Problema con Lagrangiana delle piccole oscillazioni
Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di meccanica analitica e, facendo vari esercizi, non riesco proprio a capire come si trova una lagrangiana delle piccole oscillazioni partendo una lagrangiana classica.
Premetto che la parte di teoria sulle piccole oscillazioni ancora non l'ho studiata bene, ma dal libro che ho io si capisce veramente poco.
Vi faccio un esempio:
Ho trovato questa lagrangiana (che è esatta dato che corrisponde al risultato intermedio dell'esercizio)
\(\displaystyle
T=\frac{J\phi'^2}{2} + \frac{3m}{2}(x'^2+D^2\phi'^2+2Dx'\phi'cos\phi) ; V=(kx^2)/2 - mgDcos\phi ; L=T-V
\)
Dove
\(\displaystyle D=2l/\sqrt{3} \)
A questo punto l'esercizio mi chiede di scrivere la lagrangiana delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile e calcolare le rispettive frequenze quando vale la condizione \(\displaystyle \omega^2\equiv k/m=2g/(\sqrt{3}l) \)
Potresti darmi una mano nel risolverlo? ho le soluzioni ma non riesco ad arrivarci perchè non so come affrontare bene il problema, ho cercato in giro e provato varie soluzioni senza successo...
sto preparando l'esame di meccanica analitica e, facendo vari esercizi, non riesco proprio a capire come si trova una lagrangiana delle piccole oscillazioni partendo una lagrangiana classica.
Premetto che la parte di teoria sulle piccole oscillazioni ancora non l'ho studiata bene, ma dal libro che ho io si capisce veramente poco.
Vi faccio un esempio:
Ho trovato questa lagrangiana (che è esatta dato che corrisponde al risultato intermedio dell'esercizio)
\(\displaystyle
T=\frac{J\phi'^2}{2} + \frac{3m}{2}(x'^2+D^2\phi'^2+2Dx'\phi'cos\phi) ; V=(kx^2)/2 - mgDcos\phi ; L=T-V
\)
Dove
\(\displaystyle D=2l/\sqrt{3} \)
A questo punto l'esercizio mi chiede di scrivere la lagrangiana delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile e calcolare le rispettive frequenze quando vale la condizione \(\displaystyle \omega^2\equiv k/m=2g/(\sqrt{3}l) \)
Potresti darmi una mano nel risolverlo? ho le soluzioni ma non riesco ad arrivarci perchè non so come affrontare bene il problema, ho cercato in giro e provato varie soluzioni senza successo...
Risposte
Nessuno?? 
Up!!
Allora, da dove salta fuori questa Lagrangiana "delle piccole oscillazioni"?
Sappiamo che per un sistema a vincoli fissi, si ha $\mathcal(L)=1text{/}2a_(jk)\dotq_j\dotq_k-V(q)$, con $q$ coordinate libere.
Presa una configurazione di equilibrio, diciamo $\hatq$, possiamo sviluppare per il Teorema di Taylor, sia la parte relativa all'energia cinetica sia quella relativa al potenziale, attorno alla configurazione di equilibrio stessa.
In particolare, fermando lo sviluppo al secondo ordine per il potenziale, quello che ottieni è:
Ora, il termine $V(\hatq)$ può essere posto uguale a zero, piazzando la configurazione di equilibrio nella nuova origine.
Il termine $(\delV)/(\delq_h)(\hat(q)_h)(q_h-\hat(q)_h)$ è uguale a zero, per definizione di equilibrio. Rimane dunque:
Posto $(\del^2V)/(\delq_j\delq_h)(\hat(q)_j,\hat(q)_h):=c_(jh)$ e $\xi_k:=q_k-\hat(q)_k$, ottieni finalmente la Lagrangiana:
Nota che la matrice $\bbA$ è questa volta calcolata nella configurazione di equilibrio. Se è formata da costanti, è la stessa di quella di partenza.
Nel tuo caso specifico, facciamo un po' di ordine.
La matrice $\bbA$ che hai non è costante, per la presenza del termine $cos\varphi$.
Quindi dovrai intanto trovare la configurazione di equilibrio, che indichiamo con $\hatq$, annullando il potenziale al solito modo. Fatto ciò ricavi direttamente:
Per la matrice $C$ procedi analogamente, calcolandone i membri e considerandoli all'equilibrio.
Fatto tutto questo, puoi scrivere la Lagrangiana
Sappiamo che per un sistema a vincoli fissi, si ha $\mathcal(L)=1text{/}2a_(jk)\dotq_j\dotq_k-V(q)$, con $q$ coordinate libere.
Presa una configurazione di equilibrio, diciamo $\hatq$, possiamo sviluppare per il Teorema di Taylor, sia la parte relativa all'energia cinetica sia quella relativa al potenziale, attorno alla configurazione di equilibrio stessa.
In particolare, fermando lo sviluppo al secondo ordine per il potenziale, quello che ottieni è:
$V(q)=V(\hatq)+(\delV)/(\delq_h)(\hat(q)_h)(q_h-\hat(q)_h)+1/2(\del^2V)/(\delq_h\delq_j)(\hat(q)_h,\hat(q)_j)(q_h-\hat(q)_h)(q_j-\hat(q)_j)+o(||q-\hatq||^2)$
Ora, il termine $V(\hatq)$ può essere posto uguale a zero, piazzando la configurazione di equilibrio nella nuova origine.
Il termine $(\delV)/(\delq_h)(\hat(q)_h)(q_h-\hat(q)_h)$ è uguale a zero, per definizione di equilibrio. Rimane dunque:
$V(q)=1/2(\del^2V)/(\delq_h\delq_j)(\hat(q)_h,\hat(q)_j)(q_h-\hat(q)_h)(q_j-\hat(q)_j)$.
Posto $(\del^2V)/(\delq_j\delq_h)(\hat(q)_j,\hat(q)_h):=c_(jh)$ e $\xi_k:=q_k-\hat(q)_k$, ottieni finalmente la Lagrangiana:
$\mathcal(L)=1/2a_(jh)\dot(\xi)_j\dot(\xi)_h-1/2c_(jh)\xi_j\xi_h=1/2\bb\dot\xi^T\cdotA\bb\dot\xi-1/2\bb\xi^T\cdot\bbC\bb\xi$.
Nota che la matrice $\bbA$ è questa volta calcolata nella configurazione di equilibrio. Se è formata da costanti, è la stessa di quella di partenza.
Nel tuo caso specifico, facciamo un po' di ordine.
La matrice $\bbA$ che hai non è costante, per la presenza del termine $cos\varphi$.
Quindi dovrai intanto trovare la configurazione di equilibrio, che indichiamo con $\hatq$, annullando il potenziale al solito modo. Fatto ciò ricavi direttamente:
$A=(((J+3mD^2)/2,Dcos\varphi|_(\hatq)),(Dcos\varphi|_(\hatq),3m/2))$.
Per la matrice $C$ procedi analogamente, calcolandone i membri e considerandoli all'equilibrio.
Fatto tutto questo, puoi scrivere la Lagrangiana
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo