Problema con sbarra appesa a un mnicotto mobile
Salve a tutti. Ho un problema che ho provato a risolvere. Vi scriverò il testo e poi vi elencherò i miei dubbi.
PROBLEMA:
Una sbarra omogenea $PQ$, di massa m e lunghezza $L$ , è incernierata nell'estremo $P$ ad un manicotto di massa trascurabile che può scorrere senza attrito su un filo orizzontale (asse $x$). La cerniera lavora senza attrito e la sbarra è ferma ed è sistemata in posizione orizzontale, con il punto $P$ nell’origine dell’asse $x$. Ad un certo istante la sbarra viene lasciata andare sotto l’azione della forza peso. Determinare la traiettoria del centro di massa della sbarra e la sua velocità $Vcm$ quando l’angolo tra la sbarra e la direzione ORIZZONTALE assume un generico valore $θ$.
_________________
Poichè non agiscono forze esterne lungo $x$ $Xcm$ si conserva, mentre lungo $y$ no perché agisce la forza peso.
La traiettoria del centro di massa sarà solo verticale e oscillerà tra un' altezza che va da $l/2$ a $l$.
La velocità del centro di massa invece ho provato a colcolarla sbagliando. Sarà solo lungo y, e lungo questo asse non c' è moto relativo. mi metto in un sistema non inerziale (sul manicotto) e uso la conservazione dell' energia per ricavarmi la velocità del centro di massa. $(mgl)/2=1/2(ml^2omega^2)/3+mg(l/2)sentheta/2$ con $theta$ che è l'angolo con l'orizzontale. Mi ricavo così $omega$ in funzione di $theta$, la moltiplico per $l/2$ e ricavo $Vcm$ nel sistema non inerziale. Mi trovo la componente lungo $y$ moltiplicando per $costheta$ e il gioco è fatto,perchè lungo y non c' è moto relativo, e quindi la velocità lungo y è uguale sia nel sistema inerziale che in quello non inerziale.
Invece i miei colleghi mi hanno detto che questo metodo è sbagliato(???) e che bisogna derivare la rispetto al tempo perchè una volta l' ha fatto il prof. Si fa $Vcmy=dY/dt$ dove $Y=(l/2)sentheta$. Io ipotizzo che è perché $theta=omegat$. Il problema va trattato come con le oscillazioni (in effetti lo è). DUBBIO
PROBLEMA:
Una sbarra omogenea $PQ$, di massa m e lunghezza $L$ , è incernierata nell'estremo $P$ ad un manicotto di massa trascurabile che può scorrere senza attrito su un filo orizzontale (asse $x$). La cerniera lavora senza attrito e la sbarra è ferma ed è sistemata in posizione orizzontale, con il punto $P$ nell’origine dell’asse $x$. Ad un certo istante la sbarra viene lasciata andare sotto l’azione della forza peso. Determinare la traiettoria del centro di massa della sbarra e la sua velocità $Vcm$ quando l’angolo tra la sbarra e la direzione ORIZZONTALE assume un generico valore $θ$.
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Poichè non agiscono forze esterne lungo $x$ $Xcm$ si conserva, mentre lungo $y$ no perché agisce la forza peso.
La traiettoria del centro di massa sarà solo verticale e oscillerà tra un' altezza che va da $l/2$ a $l$.
La velocità del centro di massa invece ho provato a colcolarla sbagliando. Sarà solo lungo y, e lungo questo asse non c' è moto relativo. mi metto in un sistema non inerziale (sul manicotto) e uso la conservazione dell' energia per ricavarmi la velocità del centro di massa. $(mgl)/2=1/2(ml^2omega^2)/3+mg(l/2)sentheta/2$ con $theta$ che è l'angolo con l'orizzontale. Mi ricavo così $omega$ in funzione di $theta$, la moltiplico per $l/2$ e ricavo $Vcm$ nel sistema non inerziale. Mi trovo la componente lungo $y$ moltiplicando per $costheta$ e il gioco è fatto,perchè lungo y non c' è moto relativo, e quindi la velocità lungo y è uguale sia nel sistema inerziale che in quello non inerziale.
Invece i miei colleghi mi hanno detto che questo metodo è sbagliato(???) e che bisogna derivare la rispetto al tempo perchè una volta l' ha fatto il prof. Si fa $Vcmy=dY/dt$ dove $Y=(l/2)sentheta$. Io ipotizzo che è perché $theta=omegat$. Il problema va trattato come con le oscillazioni (in effetti lo è). DUBBIO
Risposte
Ho provato a risolvere il problema, ma direi che è un po' tutto da riguardare, soprattutto facendo attenzione ai segni di $\omega$ e $v_(CM)$. Prendilo come traccia.
Mi scuso col forum, ma ho fatto una foto allo svolgimento su un pezzo di carta... soprattutto il disegno non mi riesce di farlo a computer. (Sulla foto, click tasto destro, visualizza immagine)
Immagine:
Nota bene: la velocità $v_d$ disegnata sul CM non è reale, è disegnata solo ai fini di calcolare $\omega$. In pratica la $v_d$ sul centro di massa appare quando si sceglie il manicotto come sistema inerziale.
Mi scuso col forum, ma ho fatto una foto allo svolgimento su un pezzo di carta... soprattutto il disegno non mi riesce di farlo a computer. (Sulla foto, click tasto destro, visualizza immagine)
Immagine:
Nota bene: la velocità $v_d$ disegnata sul CM non è reale, è disegnata solo ai fini di calcolare $\omega$. In pratica la $v_d$ sul centro di massa appare quando si sceglie il manicotto come sistema inerziale.
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