Problema con Carrucole

[Fermat3423]

Buonasera ragazzi,

potete verificare la correttezza della mia soluzione al seguente problema:

PROBLEMA
Sia dato il sistema in figura. Supponendo che le carrucole e le funi abbiano masse trascurabili, che le funi siano inestensibili e che il piano sia liscio, si determini l'accelerazione del corpo \(\displaystyle 3 \).



questa è la mia soluzione:

[tex]\begin{cases}
\tau_2cos(\alpha) &= m_1a \\
\tau_1 - \tau_2cos(\alpha) &= m_2a \\
- \tau_1 + m_3g &= m_3a
\end{cases}[/tex]

e dunque:
[tex]a = \frac{m_3}{m_1+m_2+m_3}g[/tex]

[ingres]

Se la massa m2 si muove di un tratto $Deltax$ verso destra, è vero che m3 scende della stessa lunghezza verso il basso?

[Fermat3423]

"ingres":Se la massa m2 si muove di un tratto $Deltax$ in verso destra, è vero che m3 scende della stessa lunghezza verso il basso?

ho supposto di sì, è sbagliato?

[ingres]

Se ci pensi bene m3 per scendere di una lunghezza $Delta z$, ha bisogno di scendere della stessa lunghezza sia come parte dx e sia come parte sx della fune, e quindi di "consumare" 2 $Delta z$. Questo significa che il suo spostamento, velocità ed accelerazione saranno la metà di m2.

[Fermat3423]

"ingres":Se ci pensi bene m3 per scendere di una lunghezza $Delta z$, ha bisogno di scendere della stessa lunghezza sia come parte dx e sia come parte sx della fune, e quindi di "consumare" 2 $Delta z$. Questo significa che il suo spostamento, velocità ed accelerazione saranno la metà di m2.

quindi la massa m2 non viene trascinata dalla forza peso di m3? Il cavo a destra della massa m3 non è fisso?

[ingres]

No, m2 è trascinata da m3, e il cavo a destra di m3 è fissato in alto, ma la carrucola fa scorrere parte del cavo anche sulla destra. Inoltre anche la tensione del cavo di destra (identica a quello di sinistra perchè il cavo ha massa nulla) contribuisce a sostenere m3
Per cui le equazioni dovrebbero essere:

$tau_2 cos(alpha) =m_1*a_1$
$tau_1 - tau_2 cos(alpha) = m_2*a_2$
$m_3 g - 2*tau_1 =m_3*a_3$

con $a_1 = a_2 = 2*a_3$

[ingres]

Ti faccio anche notare che se cercassimo l'equilibrio statico, ovvero accelerazioni nulle, tirando la fune con una forza $tau_1$, avremmo bisogno solo di $tau_1=(m_3g)/2$ per tenere sollevata $m_3$. E' questo fattore moltiplicativo della forza che rende così utili le carrucole. Però poichè l'energia fornita non può cambiare se raddoppiamo la forza si dimezzerà lo spostamento (in pratica la carrucola funziona come il cambio di una macchina).

https://it.wikipedia.org/wiki/Carrucola