Problema con PDE parabolica
Salve ragazzi, è un pò che non scrivo qui sul forum. Sono incappato in un problema che mi sta turbando da tutta la giornata: sto preparando l'esame di complementi di metodi matematici della fisica, ed esercitandomi ho trovato una parabolica abbastanza interessante:
$ \partial_t u = c \partial^2_x u +e^t \sin(x)$
su una retta infinita, e con condizioni iniziali $u(x,0)= \cos(x) + 3 \sin(x)$
Ora il procedimento per risolverla porta a dover fare l'antitrasformata di due prodotti di convoluzione: uno per la soluzione dell'omogenea, ed uno per la soluzione particolare, le quali alla fine vanno sommate.
Il mio blocco arriva nella risoluzione dell'integrale:
$ \frac{1}{2 \sqrt{\pi t c}} \int_{\mathbb{R}} \cos{\xi} exp ( -\frac{(x- \xi)^2}{4tc} ) d \xi $
Qualcuno può aiutarmi? Io ho provato a sostituire il seno con gli esponenziali complessi per poi risolvere due integrali gaussiani con il completamento del quadrato (che appunto, non riesco a completare) o sennò mi era venuto in mente di passare per i complessi direttamente ed applicare il teorema di cauchy su un cammino chiuso e quindi avrei come risultato $ 2 \pi i $ moltiplicato alla costante davanti l'integrale.. È giusto ragionare cosi?
Grazie mille a tutti!
$ \partial_t u = c \partial^2_x u +e^t \sin(x)$
su una retta infinita, e con condizioni iniziali $u(x,0)= \cos(x) + 3 \sin(x)$
Ora il procedimento per risolverla porta a dover fare l'antitrasformata di due prodotti di convoluzione: uno per la soluzione dell'omogenea, ed uno per la soluzione particolare, le quali alla fine vanno sommate.
Il mio blocco arriva nella risoluzione dell'integrale:
$ \frac{1}{2 \sqrt{\pi t c}} \int_{\mathbb{R}} \cos{\xi} exp ( -\frac{(x- \xi)^2}{4tc} ) d \xi $
Qualcuno può aiutarmi? Io ho provato a sostituire il seno con gli esponenziali complessi per poi risolvere due integrali gaussiani con il completamento del quadrato (che appunto, non riesco a completare) o sennò mi era venuto in mente di passare per i complessi direttamente ed applicare il teorema di cauchy su un cammino chiuso e quindi avrei come risultato $ 2 \pi i $ moltiplicato alla costante davanti l'integrale.. È giusto ragionare cosi?
Grazie mille a tutti!
Risposte
Ho visto che non ho ricevuto risposte purtroppo, però ci tengo ad aggiungere qualche informazione: oggi ho tentato di risolvere questo integrale con il metodo di Laplace, un pò brutale ma non vedo altra via d'uscita..
Il risultato è anche abbastanza ragionevole: $ 2 \sqrt{t c} \cos(-x) $
Altre idee?? Aiuti? Quello che vorrei capire è se c'è un modo analitico per risolverlo, non importa quale esso sia, se con l'integrazione reale, complessa, con la delta, con Laplace..
Il risultato è anche abbastanza ragionevole: $ 2 \sqrt{t c} \cos(-x) $
Altre idee?? Aiuti? Quello che vorrei capire è se c'è un modo analitico per risolverlo, non importa quale esso sia, se con l'integrazione reale, complessa, con la delta, con Laplace..
Non so rispondere al tuo quesito mi dispiace. 
Forse però era meglio se postavi in Analisi matematica, gli analisti fanno i superiori e non scendono quasi mai nel forum di Fisica
Ciao
Forse però era meglio se postavi in Analisi matematica, gli analisti fanno i superiori e non scendono quasi mai nel forum di Fisica
Ciao
Ah grazie mille!! Ci pensano gli admin a spostare il post oppure devo farlo io?
Forse è meglio se apri un post in analisi e chiedi di spostare questa discussione
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo