Problema condensatori
Ciao a tutti, per la risoluzione di questo problema stavo pensando di utilizzare questa formula:
B=mu 0 i r/2pigreco R^2 per i punti a e b.
Mentre un condensatore a piatti paralleli con armature circolari di diametro 20 cm viene caricato, la densità di corrente di spostamento nella regione tra le armature è uniforme e ha un’intensità di 20 A/m2.
(a) Si calcoli l’intensità B del campo magnetico a distanza r = 50 mm dall’asse di simmetria della regione.
(b) Si calcoli dE/dt in questa regione.
(c) Si calcoli inoltre l’intensità B del campo magnetico a distanza r = 12 cm dall’asse di simmetria della regione.
Il punto b l'ho risolto applicando dE/dT=Js/epsilon 0, è giusto?
B=mu 0 i r/2pigreco R^2 per i punti a e b.
Mentre un condensatore a piatti paralleli con armature circolari di diametro 20 cm viene caricato, la densità di corrente di spostamento nella regione tra le armature è uniforme e ha un’intensità di 20 A/m2.
(a) Si calcoli l’intensità B del campo magnetico a distanza r = 50 mm dall’asse di simmetria della regione.
(b) Si calcoli dE/dt in questa regione.
(c) Si calcoli inoltre l’intensità B del campo magnetico a distanza r = 12 cm dall’asse di simmetria della regione.
Il punto b l'ho risolto applicando dE/dT=Js/epsilon 0, è giusto?
Risposte
"Fra1994":
Ciao a tutti, per la risoluzione di questo problema stavo pensando di utilizzare questa formula:
B=mu 0 i r/2pigreco R^2
$B=(\mu_0 i r)/(2\pi R^2 )$
Certo, per il punto a), vista la simmetria assiale del problema e visto che r < R, potrai andare a considerare il campo magnetico uguale a quello presente internamente ad un conduttore percorso da corrente , qui l'unica differenza è che fra le armature la corrente di conduzione viene a essere sostituita dalla corrente di spostamento.
Per il punto b) basterà ricordare la legge che lega la corrente di spostamento al flusso del campo elettrico o ancora, più semplicemente, l'equazione costitutiva del bipolo condensatore.
Per il punto c) , visto che r > R, userai la classica legge di Biot e Savart.
ok grazie mille, ci sono arrivato da solo alla fine 
l'unico dubbio riguardava l'utilizzo tra l''intensità e la corrente di spostamento e me l'hai chiarito! grazie
edit:
per il punto b la formula è questa?
Js = epsilon 0 x dE/dT
l'unico dubbio riguardava l'utilizzo tra l''intensità e la corrente di spostamento e me l'hai chiarito! grazieedit:
per il punto b la formula è questa?
Js = epsilon 0 x dE/dT
Si, e come dicevo, oltre che direttamente dalla legge di Ampère-Maxwell, te lo puoi ricavare anche dall' equazione costitutiva del condensatore
$i_c=i_s=C\frac{dv_C }{d t}=\frac{\epsilon_0S}{d}\frac{ d(E_Cd) }{d t}$
e di conseguenza
$J_s=i_s/S=\epsilon_0\frac{ dE_C }{d t}$
$i_c=i_s=C\frac{dv_C }{d t}=\frac{\epsilon_0S}{d}\frac{ d(E_Cd) }{d t}$
e di conseguenza
$J_s=i_s/S=\epsilon_0\frac{ dE_C }{d t}$
e qualora le armature fossero quadrate?
Un condensatore a piatti piani paralleli ha armature quadrate di lato 12cm e viene caricato con una
corrente di 1.6 A, stabilendo tra le armature un campo elettrico uniforme perpendicolare ai piatti. a)
Qual'e la corrente di spostamento nella regione tra le armature? b) Quanto vale dE/dt in tale regione.
a)Js = epsilon 0 x Area x i
dove i = dE/dT
e quindi per il punto b dE/dT = Js / epsilon 0 x A
è così?
Un condensatore a piatti piani paralleli ha armature quadrate di lato 12cm e viene caricato con una
corrente di 1.6 A, stabilendo tra le armature un campo elettrico uniforme perpendicolare ai piatti. a)
Qual'e la corrente di spostamento nella regione tra le armature? b) Quanto vale dE/dt in tale regione.
a)Js = epsilon 0 x Area x i
dove i = dE/dT
e quindi per il punto b dE/dT = Js / epsilon 0 x A
è così?
No, come potrebbe?
Come detto in precedenza $J_s$ è la densità di corrente di spostamento, forse ti ho confuso io con quel "Si" nel post [1758], ma penso di aver chiarito con le successive relazioni.
Ad ogni modo, per il condensatore quadrato, nulla cambia rispetto a quello con armature circolari a parte l'impossibilità di determinare analiticamente il campo magnetico come fatto in precedenza, se non (in via approssimata) per distanze di almeno un ordine di grandezza superiori alla diagonale del quadrato, in quanto ora manca la simmetria assiale.
BTW Sarebbe "conveniente" che tu cominciassi a scrivere le formule in codice Tex; oltre ad usare "Aggiungi formula", vedi (per esempio) anche questo editor online
https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
Come detto in precedenza $J_s$ è la densità di corrente di spostamento, forse ti ho confuso io con quel "Si" nel post [1758], ma penso di aver chiarito con le successive relazioni.
Ad ogni modo, per il condensatore quadrato, nulla cambia rispetto a quello con armature circolari a parte l'impossibilità di determinare analiticamente il campo magnetico come fatto in precedenza, se non (in via approssimata) per distanze di almeno un ordine di grandezza superiori alla diagonale del quadrato, in quanto ora manca la simmetria assiale.
BTW Sarebbe "conveniente" che tu cominciassi a scrivere le formule in codice Tex; oltre ad usare "Aggiungi formula", vedi (per esempio) anche questo editor online
https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
allora, aspetta, ricapitolando.
Per il primo problema ho utilizzato queste formule per i seguenti punti:
a) $B=(\mu_0 i r)/(2\pi R^2 )$
b) $J_s=(\i_s)/(S) $, trovo la superficie con $S=(\pi r )$ e infine sapendo che $J_s=(\epsilon_0) (S) (dE)/(dT) $, ricavo che $(dE)/(dT)=(\j_s)/((epsilon_0) (S)) $
c) $B=(\mu_0 i)/(2\pi R )$
per il secondo non ti sto seguendo, per il punto b pensavo di utilizzare la stessa formula che ho utilizzato nel punto b del primo problema (a eccezione dell'area), per il punto a invece non ho capito..
Per il primo problema ho utilizzato queste formule per i seguenti punti:
a) $B=(\mu_0 i r)/(2\pi R^2 )$
b) $J_s=(\i_s)/(S) $, trovo la superficie con $S=(\pi r )$ e infine sapendo che $J_s=(\epsilon_0) (S) (dE)/(dT) $, ricavo che $(dE)/(dT)=(\j_s)/((epsilon_0) (S)) $
c) $B=(\mu_0 i)/(2\pi R )$
per il secondo non ti sto seguendo, per il punto b pensavo di utilizzare la stessa formula che ho utilizzato nel punto b del primo problema (a eccezione dell'area), per il punto a invece non ho capito..
"Fra1994":
... a) $B=(\mu_0 i r)/(2\pi R^2 )$
Ok, per $r < R$, con raggio generico $r$, raggio dell'armatura $R$ e intensità di corrente $i$ ; posso chiederti da dove arriva quella relazione?
"Fra1994":
... b) $J_s=(\i_s)/(S) $, trovo la superficie con $S=(\pi r )$ e infine sapendo che $J_s=(\epsilon_0) (S) (dE)/(dT) $, ricavo che $(dE)/(dT)=(\j_s)/((epsilon_0) (S)) $
Visto che ti forniscono già la densità di corrente di spostamento, ricordando la legge di Ampère-Maxwell
$\nabla \times \vec B=\mu_0(\vec J_c+\vec J_s)=\mu_0(\vec J_c+ \epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t})$
visto che fra le armature la densità di corrente di conduzione $\vec J_c$ è nulla, avrai che
$\frac{\ d E}{\ d t}=J_s/\epsilon _0 $
"Fra1994":
... c) $B=(\mu_0 i)/(2\pi R )$
Visto che in questo caso r > R , direi
$B=(\mu_0 i)/(2\pi r )$
ovvero un campo inversamente proporzionale alla generica distanza $r$ dall'asse del condensatore.
"Fra1994":
... per il secondo non ti sto seguendo, per il punto b pensavo di utilizzare la stessa formula che ho utilizzato nel punto b del primo problema (a eccezione dell'area), per il punto a invece non ho capito..
Per il condensatore ad armature quadrate
a) La corrente di spostamento è uguale alla corrente di conduzione e di conseguenza visto che il condensatore viene caricato con una corrente di 1.6 ampere, ovvero attraverso un generatore di corrente ideale, basterà scrivere
$i_s=i_c=16 A$
b) In questo caso, disponendo della corrente potremo passare alla densità di corrente, e detta $a=12 cm$ la lunghezza del lato, avremo
$J_s=i_s/S=i_s/a^2$
e quindi ancora direttamente da Ampère-Maxwell
$\frac{\ d E}{\ d x}=J_s/\epsilon _0 =\frac{i}{a^2\epsilon _0}$
ma anche, equivalentemente, potrai ricavarti la derivata temporale del campo elettrico considerando che una corrente di carica costante porterà ad un aumento lineare della tensione ai morsetti del condensatore
$v=q/C=it/C=(itd)/(\epsilon_0a^2)$
dove $d$ è la distanza fra le armature; ed infine
$E=v/d=(it)/(\epsilon_0a^2)$
che derivato rispetto al tempo porta allo stesso valore.
"RenzoDF":
[quote="Fra1994"] ... a) $B=(\mu_0 i r)/(2\pi R^2 )$
Ok, per $r < R$, con raggio generico $r$, raggio dell'armatura $R$ e intensità di corrente $i$ ; posso chiederti da dove arriva quella relazione?
sinceramente non ricordo, l'ho trovata su un formulario online e ragionandoci un pò sopra ho capito che dovevo utilizzare quella per formula poiché $r < R$
"Fra1994":
... b) $J_s=(\i_s)/(S) $, trovo la superficie con $S=(\pi r )$ e infine sapendo che $J_s=(\epsilon_0) (S) (dE)/(dT) $, ricavo che $(dE)/(dT)=(\j_s)/((epsilon_0) (S)) $
Visto che ti forniscono già la densità di corrente di spostamento, ricordando la legge di Ampère-Maxwell
$\nabla \times \vec B=\mu_0(\vec J_c+\vec J_s)=\mu_0(\vec J_c+ \epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t})$
visto che fra le armature la densità di corrente di conduzione $\vec J_c$ è nulla, avrai che
$\frac{\ d E}{\ d t}=J_s/\epsilon _0 $
perfetto, allora era giusto il ragionamento che avevo fatto in un post precedente!
"Fra1994":
... c) $B=(\mu_0 i)/(2\pi R )$
Visto che in questo caso r > R , direi
$B=(\mu_0 i)/(2\pi r )$
ovvero un campo inversamente proporzionale alla generica distanza $r$ dall'asse del condensatore.
ok era giusto anche questo allora
"Fra1994":
... per il secondo non ti sto seguendo, per il punto b pensavo di utilizzare la stessa formula che ho utilizzato nel punto b del primo problema (a eccezione dell'area), per il punto a invece non ho capito..
Per il condensatore ad armature quadrate
a) La corrente di spostamento è uguale alla corrente di conduzione e di conseguenza visto che il condensatore viene caricato con una corrente di 1.6 ampere, ovvero attraverso un generatore di corrente ideale, basterà scrivere
$i_s=i_c=16 A$
perché =16A e non 1.6A?
b) In questo caso, disponendo della corrente potremo passare alla densità di corrente, e detta $a=12 cm$ la lunghezza del lato, avremo[/quote]
$J_s=i_s/S=i_s/a^2$
e quindi ancora direttamente da Ampère-Maxwell
$\frac{\ d E}{\ d x}=J_s/\epsilon _0 =\frac{i}{a^2\epsilon _0}$
ma anche, equivalentemente, potrai ricavarti la derivata temporale del campo elettrico considerando che una corrente di carica costante porterà ad un aumento lineare della tensione ai morsetti del condensatore
$v=q/C=it/C=(itd)/(\epsilon_0a^2)$
dove $d$ è la distanza fra le armature; ed infine
$E=v/d=(it)/(\epsilon_0a^2)$
che derivato rispetto al tempo porta allo stesso valore.
meglio la prima, è più facile da ricordare
"Fra1994":
...sinceramente non ricordo, l'ho trovata su un formulario online e ragionandoci un pò sopra ho capito che dovevo utilizzare quella per formula poiché $r < R$
Io ti consiglio di provare a spiegartelo, è semplicemente un'applicazione della legge della circuitazione.
"Fra1994":
... perché =16A e non 1.6A?
Perché non avevo visto il punto.
"Fra1994":
... meglio la prima, è più facile da ricordare
In caso di necessità, la seconda è però più facile da ricavare.
"RenzoDF":
[quote="Fra1994"]...sinceramente non ricordo, l'ho trovata su un formulario online e ragionandoci un pò sopra ho capito che dovevo utilizzare quella per formula poiché $r < R$
Io ti consiglio di provare a spiegartelo, è semplicemente un'applicazione della legge della circuitazione.
si era quella
ora la guardo!"Fra1994":
... perché =16A e non 1.6A?
Perché non avevo visto il punto.
[quote="Fra1994"]... meglio la prima, è più facile da ricordare
In caso di necessità, la seconda è però più facile da ricavare.[/quote][/quote]
grazie mille
ps questo l'ho svolto così..
Due lunghi fili paralleli rettilinei, distanti 0.95 cm l'uno dall'altro, sono perpendicolari al piano della
pagina. Il filo 1 è percorso da una corrente di 7.5 mA in verso entrante. Che corrente (intensità e verso) deve scorrere nel filo 2 affinché il campo magnetico nel punto P sia nullo? Si assuma d2 = 1.55 cm.
so che $\B_1=B_2=(mu_0/2pi) (i/d)$ e ricavo in questo modo il campo magnetico, infine da quella formula posso ricavare che $\B_2=(mu_0/2pi) (i/d_2)$ e dunque $\i=(B_2 pi d_2) / (mu_0)$ e ho come risultato 6,045 mA..il verso dovrà essere uscente..ma per far si che B nel punto P sia nullo?
Dove sta P? ...
BTW direi che dovresti correggere quelle relazioni per B.
BTW direi che dovresti correggere quelle relazioni per B.
ho fatto qualche casino utilizzando la storia delle formule prima
Devo trovare la corrente $\i_2 $ che scorre nel secondo filo affinché il campo magnetico nel punto P sia nullo.
Applichiamo la formula del campo magnetico generato a una corrente in un lungo filo rettilineo: $\B=(mu_0 i) / (2pi d)$ e calcoliamo i campi magnetici di entrambi i fili.
Dobbiamo ancora calcolare $\i_2 $. Quando B è nullo significa che B1+B2=0, quindi B1= -B2. Dunque: $\B_2=-(2pi d_2 B_1) / (mu_0)$. Il verso sarà opposto.
Vista la richiesta del testo, bastava ricordare la diretta proporzionalità alla corrente e l'inversa proporzionalità alla distanza del campo magnetico
$ \frac{|i_1|}{|i_2|}=\frac{ d_1+d_2 }{d_2}$
e per il verso, il "cavatappi".
$ \frac{|i_1|}{|i_2|}=\frac{ d_1+d_2 }{d_2}$
e per il verso, il "cavatappi".
perfetto! grazie mille
ultima cosa, supponendo di avere 3 resistori e il potenziale, dovendo calcolare l'intensità del secondo resistore, una volta fatti i vari collegamenti tra 2 in parallelo e trovare chiamiamolo così: $\R_12$ e avendolo collegato col terzo in serie, trovo la resistenza equivalente. Per trovare l'intensità del 2° resistore tramite $\i=deltaV/R$, al posto di R dovrò utilizzare la resistenza equivalente o la resistenza del 2° resistore? perché inizialmente ho utilizzato quella equivalente, ma poi mi è venuto il dubbio. Idem per trovare la potenza dissipata del 1° secondo la formula $\P=R i^2$.
Altro esercizio simile riguarda 3 condensatori in cui devo trovare la carica del terzo e densità di energia tra le armature del secondo. L'ho svolto in maniera simile a quello, ho collegato prima i condensatori 1 e 2 in serie, e infine il terzo in parallelo trovando la capacità equivalente. Per trovare la carica del terzo basta utilizzare la formua $\Q_3=C_3V$ e per la densità che è uguale a $\CV^2/2Ad$ utilizzo la C1 già data dal problema o quella equivalente trovata?
forse sono un pò stupide come domande ma sono le ansie del giorno prima dell'esame
penso siano corretti come svolgimento, l'unico dubbio riguarda queste due sciocchezze.
ps in entrambi oltre capacità/resistenze mi ha dato d.d.p. / f=tot Volt
ultima cosa, supponendo di avere 3 resistori e il potenziale, dovendo calcolare l'intensità del secondo resistore, una volta fatti i vari collegamenti tra 2 in parallelo e trovare chiamiamolo così: $\R_12$ e avendolo collegato col terzo in serie, trovo la resistenza equivalente. Per trovare l'intensità del 2° resistore tramite $\i=deltaV/R$, al posto di R dovrò utilizzare la resistenza equivalente o la resistenza del 2° resistore? perché inizialmente ho utilizzato quella equivalente, ma poi mi è venuto il dubbio. Idem per trovare la potenza dissipata del 1° secondo la formula $\P=R i^2$.
Altro esercizio simile riguarda 3 condensatori in cui devo trovare la carica del terzo e densità di energia tra le armature del secondo. L'ho svolto in maniera simile a quello, ho collegato prima i condensatori 1 e 2 in serie, e infine il terzo in parallelo trovando la capacità equivalente. Per trovare la carica del terzo basta utilizzare la formua $\Q_3=C_3V$ e per la densità che è uguale a $\CV^2/2Ad$ utilizzo la C1 già data dal problema o quella equivalente trovata?
forse sono un pò stupide come domande ma sono le ansie del giorno prima dell'esame
penso siano corretti come svolgimento, l'unico dubbio riguarda queste due sciocchezze.ps in entrambi oltre capacità/resistenze mi ha dato d.d.p. / f=tot Volt
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