Problema con cilindro omogeneo di fisica I
ciao a tutti.
dunque... ho tutti i dati di un cilindro collegato ad una molla in estensione su un piano scabro (rotola senza strisciare). so che a una distanza dal centro vi sono 2 fori diametralmente opposti e passanti di cui ho tutti i dati... ho i dati anche della molla.
in pratica devo trovare:
-il momento di inerzia del cilindro (considerando i 2 fori)
-l'energia cinetica di rotazione e di traslazione del cilindro quando passa per la posizione di riposo della molla
- dimostrare che il moto è armonico e trovarne il periodo
per il primo punto ho calcolato il momento di inerzia del cilindro... ma poi non so come eliminare quello dei 2 fori (calcolo la massa che avrebbero contenuto i fori fossero stati passanti e poi uso huygens-steiner o come si scrive?)
per il secondo punto purtroppo non so cosa fare. fosse liscio avrei usato la conservazione del'energia meccanica ma così non è.
devo usare le equazioni cardinali? non come comportarmi di fronte ad una forza non costante nel tempo (dipende dall'estensione della molla).
l'ultimo punto è la nebbia più totale quindi qui apprezzerei anche solo un ragionamento.
dunque... ho tutti i dati di un cilindro collegato ad una molla in estensione su un piano scabro (rotola senza strisciare). so che a una distanza dal centro vi sono 2 fori diametralmente opposti e passanti di cui ho tutti i dati... ho i dati anche della molla.
in pratica devo trovare:
-il momento di inerzia del cilindro (considerando i 2 fori)
-l'energia cinetica di rotazione e di traslazione del cilindro quando passa per la posizione di riposo della molla
- dimostrare che il moto è armonico e trovarne il periodo
per il primo punto ho calcolato il momento di inerzia del cilindro... ma poi non so come eliminare quello dei 2 fori (calcolo la massa che avrebbero contenuto i fori fossero stati passanti e poi uso huygens-steiner o come si scrive?)
per il secondo punto purtroppo non so cosa fare. fosse liscio avrei usato la conservazione del'energia meccanica ma così non è.
devo usare le equazioni cardinali? non come comportarmi di fronte ad una forza non costante nel tempo (dipende dall'estensione della molla).
l'ultimo punto è la nebbia più totale quindi qui apprezzerei anche solo un ragionamento.
Risposte
non mi riesco nemmeno a figurare il problema...di come un cilindro possa rotolare collegato a una molla...ma va be...forse è perchè ho poca immaginazione...
per il calcolo dell'inerzia intanto devi vedere secondo quale asse ruota. poi si, si usa quel teorema, considerando l'inerzia del cilindro come se fosse pieno più l'inerzia dei fori, che li consideri masse negative con la stessa densità del cilindro.
per quanto riguarda l'energia, ti consiglio di fare un disegno del problema quindi piano, cilindro, e molla, in una posizione diversa dall'equilibrio. nel senso che la molla non è alla sua lunghezza di riposo, ma è lunga un tratto $l_0 + \Delta x$ per esempio. a quel punto scrivi la formula della conservazione dell'energia in quella configuazione, e aggiusti poi $\Delta x$ per come ti serve. (per esempio zero se sei nella posizione di equilibrio)
ricorda che se il cilindro rotola senza strisciare si parla di attristo statico, che non fa lavoro. quindi le energie in gioco solo solo traslazionale, rotazione e potenziale della molla. dalla formula dell'energia dovrebbe comunque uscire l'equazione differenziale del moto armonico.
ricordati anche del vincolo cinematico di rotolamento puro, cioè che $v = \omega R$
il trucco è questo. se sai che ci saranno oscillazioni, finchè ti immagini la situazione nell'equilibrio non potrai mai avere un idea dell'oscillazione che ci sarà. quindi fare proprio un disegno in cui non è nella posizione di equilibrio
per il calcolo dell'inerzia intanto devi vedere secondo quale asse ruota. poi si, si usa quel teorema, considerando l'inerzia del cilindro come se fosse pieno più l'inerzia dei fori, che li consideri masse negative con la stessa densità del cilindro.
per quanto riguarda l'energia, ti consiglio di fare un disegno del problema quindi piano, cilindro, e molla, in una posizione diversa dall'equilibrio. nel senso che la molla non è alla sua lunghezza di riposo, ma è lunga un tratto $l_0 + \Delta x$ per esempio. a quel punto scrivi la formula della conservazione dell'energia in quella configuazione, e aggiusti poi $\Delta x$ per come ti serve. (per esempio zero se sei nella posizione di equilibrio)
ricorda che se il cilindro rotola senza strisciare si parla di attristo statico, che non fa lavoro. quindi le energie in gioco solo solo traslazionale, rotazione e potenziale della molla. dalla formula dell'energia dovrebbe comunque uscire l'equazione differenziale del moto armonico.
ricordati anche del vincolo cinematico di rotolamento puro, cioè che $v = \omega R$
il trucco è questo. se sai che ci saranno oscillazioni, finchè ti immagini la situazione nell'equilibrio non potrai mai avere un idea dell'oscillazione che ci sarà. quindi fare proprio un disegno in cui non è nella posizione di equilibrio
ti conviene usare poi come polo della seconda cardinale (perchè anche se l'attrito è statico fa momento) il centro di massa della figura, così da non avere problemi di nessun genere (non si può scegliere come polo un punto accelerato, se è diverso dal centro di massa)
immagina una ruota che rotola senza strisciare al cui perno centrale è collegata la molla in estensione.
ad ogni modo posso imporre la conservazione dell'energia meccanica? $1/2*kx^2=1/2*mv^2$ in questo modo troverei la velocità nel momento in cui non vi è più energia potenziale elastica (ovvero quando la molla è scarica, cioè nel punto che interessa a me
ma in questo modo non terrei conto degli attriti... dunque ho provato a scrivere le equazioni cardinali in questo modo (ho fatto anche uno schema): http://img849.imageshack.us/img849/543/wp000010w.jpg
ad ogni modo posso imporre la conservazione dell'energia meccanica? $1/2*kx^2=1/2*mv^2$ in questo modo troverei la velocità nel momento in cui non vi è più energia potenziale elastica (ovvero quando la molla è scarica, cioè nel punto che interessa a me
ma in questo modo non terrei conto degli attriti... dunque ho provato a scrivere le equazioni cardinali in questo modo (ho fatto anche uno schema): http://img849.imageshack.us/img849/543/wp000010w.jpg
nell'uso della formula dell'energia non ci dovrebbero essere problemi. anche perchè affinche si possa compiere un moto armonico il sistema non deve avere grosse perdite energetiche...e poi ripeto. l'attrito è statico tra ruota e terreno e non compie lavoro
stavo pensando un attimo se conveniva davvero usare l'energia...anche se credo di si
stavo pensando un attimo se conveniva davvero usare l'energia...anche se credo di si
ora non mi viene subito in mente come impostarla una eventuale eq con l'energia. ma nella tua manca anche il fattore energetico dovuto alla rotazione.
ma sai di quanto viene allungata la molla??
"eugeniobene58":
ma sai di quanto viene allungata la molla??
nella condizione iniziale (quella che ti ho disegnato io e che era nel testo dell'esame) la molla è allungata di 0,25 m.
poi in pratica viene rimosso un fermo e il cilindro inizia a muoversi
credevo che l'equazione dell'oscillatore armonico si potesse trovare dall'equazione dell'energia. ma mi sa che ho detto una cavolata. ho fatto due conti e non mi pare venga una cosa bella.
per quanto riguarda l'energia del cilindro si, credo proprio si possa impostare la conservazione dell'energia per trovare quella che ti interessa, cioè nel momento in cui la corda ha lunghezza $l_0$
per quanto riguarda l'equazione dell'oscillatore armonico, mi pare che per trovarla tu debba impostare la prima equazione cardinale.
imponi che $-kx - F_a = m \ddotx$ con $F_a$ forza di attrito...per caso il coefficiente ti attrito statico te lo da come dato o è solo detto che c'è attrito?
per quanto riguarda l'energia del cilindro si, credo proprio si possa impostare la conservazione dell'energia per trovare quella che ti interessa, cioè nel momento in cui la corda ha lunghezza $l_0$
per quanto riguarda l'equazione dell'oscillatore armonico, mi pare che per trovarla tu debba impostare la prima equazione cardinale.
imponi che $-kx - F_a = m \ddotx$ con $F_a$ forza di attrito...per caso il coefficiente ti attrito statico te lo da come dato o è solo detto che c'è attrito?
comunque si, dovrebbe tornare così...
niente coefficiente di attrito.
come fanno la forza della molla e quella di attrito ad essere concordi di segno? io considererei la prima positiva (come ho scritto nelle mie equazioni cardinali)
come fanno la forza della molla e quella di attrito ad essere concordi di segno? io considererei la prima positiva (come ho scritto nelle mie equazioni cardinali)
è vero hai ragione piccolo errore...ti ho chiesto se il problema dava il coefficiente di attrito perchè in questo modo non sarebbe mai apparso nelle soluzioni. quindi se non lo da vuol dire che non deve comparire nelle soluzioni.
sisi ho proprio sbagliato per l'attrito...comunque fammi sapere se torna
sisi ho proprio sbagliato per l'attrito...comunque fammi sapere se torna
"eugeniobene58":
è vero hai ragione piccolo errore...ti ho chiesto se il problema dava il coefficiente di attrito perchè in questo modo non sarebbe mai apparso nelle soluzioni. quindi se non lo da vuol dire che non deve comparire nelle soluzioni.
sisi ho proprio sbagliato per l'attrito...comunque fammi sapere se torna
il ragionamento mi quadra, ma non come considero quella forza non costante (a massima estensione ha forza massima. nel punto di riposo nulla).
io, considerata la linearità della forza elastica, proverei ad usare la media tra forza massima e minima... se no devo usare le differenziali e non saprei come fare
aspetta un attimo...che studi stai facendo?? comunque senza usare differenziali, dall'equazione che ho scritto prima io è facile ricavare il periodo (è quello che devi calcolare se non ricordo male)
il periodo per definizione è $T = (2*\pi) / \omega $
$\omega$ lo ricavi da questa formula
$-kx + F_a = m \ddotx$
isoli la $\ddot x$...quindi viene $\ddot x = -k/m x+ F_a/m$ ...ecco... $\omega$ è la radice quadrata del coefficiente moltiplicativo della x
$\omega = \sqrt(k/m)$
$T = 2* \pi * \sqrt(m/k)$...però mi rendo conto che potresti non capire quello che ho scritto.
credo che nel tuo libro, o negli appunti, quando avete trattato il moto armonico sia stato detto qualcosa a riguardo del periodo, e del fatto che questo è proporzionale alla radice della costante elastica della molla diviso la massa...
il periodo per definizione è $T = (2*\pi) / \omega $
$\omega$ lo ricavi da questa formula
$-kx + F_a = m \ddotx$
isoli la $\ddot x$...quindi viene $\ddot x = -k/m x+ F_a/m$ ...ecco... $\omega$ è la radice quadrata del coefficiente moltiplicativo della x
$\omega = \sqrt(k/m)$
$T = 2* \pi * \sqrt(m/k)$...però mi rendo conto che potresti non capire quello che ho scritto.
credo che nel tuo libro, o negli appunti, quando avete trattato il moto armonico sia stato detto qualcosa a riguardo del periodo, e del fatto che questo è proporzionale alla radice della costante elastica della molla diviso la massa...
frequento ingegneria meccanica.
no il punto è che da quello che ho capito le equazioni cardinali che mi suggerisci sono valide nell'istante di massima estensione della molla. nel punto di riposo non valgono più perchè la forza della molla è uguale a 0.
poi se mi sto perdendo qualcosa, fammelo notare.
no il punto è che da quello che ho capito le equazioni cardinali che mi suggerisci sono valide nell'istante di massima estensione della molla. nel punto di riposo non valgono più perchè la forza della molla è uguale a 0.
poi se mi sto perdendo qualcosa, fammelo notare.
nono sono sempre valide. le equazioni cardinali così espresse descrivono l'accelerazione della massa in funzione della sua posizione.
non c'è da fare medie come te volevi fare. è vero che la forza della molla assume valori diversi in base a quanto è allungata. ma l'equazione differenziale scritta ha come soluzione una $x(t)$
te praticamente cerchi una $f(x)$ che derivata due volte sia uguale a se stessa per qualche coefficiente moltiplicativo.
il periodo comunque è dato da $ (2* \pi) / \omega$
non c'è da fare medie come te volevi fare. è vero che la forza della molla assume valori diversi in base a quanto è allungata. ma l'equazione differenziale scritta ha come soluzione una $x(t)$
te praticamente cerchi una $f(x)$ che derivata due volte sia uguale a se stessa per qualche coefficiente moltiplicativo.
il periodo comunque è dato da $ (2* \pi) / \omega$
uh hai proprio ragione. quindi da quella differenziale e dalle altre equazioni cardinali dovrei trovarmi un'accelerazione in funzione della posizione. capito.
ma passare da li a considerare l'energia cinetica nei punti che mi interessano? tantovale usare la conservazione dell energia come si era detto qualche post fa includendo la componente rotazione che avevo omesso quindi $1/2kx^2=1/2mv^2+1/2I\omega^2"$
ma passare da li a considerare l'energia cinetica nei punti che mi interessano? tantovale usare la conservazione dell energia come si era detto qualche post fa includendo la componente rotazione che avevo omesso quindi $1/2kx^2=1/2mv^2+1/2I\omega^2"$
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