Problema con i conduttori

[Jhons1]

Due sfere conduttrici identiche caricate con segno opposto ($q_1$ e $q_2$) si attraggono con una forza $F = 0,108 \text{ N}$ essendo tenute ad una distanza $r=50,0 \text{ cm}$. Le sfere vengono improvvisamente collegate con un filo conduttore, che viene poi rimosso. Alla fine le sfere si respingono con una forza $F' = 0,0360 \text{ N}$. Quali erano le cariche iniziali sulle sfere?

***
Si assuma $(q_1<0)^^(q_2>0)$. Se $x$ è la quantità di carica che viene trasferita dal conduttore 2 al conduttore 1 ($x>0$), dalla legge di Coulomb si ricava

$(q_1+x)(q_2-x)=(F'r^2)/(k)$,

la cui radice positiva è

$x=(q_2-q_1+sqrt((q_1+q_2)^2+4*10^(-12)\text{ C}^2))/2$.

Essendo le sfere identiche, dopo che vengono messe a contatto assumono la stessa carica. Quindi

$q_1+x=q_2-x$,

da cui

$q_2^2+q_1^2+2q_1q_2=-4*10^(-12)\text{ C}^2$. (1)

Applicando la legge di Coulomb al sistema prima del contatto tra le sfere

$q_1=(Fr^2)/(kq_2)$.

Sostituendo $q_1$ alla (1)

$q_2^4+q_2^2(4*10^(-12)\text{ C}^2+2(Fr^2)/k)=-(F^2r^4)/(k^2)$.

Ponendo $F=-0,108 \text{ N}$ ottengo $q_2 notin RR$.
Ho sbagliato ragionamento? Ho sbaglaito i calcoli?

[Falco5x]

hai complicato incredibilmente i calcoli di un problema semplice.
Come dici giustamente la carica finale delle due sfere è uguale. Allora chiamiamola [tex]{q_f}[/tex].
Questa si calcola subito:

[tex]{q_f} = r\sqrt {F'4\pi {\varepsilon _0}} = {10^{ - 6}}C[/tex]

Le cariche iniziali si trovano da questa aggiungendo e togliendo la quantità x che è la carica scambiata:

[tex]\begin{array}{l}
\left( {{q_f} + x} \right)\left( {{q_f} - x} \right) = - F{r^2}4\pi {\varepsilon _0} \\
{x^2} = F{r^2}4\pi {\varepsilon _0} + {q_f}^2 = 4 \cdot {10^{ - 12}}{C^2} \\
x = 2 \cdot {10^{ - 6}}C \\
\end{array}[/tex]

Da cui la soluzione cercata:

[tex]\begin{array}{l}
{q_1} = {q_f} - x = - {10^{ - 6}}C \\
{q_2} = {q_f} + x = + 3 \cdot {10^{ - 6}}C \\
\end{array}[/tex]

[Jhons1]

Grazie mille, effettivamente ho complicato i calcoli inutilmente!