prima massa, moto della seconda massa, moto della carrucola) giungo ad una accelerazione che non coincide con quella che tu ricavi col secondo metodo derivando il momento angolare?

[Shackle]

Certamente sbagli qualche passaggio . Il sistemino di 3 equazioni , che è riportato nella prima citazione col n.2) , è del tutto equivalente al procedimento dettagliato riportato nella seconda citazione .