Problema cinematica

[parme1]

salve a tutti! ho incominciato da poco il corso di fisica 1 all'università..oggi facendo gli ex mi è capitato un problema in cui mi dicevano che un punto percorre un tratto AB con velocità iniziale v=v1 per il tratto AB=b con velocità all'estremo apri a v2 con v1 >v2 in quanto nel tratto l'accelerazione era apri a -k*v..ora, k è una const ma v dovrebbe essere la velocità.. am il mio quesito è, quale?
a me verrebbe da fare l'integrale, ricordando che
$v = v0 + int_{t0}^{t} a(t) dt$
con
$a(t)=-k*v$ ma anche v dipende da t.. poi andando a scrutare le soluzioni mi dicono che
v2-v1 = -kb con b la famosa distanza..
però poichè $ k = val*s^(-1)$ vuole dire v è per forza una velocità ma esprimendola rigiro..
qualche idea?

[Falco5x]

Scusami tanto, ma mi pare che tu ti esprima in modo leggermente criptico o forse sono io che non ci arrivo a capire tutto quello che scrivi. Non riesco proprio a capire cosa ti turba, comunque ti dò ugualmente qualche idea. Se poi non ho centrato la domanda... avrai la pazienza di ripetermela con maggiore chiarezza.

$a=(dv)/(dt)$

$a=-kv$

$(dv)/(dt)=-kv$

a seconda della domanda si può separare le variabili in due modi. Se si chiede la velocità in funzione dello spazio:

$dv=-kvdt=-kds$

$\int_(v_1)^(v_2)dv=-k\int_(s_a)^(s_b)ds$

$v_1-v_2=kb

Se invece si chiedesse la velocità in funzione del tempo:

$dv=-kvdt$

$(dv)/(v)=-kdt$

$\int_(v_1)^(v_2)(dv)/(v)=-k\int_(t_a)^(t_b)dt$

$\ln((v_2)/(v_1))=-k(t_b-t_a)$

$v_2=v_1\e^(-k(t_b-t_a))$

[parme1]

ok! grazie di tutto!

[parme1]

mi scuso con te per il linguaggio..mi sono accorto proprio oggi che non è altro che l'eq di un moto rettilineo smorzato esponenzialmente.. il tuo ragionamento è giusto e infatti il libro me lo rpropone uguale, ma c'ho un ulteriore dubbio..
io so per definizione di accelerazione istantanea che $a =(dv)/dt$, ora so anche che in questo caso a varia strettamente con $v$
dalla relazione data $a=-kv$..ma passare dalle due relazioni all'unica $-kv=(dv)/dt$ è diretto o devo stare attento ad alcune condizioni particolari?
in parole povere, mi manca l'anello di congiunzione diretto.. cmq $v$ sta per velocità istantanea,giusto?

[Falco5x]

"parme":io so per definizione di accelerazione istantanea che $a =(dv)/dt$, ora so anche che in questo caso a varia strettamente con $v$
dalla relazione data $a=-kv$..ma passare dalle due relazioni all'unica $-kv=(dv)/dt$ è diretto o devo stare attento ad alcune condizioni particolari?
in parole povere, mi manca l'anello di congiunzione diretto.. cmq $v$ sta per velocità istantanea,giusto?

Giusto, la v è istantanea, come lo è anche la a.
Tu devi pensare in generale l'accelerazione e la velocità come due funzioni del tempo (quindi con valori diversi istante per istante), che hanno però tra loro una "parentela" particolare, quella della "derivazione" di a da v.
Ad esempio supponiamo che l'accelerazione sia del tipo $a= 2t$. Siccome l'accelerazione è la derivata della velocità, data questa accelerazione si può facilmente dire che vale anche la relazione $v=t^2$.
Ora supponiamo di non conoscere queste due funzioni del tempo, ma di conoscere invece la relazione che lega direttamente la a alla v, senza nominare il tempo t.
Date le due relazioni di partenza, è facile verificare che si può anche scrivere $v=(a^2)/4$ (in questo caso la v è rappresentata come funzione di a), oppure $a=2\sqrt(v)$ (in questo caso a è rappresentata come funzione di v).
Supponiamo ad esempio che il problema ci fornisca questa seconda funzione. La domanda è: conoscendo questa come possiamo risalire alle due funzioni iniziali (funzioni del tempo)?
Ebbene le equazioni che rappresentano relazioni tra funzioni e le loro derivate (anche successive) si chiamano equazioni differenziali, e le studierai bene in qualche corso di analisi matematica.
Vediamo invece adesso un esempio spicciolo di come si possa risolvere l'equazione differenziale $a=2\sqrt(v)$, che per comodità scrivo in questo modo: $(dv)/(dt)=2\sqrt(v)$.
Anche se un matematico vero inorridirebbe, spesso tutti quelli grezzi come me, semplici manovali della matematica, sono abituati a trattare i rapporti tra differenziali come delle frazioni ordinarie. Allora si può scrivere:
$dv=2\sqrt(v)dt$
ovvero
$dt=1/(2\sqrt(v))dv$

Integrando si ha:
$\int_(t_0)^t dt=\int_(v_0)^v 1/(2\sqrt(v))dv$
da cui
$t-t_0=\sqrt(v)-\sqrt(v_0)$.
Ponendo poi una condizione iniziale opportuna, cioè $v_0=0$ e $t_0=0$ si ottiene $t=\sqrt(v)$ ovvero $v=t^2$ , che è quanto si voleva trovare. Derivando si ottiene poi anche la $a=2t$.

[parme1]

ho presente le equazione dfferenziali.. ok! allora ci sono! io possusare la definizione di acc istantanea visto che la lego alal stessa velocità istantanea e quindi da lì paso ad unaeq diff. a variabili separabili,giusto?

[Falco5x]

"parme":ho presente le equazione dfferenziali.. ok! allora ci sono! io possusare la definizione di acc istantanea visto che la lego alal stessa velocità istantanea e quindi da lì paso ad unaeq diff. a variabili separabili,giusto?