Problema con corpo rigido
Ciao a tutti, avrei una domanda circa un problema di corpo rigido.
Una sfera di massa M e di raggio R rotola senza strisciare lungo un piano inclinato, che forma un angolo $ \alpha $ con un piano orizzontale. Supponendola ferma all'istante iniziale, si calcoli in quanto tempo la sua posizione verticale scende di una quota z.
Dunque... Potreste dirmi se il ragionamento che faccio è giusto
Pensavo di applicare la conservazione dell'energia, dato che non ci sono di mezzo noiose forze di attrito...
Scrivo
$ K=1/2 I \omega^2 + 1/2 MR^2 $ considero il tensore d'inerzia della sfera come
$ I=2/5 MR^2 $ e scrivo quindi
$ K=7/5 MV_g^2 $ considerando quindi la velocità del centro di massa della sfera.
Ora applico la conservazione dell'energia: so che all'inizio, in cima al piano inclinato la sfera ha solo energia potenziale, quinidi
$ Mgh=7/5MV_g^2 $
risolvo per V
e trovo
$ V_g=\sqrt (5/7 gh) $ , e trovo così lo spazio percorso sul piano
$ (ds)/dt=\sqrt (5/7 gh) $ . Integro tra 0 e t e trovo che lo spazio percorso sul piano è
$ l=(\sqrt(5/7gh))t $ da cui ricavo il tempo.
Ho pensato che se trovassi il tempo impiegato per scendere di un certo tratto l sul piano inclinato, potrei automaticamente sapere la quota Z a cui mi trovo, dato che l e Z sono legate dalla relazione $ Z=lsin\alpha $ .
Il ragionamento ha senso secondo voi? Nel caso in cui il problema sia sbagliato, potreste aiutarmi a risolverlo correttamente?
Una sfera di massa M e di raggio R rotola senza strisciare lungo un piano inclinato, che forma un angolo $ \alpha $ con un piano orizzontale. Supponendola ferma all'istante iniziale, si calcoli in quanto tempo la sua posizione verticale scende di una quota z.
Dunque... Potreste dirmi se il ragionamento che faccio è giusto
Pensavo di applicare la conservazione dell'energia, dato che non ci sono di mezzo noiose forze di attrito...
Scrivo
$ K=1/2 I \omega^2 + 1/2 MR^2 $ considero il tensore d'inerzia della sfera come
$ I=2/5 MR^2 $ e scrivo quindi
$ K=7/5 MV_g^2 $ considerando quindi la velocità del centro di massa della sfera.
Ora applico la conservazione dell'energia: so che all'inizio, in cima al piano inclinato la sfera ha solo energia potenziale, quinidi
$ Mgh=7/5MV_g^2 $
risolvo per V
e trovo
$ V_g=\sqrt (5/7 gh) $ , e trovo così lo spazio percorso sul piano
$ (ds)/dt=\sqrt (5/7 gh) $ . Integro tra 0 e t e trovo che lo spazio percorso sul piano è
$ l=(\sqrt(5/7gh))t $ da cui ricavo il tempo.
Ho pensato che se trovassi il tempo impiegato per scendere di un certo tratto l sul piano inclinato, potrei automaticamente sapere la quota Z a cui mi trovo, dato che l e Z sono legate dalla relazione $ Z=lsin\alpha $ .
Il ragionamento ha senso secondo voi? Nel caso in cui il problema sia sbagliato, potreste aiutarmi a risolverlo correttamente?
Risposte
Concettualmente (non ho verificato i conti) l'applicazione della conservazione dell'energia va bene, anche se in realta' la forza di attrito c'e', altrimenti il corpo non rotolerebbe.
Pero' usando la conservazione dell'energia fai una strada piu' lunga, perche' non entra il tempo in gioco, che e'proprio l'incognita richiesta.
In questi casi e' meglio usare la variazione di momento angolare dovuta alle forze in gioco, rispetto a un asse scelto furbescamente.
Se scegli un asse giacente sul piano inclinato, e chiamata l la distanza percorsa sul piano dal baricentro, rispetto a quel polo puoi scrivere:
$mgsinthetaR=[dL]/[dt]=d/[dt][(mdotlR+Idot theta)]$
Siccome il moto e' di puro rotolamento, $theta=l/R$, e quindi
$mgsinthetaR=[dL]/[dt]=d/[dt][(mdotlR+Idot l/R)]=md/[dt](dotlR+2/5Rdotl)=7/5mR[d dotl]/[dt]$
Tenuto conto che $z=lsintheta$, l'espressione sopra diventa:
$[d dotz]/[dt]=5/7gsin^2theta$
Integrando
$dotz=5/7gsin^2theta*t+A$
$z=[5]/[14]gsin^2theta*t^2+At+B$
Se parte da fermo, e se assumi che z=0 in cima al piano, allora A=B=0 e quindi $t=sqrt([14z]/[5g])/(sintheta]$
Pero' usando la conservazione dell'energia fai una strada piu' lunga, perche' non entra il tempo in gioco, che e'proprio l'incognita richiesta.
In questi casi e' meglio usare la variazione di momento angolare dovuta alle forze in gioco, rispetto a un asse scelto furbescamente.
Se scegli un asse giacente sul piano inclinato, e chiamata l la distanza percorsa sul piano dal baricentro, rispetto a quel polo puoi scrivere:
$mgsinthetaR=[dL]/[dt]=d/[dt][(mdotlR+Idot theta)]$
Siccome il moto e' di puro rotolamento, $theta=l/R$, e quindi
$mgsinthetaR=[dL]/[dt]=d/[dt][(mdotlR+Idot l/R)]=md/[dt](dotlR+2/5Rdotl)=7/5mR[d dotl]/[dt]$
Tenuto conto che $z=lsintheta$, l'espressione sopra diventa:
$[d dotz]/[dt]=5/7gsin^2theta$
Integrando
$dotz=5/7gsin^2theta*t+A$
$z=[5]/[14]gsin^2theta*t^2+At+B$
Se parte da fermo, e se assumi che z=0 in cima al piano, allora A=B=0 e quindi $t=sqrt([14z]/[5g])/(sintheta]$
Ora guardo bene la tua risposta nei dettagli. Innanzitutto ti ringrazio e aggiungo anche che avevo pensato a una risoluzione tramite la variazione del momento angolare... però non so bene come mai ho lasciato perdere, preferendo nettamente questa soluzione per via 'energetica'.
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