Problema: conservazione energia e quantità di moto
ciao raga,
chi riesce a darmi una mano per questo esercizio? vorrei sapere quali formule usare e, se possibile, i passaggi spiegati per arrivare ai punti richiesti dall'esercizio. ho provato a farlo seguendo alcuni ragionamenti sulla conservazione dell'energia meccanica e sulla conservazione della quantità di moto ma non sono arrivato alla conclusione. è da stamattina che ci sbatto la testa senza risultati...
L'ESERCIZIO:
un'asta di legno (lunghezza = 40cm, sezione = 2cm^2, densità = 0,8g/cm^3) è libera di ruotare in un piano orizzontale attorno ad un' asse verticale passate per un suo estremo. un proiettile di massa 10g sparato orizzontalmente e perpendicolarmente alla direzione dell'asta con una velocità di modulo 200m/s, si conficca nell'estremo libero dell'asta.
supponendo che il proiettile rimanga conficcato nell'asta, calcolare:
1) il modulo dell'energia angolare con cui si mette in moto l'asta
2) l'energia cinetica persa nell'urto
3) il momento costante delle forze d'attrito che fermerebbe l'asta dopo averle fatto compiere 10giri
chi riesce a darmi una mano per questo esercizio? vorrei sapere quali formule usare e, se possibile, i passaggi spiegati per arrivare ai punti richiesti dall'esercizio. ho provato a farlo seguendo alcuni ragionamenti sulla conservazione dell'energia meccanica e sulla conservazione della quantità di moto ma non sono arrivato alla conclusione. è da stamattina che ci sbatto la testa senza risultati...
L'ESERCIZIO:
un'asta di legno (lunghezza = 40cm, sezione = 2cm^2, densità = 0,8g/cm^3) è libera di ruotare in un piano orizzontale attorno ad un' asse verticale passate per un suo estremo. un proiettile di massa 10g sparato orizzontalmente e perpendicolarmente alla direzione dell'asta con una velocità di modulo 200m/s, si conficca nell'estremo libero dell'asta.
supponendo che il proiettile rimanga conficcato nell'asta, calcolare:
1) il modulo dell'energia angolare con cui si mette in moto l'asta
2) l'energia cinetica persa nell'urto
3) il momento costante delle forze d'attrito che fermerebbe l'asta dopo averle fatto compiere 10giri
Risposte
Ciao lucalaspina, vedo che nessuno ti risponde, forse perchè non scrivi le formule in Latex e su questo sito ci tengono abbastanza! Prova a consultare questa guida: http://www.mat.uniroma1.it/centro-calco ... _latex.pdf , soprattuttto il capitolo “latex e la matematica”, che è molto semplice chiara. Mi raccomando!
Il problema sembra più brutto a vedersi che a risolversi! Proverò a spiegarti sperando di essere il più chiaro possibile ma senza sviluppare i calcoli che dovrai fare da solo. Innanzitutto saprai che chiamata la massa dell'asta $M$, la densità $\rho$, la lunghezza dell'asta $l$ e il suo volume $V$, la massa si può calcolare con la formula $M=\rho V$ ovverro $M=\rho S l$ dove con $S$ indichiamo la sezione. Oltre alla massa ci occorre calcolare il momento d'inerzia $I$ dell'asta rispetto all'asse posto dal problema. Usiamo la classica formula $I = \int x^2 dm$, nel nostro caso essendo $M=\rho S l$ ovvero $dM=\rho S dl$ diventa facendo coincidere l'asse $x$ con la lunghezza dell'asta e la sua estremità con l'origine $I = \rho S \int_0^l x^2 dx$, che risulta
$I=\frac{1}{3}\rho S l^3$ dunque $I=\frac{1}{3}Ml^2$. Ora chiamando con $m$ la massa del proiettile, $u$ la sua velocità, poiché vale la conservazione del momento angolare, eguagliamo i momenti prima e dopo l'urto ovvero $mlu=(I+ml^2)\omega$, da cui ricaviamo $\omega$. L'energia cinetica dopo l'urto sarà $K=\frac{1}{2}(I+ml^2)\omega^2$ che sostituendo $\omega$ risulta
$\frac{1}{2}\frac{m^2}{m+\frac{M}{3}}u^2$.
Evidentemente l'energia cinetica persa durante l'urto, sarà data dalla differenza di quella dopo e prima dell'urto, ovvero $\frac{1}{2}\frac{m^2}{m+\frac{M}{3}}u^2 - \frac{1}{2}m u^2$.
Il momento costante delle forze d'attrito, lo calcoli uguagliando il lavoro necessario a fermare l'asta dopo 10 giri alla differenza di energia cinetica dopo e prima di 10 giri ($0-K$ teorema delle forze vive); dunque essendo $L=\tau\Delta\theta$, da $\tau\Delta\theta=-\frac{1}{2}\frac{m^2}{m+\frac{M}{3}}u^2$, dove $\Delta\theta=20\pi$ ricavi $\tau$, che è il momento che cercavi. Spero di essere stato abbastanza chiaro e di non avere fatto pasticci nei conti!
Dimenticavo di dirti che, secondo le regole del forum, il titolo del post non andrebbe scritto in stampatello! Ogni forum ha le sue regole!
Il problema sembra più brutto a vedersi che a risolversi! Proverò a spiegarti sperando di essere il più chiaro possibile ma senza sviluppare i calcoli che dovrai fare da solo. Innanzitutto saprai che chiamata la massa dell'asta $M$, la densità $\rho$, la lunghezza dell'asta $l$ e il suo volume $V$, la massa si può calcolare con la formula $M=\rho V$ ovverro $M=\rho S l$ dove con $S$ indichiamo la sezione. Oltre alla massa ci occorre calcolare il momento d'inerzia $I$ dell'asta rispetto all'asse posto dal problema. Usiamo la classica formula $I = \int x^2 dm$, nel nostro caso essendo $M=\rho S l$ ovvero $dM=\rho S dl$ diventa facendo coincidere l'asse $x$ con la lunghezza dell'asta e la sua estremità con l'origine $I = \rho S \int_0^l x^2 dx$, che risulta
$I=\frac{1}{3}\rho S l^3$ dunque $I=\frac{1}{3}Ml^2$. Ora chiamando con $m$ la massa del proiettile, $u$ la sua velocità, poiché vale la conservazione del momento angolare, eguagliamo i momenti prima e dopo l'urto ovvero $mlu=(I+ml^2)\omega$, da cui ricaviamo $\omega$. L'energia cinetica dopo l'urto sarà $K=\frac{1}{2}(I+ml^2)\omega^2$ che sostituendo $\omega$ risulta
$\frac{1}{2}\frac{m^2}{m+\frac{M}{3}}u^2$.
Evidentemente l'energia cinetica persa durante l'urto, sarà data dalla differenza di quella dopo e prima dell'urto, ovvero $\frac{1}{2}\frac{m^2}{m+\frac{M}{3}}u^2 - \frac{1}{2}m u^2$.
Il momento costante delle forze d'attrito, lo calcoli uguagliando il lavoro necessario a fermare l'asta dopo 10 giri alla differenza di energia cinetica dopo e prima di 10 giri ($0-K$ teorema delle forze vive); dunque essendo $L=\tau\Delta\theta$, da $\tau\Delta\theta=-\frac{1}{2}\frac{m^2}{m+\frac{M}{3}}u^2$, dove $\Delta\theta=20\pi$ ricavi $\tau$, che è il momento che cercavi. Spero di essere stato abbastanza chiaro e di non avere fatto pasticci nei conti!
Dimenticavo di dirti che, secondo le regole del forum, il titolo del post non andrebbe scritto in stampatello! Ogni forum ha le sue regole!
"papageno":
Ciao lucalaspina, vedo che nessuno ti risponde, forse perchè non scrivi le formule in Latex e su questo sito ci tengono abbastanza! Prova a consultare questa guida: http://www.mat.uniroma1.it/centro-calco ... _latex.pdf , soprattuttto il capitolo “latex e la matematica”, che è molto semplice chiara. Mi raccomando![...]
Dimenticavo di dirti che, secondo le regole del forum, il titolo del post non andrebbe scritto in stampatello! Ogni forum ha le sue regole!
Per il LaTeX c'è una guida più sintetica qui:
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
(su questo forum si possono usare vari linguaggi per scrivere le formule, derivati dal LaTeX e più semplici). Il titolo in stampatello invece va rimosso subito da lucalaspina. Sostituiscilo con un titolo che spieghi bene l'argomento della discussione e non una cosa generica tipo "problema di fisica 1". Per esempio, va bene dire: "problema sulla conservazione dell'energia e della quantità di moto".
Mi raccomando, segui queste istruzioni. Grazie.
"papageno":
. Ora chiamando con $m$ la massa del proiettile, $u$ la sua velocità, poiché vale la conservazione del momento angolare, eguagliamo i momenti prima e dopo l'urto ovvero *$mlu=(I+ml2)ω$
innanzi tutto ti ringrazio moltissimo per il tuo aiuto, sei stato chiarissimo! l'unico dubbio che ho è *sopra. non capisco perchè si utilizza $mlu$ dove $l$ rappresenta la lunghezza della sbarra!
volevo chiederti pure se è sbagliato utilizzare la formula della conservazione del moto dell'urto completamente anaelastico $m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v$. questa formula $v_2=0$ perchè la sbarra è ferma e quindi l'unica incognita sarebbe $v$ ovvero la velocità del sistema sbarra/proiettile. successivamente prendo in considerazione la formula del moto circolare $w=v/r$ dove $v$ è la velocità che ho ricavato dal passaggio fatto prima e $r$ è la lunghezza della sbarra $l$ (quindi $r=l$)..
...sarebbe sbagliato risolvere in questo modo? vi ringrazio ancora per l'aiuto e spero che stavolta le formule le ho scritte giuste!
Ciao, per rispondere alla tua prima domanda, parto dalla definizione di momento angolare:$ vec L = vec r \times m vec v $; ora se noi ci poniamo in un sistema di riferimento in cui l'origine corrisponda al punto in cui è vincolata l'asta (polo) e allineiamo la lunghezza dell'asta con l'asse x, dovrebbe risultare chiaro dal disegno che il vettore $ vec u$ è perpendicolare all'asta (e diretto lungo l'asse y cui possiamo assegnare un versore ad es. $ vec j$), ovvero all'asse x. Ma la lunghezza dell'asta lungo l'asse x (moltiplicata per un versore unitario ad es. $ vec i$) è proprio $ vec r$, dunque la formula che ho scritto sopra diventa: $ vec L = l vec i \times m u vec j $ ma essendo i due vettori tra loro perpendicolari ottengo $ vec L = mlu vec k$ ($ vec k$ versore asse z). Spero di essere stato abbastanza chiaro, mi spiace di non sapere fare i disegni con latex, ma dovrebbero bastare i versori a fare capire la situazione.
La tua seconda domanda è importante. Se l'asta non fosse vincolata ad un punto, il metodo che hai usato sarebbe giustissimo, perchè varrebbe la conservazione della quantità di moto; ma nel nostro caso, essendo l'asta vincolata, durante il moto agisce una forza esterna di tipo impulsivo (causata dal vincolo), quindi non si conserva la quantità di moto, per cui non puoi usare quel metodo; io ho sfruttato il fatto che il momento angolare delle forze vincolari è nullo rispetto al polo, quindi il momento angolare si conserva.
Dimmi se ti è tutto chiaro, che ormai ci tengo! Mi raccomando!
La tua seconda domanda è importante. Se l'asta non fosse vincolata ad un punto, il metodo che hai usato sarebbe giustissimo, perchè varrebbe la conservazione della quantità di moto; ma nel nostro caso, essendo l'asta vincolata, durante il moto agisce una forza esterna di tipo impulsivo (causata dal vincolo), quindi non si conserva la quantità di moto, per cui non puoi usare quel metodo; io ho sfruttato il fatto che il momento angolare delle forze vincolari è nullo rispetto al polo, quindi il momento angolare si conserva.
Dimmi se ti è tutto chiaro, che ormai ci tengo! Mi raccomando!
"papageno":
...Dimmi se ti è tutto chiaro, che ormai ci tengo! Mi raccomando!
tutto chiarissimo
ti ringrazio moltissimo per i dubbi che mi hai risolto! prima parte dell'esame passato con 28
grazie ancora! finalmente adesso saprò dove rivolgermi
buon weekend a tutti raga!
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