Problema Conservazione Energia meccanica.

[m45511]

Un corpo di massa m=1kg viene lasciato cadere da un'altezza h?1.5m su una molla di costante elastica k=32.7 n/m con lunghezza a riposo pari a Lo=1m.
Calcolare di quanto si comprime la molla.

Per fare questo esercizio ho applicato il teorema di conservazione dell'energia meccanica:

$E_m(a)=E_m(b)$

Sapendo che l'energia meccanica è la somma dell'energia cinetica ($E_k) con l'energia potenziale ($E_p$) applico il prinicipio:

$E_k(a)+E_p(a)=E_k(b)+E_p(b)$

Siccome $E_k(a)=O$ ed $E_k(b)=0$ la relazione si riduce a:
$E_p(a)=E_P(b)$

Quindi $W=E_p(a)-E_P(b)$

Calcolo il lavoro della forza peso, l'unica agente su m:

$W=-mg(h-l_o)$

Sostituisco nella relazione sopra sapendo che l'energia potenziale della forza elastica è data da:

$E_k=1/2kx^2$

$-mg(h-l_o)=1/2kh^2-1/2kl_t^2$

Poi isolo $l_t$ e lo calcolo ma non mi esce. Sbagli sicuramente qualche cosa nell'impostazione, qualcuno può aiutarmi?
Grazie.

[VINX89]

L'energia potenziale gravitazionale si trasforma completamente in energia potenziale elastica+energia potenziale gravitazionale "residua".
L'equazione da impostare è quindi la seguente:

$mgh = mgl_t + 1/2 k (l_0 - l_t)^2$

[m45511]

Ti ringrazio per la risposta, adesso ti espongo meglio il mio dubbio:
Il mio libro distingue Energia Cinetica da Energia pottenziale in questo modo:

Partiamo dalla relazione infinitesima di lavoro $dw=F dx$ (dx indica uno spostamento infinitesimo)

Adesso calcolo l'energia Potenziale della forza elastica (conservativa)

$F=-kx$

Risolvo l'equazione differenziale $dw=-kx dx$

$w=int_(a)^(b) -kx dx$

porto $-k$ fuori essendo costante e risolvo l'integrale:

$ W= kx_a^2/2-kx_b^2/2$

Cosi sono arrivato alla definizione di lavoro come differenza di energia potenziale (valida solo per le forza conservative).

Il mio problema è che non riesco a capire la RELAZIONE che collega energia cinetica ad energia potenziale.
Da quanto ho capito per le forze conservative (il lavoro non cambia in funzione della traiettoria) vale sia l'energia potenziale che cinetica,
per le forze non conservative si usa solo l'energia cinetica, ma mi sfugge qualche cosa, qualche concetto che non mi permette di fare gli esercizi.
Mi potresti spiegare la relazione che intercorre tra questi due tipi di energia?

Grazie per l'aiuto

[VINX89]

Supponi di avere un corpo immerso in un campo di forze conservative. In primo luogo, il corpo avrà una energia potenziale (o configurazionale), funzione solo della posizione; in secondo luogo, per effetto della velocità (che può variare a seconda del sistema di riferimento), il corpo possiede una energia cinetica.
La somma delle due (come hai già detto tu) è uguale all'energia meccanica totale in un dato punto dello spazio occupato dal corpo in un certo istante:
$E=E_k + E_p$
La somma di queste due energie, cioè $E$, rimane costante nello spazio e nel tempo se le forze sono conservative. Ciò che può accadere è una trasformazione dell'energia potenziale in energia cinetica e viceversa, ma non una variazione della somma delle due energie (principio di conservazione dell'energia).
Considera ad esempio una massa attaccata ad una molla: nel centro di oscillazione $E_p=0$, mentre la velocità è massima: $E=E_k=1/2m(v_(max))^2$.
Agli estremi la massa è ferma, ovvero $E_k=0$, mentre l'energia potenziale è massima: $E=E_p=1/2k(x_(max))^2$
Per una posizione $x$ intermedia si ha $E=E_k+E_p=1/2mv^2+1/2kx^2$
Il calcolo che hai fatto tu è un caso particolare, quello della forza elastica: il fatto che il lavoro sia uguale alla variazione (cambiata di segno) dell'energia potenziale è un risultato generale, e si può considerare come definizione equivalente di forza conservativa. In realtà si dimostra che sono equivalenti le seguenti definizioni di forza conservativa:
-il lavoro non dipende dal percorso
-la circuitazione della forza lungo un qualunque percorso chiuso è nulla
-la forza si può sempre scrivere come meno gradiente dell'energia potenziale
-la forza è un campo vettoriale irrotazionale (in un dominio per $U$ semplicemente connesso)
-il lavoro infinitesimo è una forma differenziale esatta (o chiusa, cioè esatta localmente).
Come penso tu sappia, la variazione infinitesima di un campo scalare (a seguito di una variazione infinitesima delle coordinate posizionali) è detto "differenziale totale" e, in tre dimensioni, vale $dU=(delU)/(delx)dx+(delU)/(dely)dy+(delU)/(delz)dz=gradU*vec(dr)$.
L'energia potenziale è un esempio di campo scalare in tre dimensioni. Secondo una delle definizioni, $gradU=-vec(F)$, quindi $dU=-vec(F)*vec(dr)$
Il lavoro infinitesimo, quindi, si scrive come $dW=vec(F)*vec(dr)=-dU$ e, al finito, $W=U_a-U_b$ ($a$ è la posizione iniziale, $b$ quella finale).
D'altra parte, sfruttando la seconda legge di Newton è possibile ricavare il teorema dell'energia cinetica o delle forze vive, secondo cui il lavoro di una forza qualsiasi è pari alla variazione di energia cinetica; detto $gamma$ il percorso di integrazione, si ha infatti:
$W=int_(gamma) vec(F)*vec(dr)=int_(gamma) m (d^2vec(r))/(dt^2)*vec(dr)=int_(t_a)^(t_b) m(d^2vec(r))/(dt^2)*(dvec(r))/(dt)dt=int_(t_a)^(t_b) d(1/2 m ((dvec(r))/(dt))^2)=E_k(b)-E_k(a)$
Confrontando i due risultati si ha:
$W=U_a-U_b=E_k(b)-E_k(a)->U_a+E_k(a)=U_b+E_k(b)->E(a)=E(b)$;questa è l'espressione della conservazione dell'energia: in ogni punto dello spazio (in qualunque istante) la somma di energia cinetica e potenziale, ovvero l'energia meccanica totale, è costante (si conserva)

[m45511]

Grazie adesso mi è molto più chiaro!
Ti ringrazio ancora per il post lungo e impegnativo!
Alla prossima ciaoooo