Problema con carrucola semplice

[maluz1]

Il problema in questione è il seguente:
Una carrucola ideale sostiene da un lato una massa pari a 1 kg. La fune utilizzata è inestensibile e priva di massa. Si ponga in questo esercizio g=10 m/s2.
a. Se dal lato opposto alla massa viene applicata alla fune verso il basso una forza costante pari a 20 N, con quale accelerazione si muove la massa
b. Se dal lato opposto alla massa viene appesa alla fune una seconda massa pari a 2 kg, con quale accelerazione si muove la prima massa? Confrontare con il risultato del caso (a);
c. Si calcoli la tensione della fune nel caso (b).

A prima vista il primo e il secondo punto sono identici e il mio metodo risolutivo sarebbe quello di "sostituire" la forza di 20N con la forza peso di una massa di 2 Kg, quindi impostando il sistema di equazioni:

$ { ( m_1a = Fp_1 + T),( m_2a =Fp_2 + T ):} $

(Sottointesi i vettori accelerazione, forza peso e tensione)

Risolvendo ottengo la formula per l'accelerazione:

$ a= (m1 - m2)/(m1+m2) * g $

Per trovare la tensione, che è uguale per entrambe le estremità della fune, mi basta sostituire l'accelerazione in una delle equazioni a sistema. Quello che mi sono chiesto è: è necessario ipotizzare l'esistenza di una massa nel primo punto in modo da renderlo uguale al secondo punto? Oppure il primo punto si può risolvere più velocemente senza ricorrere a tutta questa procedura? Me lo chiedo perchè non mi sembra sensato avere lo stesso problema ripetuto due volte.

Grazie

[Studente Anonimo]

"maluz":
... non mi sembra sensato avere lo stesso problema ripetuto due volte ...

Infatti, mentre nel primo caso il valore della tensione è 20 N, nel secondo caso il valore della tensione è minore di 20 N, visto che la massa di 2 kg accelera verso il basso. Insomma, il valore della tensione sarebbe 20 N anche nel secondo caso se e solo se la massa di 2 kg si muovesse di moto rettilineo uniforme.

[maluz1]

Intanto grazie per la risposta. Tuttavia mi mancano alcuni passaggi: nel primo punto dici che la tensione è 20N (immagino per il principio di azione/reazione) ma perchè non consideri anche la forza esercitata sull'altra estremità della fune, quindi su quella con una massa da 1kg? Un altra cosa: cosa cambia con un moto rettilineo uniforme? In quello uniforme l'accelerazione è zero, come può esistere una forza? Grazie di nuovo.

[Studente Anonimo]

Nel primo caso la tensione $T$ è uguale alla forza $F$. Quindi, orientando un asse verticale verso l'alto:

$[T=F] ^^ [ma=-mg+T] rarr [a=-g+F/m]$

Nel secondo caso si ha la classica macchina di Atwood. Puoi trovare il calcolo dell'accelerazione anche in rete.

"maluz":
... ma perchè non consideri anche la forza esercitata sull'altra estremità della fune ...

Nel primo caso hai un solo corpo di massa $m$ sul quale agiscono due forze: la forza peso e la tensione, uguale alla forza applicata sul lato opposto.

"maluz":
... in quello uniforme l'accelerazione è zero ...

Stavo semplicemente dicendo che, se anche nel secondo caso il valore della tensione fosse 20 N, il corpo appeso sul lato opposto si muoverebbe di moto rettilineo uniforme. Orientando un asse verso il basso:

$[2ma=2mg-T] rarr [a=0]$

Tuttavia, nella macchina di Atwood è risaputo che:

$[m_1 ne m_2] rarr [a ne 0]$

Ciò significa che, visto che il corpo appeso sul lato opposto si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato verso il basso, la tensione deve essere necessariamente minore.